基于多變量加權(quán)一階局域混沌預(yù)測模型優(yōu)化及應(yīng)用

張淑清， 劉子玥， 何泓運， 任 爽， 張立國， 姜萬錄

(燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 河北 秦皇島 066004)

1 引 言

混沌預(yù)測的主要思想是根據(jù)歷史時間序列對未來序列做預(yù)測。在重構(gòu)相空間的基礎(chǔ)上，人們先后提出了全域法、局域法、加權(quán)一階局域法等方法[1～3]。全域法計算很復(fù)雜，僅適合光滑函數(shù)，對于具有較高嵌入維的系統(tǒng)并不適用；局域法具有簡單易用、擬合速度快、精度較高等優(yōu)點，預(yù)測效果優(yōu)于全域法；加權(quán)一階局域法是局域法的優(yōu)化模型，計算量小，易操作，具有很強的自適應(yīng)能力和魯棒性、精度高、通用性強等優(yōu)點。

然而，這些預(yù)測模型僅考慮了單變量時間序列，預(yù)測沒有考慮其它因素的影響，會造成重要信息的缺失，影響預(yù)測精度[4]。鑒于此，本文提出多變量時間序列相空間重構(gòu)方法，建立多變量加權(quán)一階局域混沌預(yù)測模型，并在以下3方面對該模型進行優(yōu)化：

首先，多變量相空間重構(gòu)中延遲時間和嵌入維數(shù)的選擇至關(guān)重要。相空間延遲時間的選取方法有自相關(guān)函數(shù)法、平均位移法、復(fù)自相關(guān)法、互信息法等；嵌入維數(shù)的選取方法有幾何不變量法、虛假最鄰近點法等；同時確定兩個參數(shù)的方法有C-C方法和微分熵法等[5,6]。為了簡化計算，并且挖掘更多的系統(tǒng)信息，本文基于等概率符號化選取極大聯(lián)合熵和最小香農(nóng)熵法分別求最佳延遲時間和嵌入維數(shù)。等概率符號化可避免信息遺失，同時提高了符號的利用率[7]。對經(jīng)典Lorenz混沌系統(tǒng)進行多變量相空間重構(gòu)，驗證了多變量時間序列包含更豐富的系統(tǒng)信息。

其次，采用區(qū)間鄰近點法確定預(yù)測中心點的鄰近點，可避免產(chǎn)生偽鄰近點，有效減少計算量，同時提高負荷預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。

最后，利用鄧氏關(guān)聯(lián)度的概念，分析影響預(yù)測的因素，選用關(guān)聯(lián)程度最高的影響因素作為觀測變量之一進行預(yù)測，從而建立多變量預(yù)測模型。

本文對優(yōu)化的多變量加權(quán)一階局域混沌預(yù)測模型進行了數(shù)值驗證，并應(yīng)用到電力負荷預(yù)測中，在分析影響電力負荷預(yù)測的因素和相空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上，確定氣溫作為觀測變量之一，建立多變量加權(quán)一階局域混沌預(yù)測模型。通過與單變量預(yù)測方法比較，驗證了本文方法預(yù)測精度較高，實用性強。

2 多變量加權(quán)一階局域預(yù)測模型

2.1 多變量相空間重構(gòu)

多變量時間序列的相空間重構(gòu)方法與單變量時間序列相似[8]，對于n維時間序列Xi=(x1,i,x2,i,…,xn,i)，i=1,2,…,N，設(shè)ti和mi為延遲時間和嵌入維數(shù)，則其延遲時間法相空間重構(gòu)為

Yl=(x1,l,x1,l-t1,…,x1,l-(m1-1)t1,x2,l,x2,l-t2,…,x2,l-(m2-1)t2, …,xn,l,xn,l-tn,…,xn,l-(mn-1)tn)

(1)

2.2 多變量加權(quán)一階局域預(yù)測模型

在單變量加權(quán)一階局域預(yù)測模型中，設(shè)xn為已知量，xn+1為預(yù)測量，則包含有這兩個分量的最新相空間相點為Xn-(m-1)t=(xn-(m-1)t,xn-(m-2)t,…,xn)和Xn+1-(m-1)t=(xn+1-(m-1)t,xn+1-(m-2)t,…,xn+1)。因此，只要獲得相點Xn-(m-1)t的下一軌跡點Xn+1-(m-1)t，并從中分離出唯一未知量xn+1就完成了該值的預(yù)測[9]。

由此我們得出，在多變量加權(quán)一階局域預(yù)測模型中，設(shè)Xi為已知多變量，Xi+1為預(yù)測量，按照相空間的演化軌跡，由區(qū)間鄰近點法得到Xi的鄰近點Xir，根據(jù)歐式距離計算公式，計算Xi與Xir的距離

(2)

式中：dr為Xir與Xi的距離。設(shè)dmin是dr中的最小值，則Xir的權(quán)值為

(3)

對Xir和Xir+1進行一階局域線性擬合，得

Xir+1=ae+bXir

(4)

式中：e為1×m階矩陣，e=(1,1,…,1)T。

根據(jù)加權(quán)最小二乘原理，可得

(5)

將式(5)看成是關(guān)于a,b的二元函數(shù)，兩邊求偏導(dǎo),得:

(6)

3 多變量混沌預(yù)測模型優(yōu)化

3.1 多變量混沌預(yù)測模型子序列重構(gòu)

針對上述建立的多變量預(yù)測模型中的序列Xi的子序列X1，進行基于等概率符號化的極大聯(lián)合熵[10]和最小香農(nóng)熵法[11]的相空間重構(gòu)。

3.1.1 等概率符號化

以多變量時間序列Xi的子序列X1為例，將X1符號化的步驟為：

首先，將序列X1中的元素從小到大排列，得到重排后的序列{xS1,xS2,…,xSn}，按公式(7)確定閾值集合{ZC0,ZC1,ZC2,…,ZCd}，并將其等概率地分成d個小區(qū)間。其中

(7)

然后，將{xS1,xS2,…,xSn}轉(zhuǎn)換成符號序列組成的符號集Q={n-1|ZCn-1≤xSn

最后，根據(jù)文獻[10]將其劃分成長度為L的短序列，得到新的符號序列[12]。

3.1.2 極大聯(lián)合熵法求延遲時間

在穩(wěn)態(tài)情況下,對任意的延遲時間t,子序列X1和延遲序列X1,t都具有相同的概率分布和統(tǒng)計特性,則二者的熵值接近于常數(shù)，即

H(X1,X1,t) =H(X1)+H(X1,t)-I(X1,X1,t)

=C-I(X1,X1,t)

(8)

式中：H(X1)為子序列X1的熵；H(X1,t)為延遲序列X1,t的熵；H(X1,X1,t)為聯(lián)合熵；C為常數(shù)；I(X1,X1,t)為互信息函數(shù)。

由聯(lián)合熵與互信息函數(shù)的關(guān)系式(8)，聯(lián)合熵H(X1,X1,t)的第一極大值點可以確定相空間重構(gòu)的最佳延遲時間[13]。

等概率符號化將X1和X1,t編碼成十進制數(shù)序列Lx(n)和Lxt(n)，則基于等概率符號分化求取的聯(lián)合熵公式為

(9)

式中P(Lx,Lxtj)為聯(lián)合概率。

3.1.3 最小香農(nóng)熵法求嵌入維數(shù)

在等概率符號化的基礎(chǔ)上，定義改進的香農(nóng)熵[14]：

(10)

式中：Nseq是符號序列中具有非零概率的符號的總個數(shù)；pi,L是第i個長度為L的序列出現(xiàn)的概率。

HS(L)越低意味著原始時間序列中包含確定性的結(jié)構(gòu)。給定符號集大小，香農(nóng)熵HS(L)的值將隨符號序列分割長度L的變化而變化，令L從1開始增加，當(dāng)HS(L)取最小值時，所對應(yīng)的L值即為最佳嵌入維數(shù)的值[15]。

3.1.4 數(shù)值驗證

經(jīng)典Lorenz混沌系統(tǒng)[16]方程為:

(11)

由變量x和y構(gòu)成多變量時間序列，參數(shù)σ=16，b=4，r=45.92。對時間序列等概率符號化，得到極大聯(lián)合熵和最小香農(nóng)熵如圖1所示，可知延遲時間tx=ty=10；嵌入維數(shù)mx=Lx=4，my=Ly=5。

圖1 Lorenz系統(tǒng)數(shù)值仿真實驗

圖2展示了Lorenz系統(tǒng)在x-y平面的投影，單變量x和單變量y的重構(gòu)吸引子圖以及多變量xy的重構(gòu)吸引子圖。由圖可以看出，多變量時間序列在一定程度上比單變量時間序列的重構(gòu)包含更多的信息，能很好地反映出Lorenz系統(tǒng)的雙圈拓撲結(jié)構(gòu)，從而提高預(yù)測精度。

圖2 重構(gòu)吸引子圖

3.2 鄰近點的確定

設(shè)多變量時間序列Xi的嵌入維數(shù)為mi，延遲時間為ti，序列的最大值為ximax，最小值為ximin，將序列的取值區(qū)間[ximin,ximax]均分為h份，定義第v個區(qū)間Qv為:

Qv=[ximin+(v-1)δi,ximin+vδi]

(12)

δi=(ximax-ximin)/mi

(13)

式中：δi為各個小區(qū)間的長度；v=1,2,…,h。

在相空間中，對于給定區(qū)間劃分數(shù)h和中心點Xi=[xn,i,xn-ti,i,…,xn-(d-1)ti,i]T，如果存在某一狀態(tài)Xir滿足式(14)，則Xir稱為Xi的鄰近點[17]。

xn-p-kt,i∈Qv

xnr-p-kt,i∈Qv

(14)

式中：p=1,2,…；k=0,1,…,mi-1。上述即為區(qū)間鄰近點的選取方法。

選取中心點x1的鄰近點時，若只根據(jù)鄰近距離ε選，不能排除偽鄰近點x3；而區(qū)間鄰近點思想不僅保證了鄰近點位于中心點附近，而且保證了在p個時刻內(nèi)兩點的軌線都很接近，如圖3所示，從而避免了偽鄰近點的產(chǎn)生[18]。

圖3 區(qū)間鄰近點避免產(chǎn)生偽鄰近點的示意圖

3.3 關(guān)聯(lián)分析確定觀測變量

在進行預(yù)測時，不同因素影響程度不同，利用鄧氏關(guān)聯(lián)度的概念[19]，關(guān)聯(lián)程度最高的影響因素作為觀測變量之一進行預(yù)測。

(15)

(16)

4 實際電力負荷預(yù)測

依據(jù)某地區(qū)2012年1月和2月的負荷及相關(guān)數(shù)據(jù)，對2012-03-01的電力負荷進行預(yù)測。首先，對實際電力負荷與相關(guān)因素(氣溫、實時電價和時間)[20,21]做關(guān)聯(lián)分析，所得關(guān)聯(lián)系數(shù)曲線如圖4所示，其中電力負荷與氣溫的關(guān)聯(lián)度為0.89，與實時電價的關(guān)聯(lián)度為0.33，與時間的關(guān)聯(lián)度為0.75。由此看出，氣溫與電力負荷的關(guān)聯(lián)度最高，故選擇氣溫作為負荷預(yù)測的觀測變量。

圖4 電力負荷與各因素的關(guān)聯(lián)系數(shù)曲線

然后，采用等概率符號化、極大聯(lián)合熵和最小香農(nóng)熵法對電力負荷序列和氣溫時間序列進行相空間重構(gòu)，見圖5和圖6。由圖可知，負荷時間序列的延遲時間t1=21，嵌入維數(shù)m1=2；氣溫時間序列的延遲時間t2=4，嵌入維數(shù)m2=3。

圖5 重構(gòu)負荷時間序列

圖6 重構(gòu)氣溫時間序列

最后，在關(guān)聯(lián)分析和相空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上，采用本文提出的多變量加權(quán)一階局域混沌預(yù)測模型對2012-03-01全天的負荷值進行預(yù)測，并與單變量加權(quán)一階局域預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果進行比較，見圖7、圖8和表1。

圖7 多變量與單變量預(yù)測負荷比較

圖8 多變量與單變量預(yù)測誤差比較

表12012-03-01負荷預(yù)測的平均誤差與平均計算時間

參數(shù)多變量預(yù)測單變量預(yù)測平均誤差/(%)平均計算時間/s0.8130.6342.9670.425

由圖7、圖8和表1可見，多變量預(yù)測模型在計算時間上與單變量預(yù)測模型相差不大，但在預(yù)測精度上具有明顯優(yōu)勢。因此，多變量預(yù)測模型可以在保證計算時間的同時提高模型的預(yù)測精度。

為了進一步驗證多變量預(yù)測方法的有效性，對2012-03-01到2012-03-07一周的電力負荷進行預(yù)測，并對一周的日最高負荷預(yù)測結(jié)果進行誤差分析，結(jié)果見表2。

表2 一周負荷預(yù)測誤差分析

由表2可以看出，多變量局域區(qū)間預(yù)測方法對一周的負荷預(yù)測的結(jié)果優(yōu)于單變量預(yù)測方法。因此，驗證了多變量預(yù)測方法應(yīng)用到電力負荷預(yù)測的有效性。

5 結(jié) 論

在多變量相空間重構(gòu)思想的基礎(chǔ)上，建立多變量加權(quán)一階局域混沌預(yù)測模型。采用基于等概率符號化的極大聯(lián)合熵和最小香農(nóng)熵法進行相空間重構(gòu)，能夠有效挖掘時間序列的信息，并用經(jīng)典的Lorenz混沌模型驗證了該重構(gòu)方法的有效性。優(yōu)化的多變量混沌預(yù)測模型應(yīng)用于短期電力負荷預(yù)測，利用相關(guān)分析得到氣溫是與負荷相關(guān)程度最高的影響因素，將電力負荷和氣溫序列結(jié)合起來，相較于單變量負荷時間序列預(yù)測方法，明顯提高了負荷的預(yù)測精度。

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