基于一階及二階DIC方法的 常應變剪切帶的測量誤差分析

杜亞志， 王學濱,2， 董 偉， 馮威武， 侯文騰

(1. 遼寧工程技術大學 力學與工程學院， 遼寧 阜新 123000； 2. 遼寧工程技術大學 計算力學研究所， 遼寧 阜新 123000)

1 引 言

目前，CT技術、立體成像技術、數(shù)字圖像相關(digital image correlation, DIC)方法[1～5]等先進的觀測手段均被用于測量剪切帶內外微結構特征、研究剪切帶的發(fā)展演化等。

文獻[6]針對DIC方法中圖像的亞像素插值誤差較大的問題，提出了一種基于B樣條插值核的插值濾波器;文獻[7]通過對散斑圖進行平移，比較了梯度法、曲面擬合法及N-R(Newton-Raphson)法的精度;文獻[8]提出了一種散斑圖質量評價參數(shù)——平均灰度梯度;根據(jù)文獻[8]提出的參數(shù)，文獻[9]提出了一種散斑圖質量評價參數(shù)——平均一階及二階灰度梯度商;文獻[4]使用整像素精度的DIC方法測量了水平常應變剪切帶的寬度;文獻[5]根據(jù)梯度塑性理論制作了含應變梯度的水平剪切帶，比較了一階及二階DIC方法的位移場、應變場及應變梯度場的測量結果的差異。

為了解基于DIC法的剪切帶的測量精度，本文制作了簡單剪切條件下水平(傾角為0°)和傾斜(傾角為60°)常應變剪切帶，并使用DIC法對剪切帶內、外的位移場、應變場和寬度進行了測量；分析了形函數(shù)、子區(qū)尺寸及測點間距對測量結果的影響。

2 剪切帶的制作方法

常見的剪切帶模型為簡單剪切模型，在該模型中，剪切帶內的變形是簡單剪切，剪切帶外僅有剛體位移。在水平常應變剪切帶中，剪切位移為水平位移，若以剪切帶中心線上任意點為原點建立直角坐標系x′O′y′,x′和y′分別為剪切帶的切向和法向，則有剪切帶水平位移計算公式：

s(y′)=γ0y′

(1)

式中：γ0為上述水平剪切帶的剪應變；y′為剪切帶的法向坐標，y′∈[-w/2,w/2]，w為剪切帶寬度。

在該模型中，剪切帶的傾角θ為零，而在通常情況下剪切帶是傾斜的。文獻[2]中僅簡單提及了傾斜剪切帶的制作方法，即“首先，將一張實驗圖片旋轉60°；然后，在一定位置進行常應變簡單剪切；最后，再將圖像反向旋轉60°，得到包含傾斜剪切帶(傾角為60°)的圖像”。這里采用簡單剪切模型及文獻[2]提出的制作方法制作。具體步驟如下：

(1)定義剪切帶邊界。理論上，剪切位移是剪切帶法向坐標的連續(xù)函數(shù)，而在剪切帶制作過程中，僅對圖像中離散的像素進行操作。圖1給出了垂直于剪切帶的一列像素、剪切帶邊界的位置及該列像素位移的示意圖。在圖1中,像素用小正方形表示，像素的中心點用圓點表示，剪切帶邊界用兩條平行線段表示;圖1(a)為剪切帶邊界在兩個相鄰像素之間；圖1(b)為剪切帶邊界在像素的中心。于是產生了在位移曲線中剪切帶寬度的定義不同，寬度分別為w1和w2。在圖1(b)中，剪切帶內靠近邊界的點的位移等于最大剪切位移，據(jù)此制作剪切帶，有利于與有關的理論結果作對比。

(2)對剪切帶外上下兩盤進行剛體平移，平移量為γ0w2。

(3)使用仿射變換方法對圖像進行變形，使用光滑性較好的雙三次樣條函數(shù)對圖像進行插值。

圖1 剪切帶的兩種邊界的定義

圖2給出了源圖像及含剪切帶的圖像。圖2(a)為一幅散斑圖[10]，據(jù)此制作了水平剪切帶(圖2(b))和傾斜剪切帶(圖2(c))，其中，γ0=-0.1745，w=30像素，θ=60°。

圖2 源圖像及含剪切帶的圖像

3 結果分析

在圖像坐標系xOy下，從圖2(a)變形至圖2(b)，根據(jù)式(1)可計算出最大水平位移為2.62像素，垂直位移、水平線應變εx及垂直線應變εy的理論值均為零，剪應變的理論值γxy=γ0=-0.174 5。 使用基于粒子群優(yōu)化算法及N-R迭代的粗-細DIC方法[3]分別對從圖2(a)變形至圖2(b)、從圖2(a)變形至圖2(c)的位移和應變進行了計算，計算區(qū)域如圖2(a)所示(水平剪切帶，使用計算區(qū)域1；傾斜剪切帶，使用計算區(qū)域2)。

3.1 水平剪切帶的結果分析

3.1.1 一階DIC方法的結果分析

圖3給出了基于一階DIC方法的從圖2(a)變形至圖2(b)的結果，其中兩條虛線代表剪切帶的邊界。子區(qū)尺寸為31像素×31像素(簡稱為31像素)，測點數(shù)量為23×19，測點間距為5像素。

圖3 一階DIC方法的水平剪切帶的位移場、應變場及相關系數(shù)

從圖3(a)和3(b)中可以發(fā)現(xiàn):圖像上、下兩部分的位移矢量場有較大差別,上部分位移向左，下部分位移向右，且兩部分位移的大小基本相等，這與帶外區(qū)域平動相符；在上、下兩部分之間，存在一個明顯的位移梯度帶，帶內的水平位移在法向變化較大，這與剪切帶的位置(圖3(b)中的兩條平行線段之間的區(qū)域)對應。該位移梯度帶的寬度稍大于剪切帶寬度，這表明，在剪切帶邊界附近，位移場存在一定的誤差。

從圖3(c)中可以發(fā)現(xiàn):在遠離剪切帶及剪切帶中心線附近的區(qū)域，垂直位移均在零附近，這與理論值接近；在剪切帶邊界附近，垂直位移在-0.15和0.2像素之間隨機變化，表明在剪切帶邊界垂直位移的誤差限較大。

從圖3(d)和3(e)中可以發(fā)現(xiàn):在遠離剪切帶及剪切帶中心線附近的區(qū)域，兩種線應變在零附近；

在剪切帶邊界附近，兩種線應變在-0.02～0.02之間隨機變化。從圖3(f)中發(fā)現(xiàn):在剪切帶內，γxy在-0.16～-0.08之間，大于理論值-0.174 5；在剪切帶邊界附近，γxy在-0.08～0之間，表明γxy存在一定的誤差。

從圖3(g)中可以發(fā)現(xiàn):在遠離剪切帶及剪切帶中心線附近的區(qū)域，相關系數(shù)均大于0.999，表明位移誤差限較??；在剪切帶邊界附近，相關系數(shù)在0.993～0.999之間，表明位移誤差限較大。

3.1.2 形函數(shù)對位移和應變的影響

為了減小隨機誤差的影響，對圖3中相同y坐標的19個點的位移和應變求均值。圖4為不同DIC方法的位移和應變。

圖4 不同DIC方法的位移及應變

從圖4(a)中可以發(fā)現(xiàn):當測點遠離剪切帶(y>225像素或y<160像素)時，兩種DIC方法的水平位移均等于理論值；在剪切帶內及附近(y=160～225像素)，兩種DIC方法的水平位移均有一定的誤差;在剪切帶中心，位移誤差均基本為零；從剪切帶中心到剪切帶邊界，位移誤差限逐漸增大，且一階DIC方法比二階DIC方法的水平位移誤差限大;從剪切帶邊界到遠離剪切帶的測點，一階DIC方法的水平位移誤差限逐漸減小，趨于零，最大誤差限約為0.6像素,而二階DIC方法的水平位移最大誤差限約為0.3像素。整體上，在剪切帶內及附近，二階DIC方法比一階DIC方法的位移誤差限小。從圖4(a)、4(b)中可以發(fā)現(xiàn):與水平位移誤差限相比，垂直位移誤差限較小;圖4(b)中一階DIC方法及二階DIC方法的垂直位移的范圍分別為-0.05～0.21像素和-0.05～0.05像素,這也表明，在剪切帶內及附近，二階DIC方法比一階DIC方法的位移誤差限小。

由圖4(c)可以發(fā)現(xiàn):在剪切帶內，兩種DIC方法的剪應變均是變化的，在剪切帶中心剪應變最小,一階DIC方法的剪應變均大于理論值，而二階DIC方法的剪應變小于理論值;在剪切帶邊界，兩種DIC方法的剪應變基本相等，約為理論值的一半;從剪切帶邊界至帶外約20像素范圍內，一階DIC方法的剪應變逐漸增加，均小于零(理論值),而二階DIC方法的剪應變較為復雜。

3.1.3 子區(qū)尺寸對位移和應變的影響

圖5給出了從圖2(a)變形至圖2(b)的剪切帶的位移和應變的分布規(guī)律，子區(qū)尺寸分別為21、41和61像素，其余計算參數(shù)同圖3。與圖4類似，已對相同y坐標的19個點的位移和應變求平均。

從圖5(a)、5(b)中可以發(fā)現(xiàn):隨著子區(qū)尺寸的增加，剪切帶內及附近區(qū)域(y=150～230像素)的絕大部分測點的位移誤差限逐漸增加;當子區(qū)尺寸不同時，位移及位移誤差均中心對稱，對稱中心為剪切帶中心(y=192像素)。下面以剪切帶中心上部(y<192像素)為例進行分析。剪切帶中心附近測點的位移誤差基本為零;當測點逐漸遠離剪切帶中心時，位移誤差先增加，后減小，最后趨于零。在剪切帶邊界(y=177像素)，位移誤差達到峰值；在位移誤差峰值附近(y=147～192像素)，位移誤差基本對稱分布。對這種現(xiàn)象進行解釋如下：

圖5 子區(qū)尺寸對位移和剪應變的影響

對于子區(qū)中心點在剪切帶邊界附近的情況，無論其位于剪切帶內或帶外，一階DIC方法中的變形均勻性假設不適用，因此位移誤差限較大。當子區(qū)中心點在剪切帶外時，子區(qū)覆蓋的一部分剪切帶區(qū)域是干擾區(qū)域;同樣，當子區(qū)中心點在剪切帶內時，子區(qū)覆蓋的一部分剪切帶外區(qū)域是干擾區(qū)域。當上述子區(qū)的中心點與剪切帶邊界的距離相等時，子區(qū)中干擾區(qū)域尺寸占子區(qū)尺寸的比例相等，此時，位移誤差相等(圖5(b))。當子區(qū)中心點在剪切帶邊界處時，該比例達到最大值0.5，此時位移誤差達到最大值或最小值。因此可以推測，位移誤差與干擾區(qū)域的尺寸占子區(qū)尺寸的比例有關。對于剪切帶中心附近的子區(qū)，當其僅包含帶內區(qū)域時，滿足變形均勻性假設，因此位移誤差限較??；隨著子區(qū)尺寸的增加，當子區(qū)超出剪切帶時，子區(qū)覆蓋的兩塊剪切帶外區(qū)域是干擾區(qū)域。剪切帶中心附近測點的位移誤差限較小，這可能與干擾區(qū)域對計算結果的影響較小有關。

從圖5(d)、5(e)可以發(fā)現(xiàn):對于二階DIC方法的結果，隨著子區(qū)尺寸的增加，剪切帶內及附近(y=147～237像素)測點的位移誤差限基本上逐漸增大。從圖5(b)、5(e)可以發(fā)現(xiàn):當子區(qū)尺寸相同時，對于剪切帶內及其附近測點的位移，二階DIC方法的位移誤差限通常比一階DIC方法的小，這是由于二階DIC方法中，子區(qū)的變形可以是不均勻的。

從圖5(c)、(f)可以發(fā)現(xiàn):在剪切帶中心，隨著子區(qū)尺寸的增加，一階及二階DIC方法的剪應變的誤差基本上逐漸增加；在子區(qū)尺寸相同時，二階DIC方法的剪應變誤差比一階DIC方法的小。

3.1.4 測點間距對應變的影響

圖6給出了測點間距分別為2、5及10像素時一階及二階DIC方法的剪應變。隨著測點間距的增加，在遠離剪切帶的區(qū)域(y=135～150像素、235～250像素)，剪應變接近理論值；在剪切帶內，剪應變-坐標曲線由陡峭變得平緩。在剪切帶內及附近，隨著測點間距的增加，一階DIC方法和二階DIC方法的剪應變有所不同：一階DIC方法的剪應變逐漸偏離理論值；在剪切帶邊界外各5像素，二階DIC方法的剪應變的誤差隨著測點間距的增加而減??；在剪切帶中心附近(y=187～197像素)，二階DIC方法的剪應變的誤差由負值變?yōu)檎怠?/p>

當測點間距分別為2、5及10像素時，一階DIC方法的剪切帶寬度分別為70、75及90像素，為理論值的2.3～3倍；二階DIC方法的剪切帶寬度均為70像素，為理論值的2.3倍。兩種DIC方法的剪切帶寬度均大于理論值，這可解釋如下：在采用中心差分方法時，一點的應變是根據(jù)周圍多個測點的位移得到的，剪切帶外測點的應變可能被高估，由此導致剪切帶寬度被高估。

圖6 測點間距對剪應變的影響

3.2 傾斜剪切帶的結果分析

圖7給出了二階DIC方法的從圖2(a)變形至圖2(c)(包含傾斜剪切帶)的位移矢量場、水平位移、垂直位移、εx、εy、γxy及相關系數(shù)的等值線圖，其中，兩條虛線代表剪切帶的兩個邊界。樣本子區(qū)尺寸=31像素×31像素，測點數(shù)量為63×19，測點間距為5像素?？梢园l(fā)現(xiàn)：(1)在遠離剪切帶的位置，測點的位移比較均勻，應變基本為零，相關系數(shù)較大(大于0.999 8)，表明這部分測量結果比較準確；(2)在剪切帶內及附近，應變比較集中，應變局部化帶的寬度的計算值均大于剪切帶寬度的理論值,相關系數(shù)的范圍為0.998 6～0.999 8，略小于遠離剪切帶處的值。

圖7 二階DIC方法的傾斜剪切帶的位移場及應變場

由圖3和圖7可以發(fā)現(xiàn)，針對水平和傾斜剪切帶的各種計算結果類似，不再贅述。

4 結 論

為了了解基于DIC法的剪切帶的測量精度，本文制作了水平和傾斜的常應變剪切帶，并使用DIC法對剪切帶內、外的位移場和應變場進行了計算，得到以下結論：

(1)在剪切帶邊界附近，一階或二階DIC方法的位移誤差限較大，這是因為這些區(qū)域的變形不均勻，子區(qū)覆蓋一部分剪切帶。子區(qū)尺寸越大，或測點距離剪切帶邊界越近，位移誤差限越大。一般地，對剪切帶邊界附近測點進行計算時，二階DIC方法的位移誤差限比一階DIC方法的小，這應與在二階DIC方法中允許子區(qū)的變形是不均勻的有關。

(2)隨著測點間距的增加，一階或二階DIC方法的剪切帶法向的剪應變-坐標曲線由陡峭變得平緩，剪切帶寬度逐漸增加。

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