從兒童代數(shù)思維過程看小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

林琦李雯

“數(shù)與代數(shù)”作為數(shù)學(xué)課程四大基本板塊之一，在義務(wù)教育階段占據(jù)著過半的教學(xué)內(nèi)容。該領(lǐng)域下的算術(shù)和代數(shù)有著緊密的聯(lián)系卻又顯現(xiàn)出巨大的差異：相比起算術(shù)，代數(shù)具有抽象概括性以及缺乏可供兒童形象思維的模型等特點(diǎn)。而以上特點(diǎn)也導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)入代數(shù)領(lǐng)域?qū)W習(xí)之后，體現(xiàn)出不同的代數(shù)思維水平。

一、兒童代數(shù)思維的三種類型

兒童代數(shù)思維大致可以劃分為三種類型。

1.符號化思維。

符號化思維即把抽象符號當(dāng)作工具來進(jìn)行思考的過程，它反映了兒童思維從具體到抽象的過渡，也體現(xiàn)了兒童概括水平的提升。可以說，在符號化的思維指引下，兒童初步具備了符號意識和符號表征能力，更重要的是他們開始利用符號開展思考。

在認(rèn)數(shù)的過程中，兒童的認(rèn)識最初停留在表面的、具體形象的實(shí)物，例如3支鉛筆、3塊橡皮、3本書等，隨后他們能從這些事物中發(fā)現(xiàn)并抽取出它們的共同屬性，用數(shù)字符號“3”來表示。當(dāng)數(shù)字符號也呈現(xiàn)出有規(guī)律的變化時(shí)，兒童便能進(jìn)一步用字母符號“n”來概括。該符號化思維過程充分發(fā)展了兒童的數(shù)學(xué)抽象能力，推動(dòng)其邁出代數(shù)學(xué)習(xí)的第一步。

但是，兒童的符號化思維還存在不穩(wěn)定的一面。譬如，雖然兒童對數(shù)量關(guān)系有了一定把握，但有時(shí)還需要具體事物的支撐。1條狗有2只耳朵，2條狗有4只耳朵，而當(dāng)狗的條數(shù)變成x的時(shí)候，部分兒童卻會(huì)依然選擇用x來表示耳朵的只數(shù)，這種符號化結(jié)果的偏頗也將對兒童接下去的思維進(jìn)程產(chǎn)生負(fù)面的影響。因此，符號化思維仍然是一種簡單的抽象思維，需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固和發(fā)展。

2.關(guān)系性思維。

關(guān)系性思維是第二類代數(shù)思維，指將數(shù)學(xué)元素之間建立聯(lián)結(jié)，通過其中的關(guān)系開展推理性的思考。處于該水平階段的兒童思維有著兩大鮮明的特點(diǎn)：對數(shù)學(xué)關(guān)系的分析推理以及對等號意義的合理解讀。

首先，兒童不僅能準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系，而且可以在此過程中進(jìn)行靈活地思維。例如，已知 a＜5，b＞5，學(xué)生能通過不等號的傳遞性構(gòu)建兩個(gè)不等式間的關(guān)聯(lián)，思考三個(gè)數(shù)學(xué)元素的大小，得出a＜b，隨后將結(jié)論推廣至類似的數(shù)學(xué)情境。兒童以上行為意味著他們在符號化思維的基礎(chǔ)上取得了巨大進(jìn)步。其次，等號在數(shù)學(xué)中具有運(yùn)算符號和關(guān)系符號的雙重意義。當(dāng)?shù)忍栕鳛檫\(yùn)算符號時(shí)起著連接計(jì)算過程和最終結(jié)果的作用，扮演著輸出答案的角色，折射出兒童背后的算術(shù)思維；當(dāng)?shù)忍栕鳛殛P(guān)系符號時(shí)更強(qiáng)調(diào)等式左右雙方的等價(jià)關(guān)系，扮演著恒等變化的中介，代表了兒童的代數(shù)思維。故將等號理解為關(guān)系符號更有助于學(xué)生建立數(shù)學(xué)元素之間的聯(lián)系，進(jìn)行關(guān)系性的思考。

總的來說，關(guān)系性思維的發(fā)展讓兒童將關(guān)注點(diǎn)擴(kuò)大到數(shù)字、符號等之間的交互作用，它為兒童提供了更多的思考空間與可能，也促進(jìn)其抽象、推理能力的深化。

3.結(jié)構(gòu)性思維。

如果說關(guān)系性思維是借助部分?jǐn)?shù)學(xué)元素之間的關(guān)系進(jìn)行思考，那么結(jié)構(gòu)性思維就是將這些零散的關(guān)系組合成有機(jī)的整體，用整體的眼光開展綜合、比較、判斷、推理等活動(dòng)。結(jié)構(gòu)性思維是一種相對成熟的代數(shù)思維，在小學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)中顯著的表現(xiàn)便是將數(shù)學(xué)表達(dá)式作為一個(gè)整體對象去認(rèn)識與運(yùn)算。這在很大程度上依賴于兒童的結(jié)構(gòu)意識，有學(xué)者曾指出代數(shù)結(jié)構(gòu)意識具體包括：把代數(shù)表達(dá)式看作一個(gè)整體對象；從表達(dá)式中看出已知的代數(shù)結(jié)構(gòu)；把一個(gè)結(jié)構(gòu)拆分為幾個(gè)子結(jié)構(gòu)；確定結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系；針對特殊的結(jié)構(gòu)選擇可能和有效的符號進(jìn)行操作。例如，對于13+8=12+（ ）的問題，處于符號化思維或關(guān)系性思維水平的兒童傾向于通過傳統(tǒng)的程序計(jì)算求出結(jié)果，即先算得13+8的結(jié)果為21，隨后計(jì)算21-12得出答案為9。而當(dāng)兒童擁有結(jié)構(gòu)性思維之后，他們會(huì)對表達(dá)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行細(xì)化，發(fā)現(xiàn)左右兩邊均為兩個(gè)數(shù)學(xué)元素相加，且12僅比13小1，依據(jù)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，其推斷為了保持等式成立，（ ）中的數(shù)必須比8大1，從而得到9。從中可以看出，擁有結(jié)構(gòu)性思維兒童的思考效率和思維水平有了明顯的提升。

至此，兒童的代數(shù)思維已發(fā)展至一定的高度，他們的思維水平從局限突破到開放，數(shù)學(xué)能力也表現(xiàn)的更為全面與突出。

二、促進(jìn)兒童代數(shù)思維發(fā)展的教學(xué)策略

依據(jù)兒童代數(shù)思維發(fā)展的內(nèi)在邏輯，教師可在教學(xué)中從培養(yǎng)學(xué)生符號化思維、關(guān)系性思維和結(jié)構(gòu)性思維的角度出發(fā)開展小學(xué)代數(shù)的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

1.夯實(shí)算術(shù)基礎(chǔ)，滲透符號意識。

在兒童進(jìn)入代數(shù)領(lǐng)域?qū)W習(xí)之前，扎實(shí)的算術(shù)基礎(chǔ)必不可少，但教師需要避免其算術(shù)思維過于僵化和刻板。因此，在算術(shù)學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)結(jié)果的準(zhǔn)確性、過程的多樣性、運(yùn)算律廣泛的應(yīng)用性等。例如，在教學(xué)24+30+6=（ ）的過程中，可以肯定學(xué)生按順序計(jì)算的方法，但更應(yīng)提倡將式子轉(zhuǎn)化為24+6+30的做法。這樣做的意義不僅在于簡便計(jì)算過程，更有利于為加法交換律在代數(shù)運(yùn)算中的推廣做鋪墊。

除此之外，可在算術(shù)教學(xué)中逐步滲透符號意識，使學(xué)生適應(yīng)代數(shù)學(xué)習(xí)的形式化?！坝米帜副硎緮?shù)”是小學(xué)生開始代數(shù)學(xué)習(xí)的第一課。教師大可不必直奔主題，而是在此之前豐富兒童對數(shù)字表征的形式，利用“（ ）、□、●”甚至圖像等多元的表征方式都有利于符號思想的積極內(nèi)化。不僅如此，教師更要促進(jìn)兒童使用這些符號去思考、去表達(dá)、去交流，增強(qiáng)實(shí)際運(yùn)用能力。

2.關(guān)注數(shù)量關(guān)系，加強(qiáng)等號理解。

教師需要意識到數(shù)學(xué)中存在著極其豐富的聯(lián)系，它們都是發(fā)展兒童關(guān)系性思維的素材。在兒童從符號化思維邁向關(guān)系性思維的同時(shí)，首先要加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系方面的訓(xùn)練。這就要求兒童正確闡釋數(shù)量關(guān)系、恰當(dāng)表征，在數(shù)學(xué)元素變化的過程中理解數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。例如，如果兒童能依照青蛙只數(shù)和眼睛個(gè)數(shù)的關(guān)系，準(zhǔn)確地用2n表示n只青蛙眼睛的個(gè)數(shù)，那么教師可以進(jìn)一步把關(guān)系雙方轉(zhuǎn)變?yōu)榍嗤苤粩?shù)和腿的條數(shù)，甚至眼睛個(gè)數(shù)和腿的條數(shù)，充分發(fā)揮數(shù)量關(guān)系對兒童思維的鍛煉作用。

其次，等號背后也蘊(yùn)含著大量的聯(lián)系，但它卻常常是教學(xué)中被忽視的重點(diǎn)。在北師大版教材中明確設(shè)有“等量關(guān)系”一課幫助學(xué)生深入理解等號意義之外，少有其他教科書能關(guān)注到這一點(diǎn)。對此，教師應(yīng)當(dāng)自主挖掘兒童代數(shù)思維發(fā)展的特點(diǎn)，加強(qiáng)守恒、傳遞等思想的教學(xué)。

天平中的恒等變換

天平模型能很好地起到具體化等號功能的作用。比如通過上圖的動(dòng)態(tài)操作過程，學(xué)生可以獲知想要使天平保持平衡（等號成立），需要同時(shí)增加或減少相同的量，這其中便包含了恒等變換的思想。教學(xué)實(shí)踐中，利用形如“2+5○3+4”的算式同樣能讓學(xué)生在判斷相等的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考等號左右兩邊的關(guān)系而非關(guān)注計(jì)算結(jié)果。

3.融入代數(shù)思想，注重?cái)?shù)字等式。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀表明當(dāng)下兒童的代數(shù)思維普遍停留在符號化思維與關(guān)系性思維，如何進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維成為了關(guān)注的焦點(diǎn)。

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材主要采取了分散滲透與集中安排相結(jié)合的方式編排代數(shù)課程內(nèi)容，大體上可分為早期蘊(yùn)蓄、逐步過渡、初步學(xué)習(xí)三個(gè)階段進(jìn)行。這就要求我們盡早在算術(shù)學(xué)習(xí)的過程中融入代數(shù)思想的教學(xué)。例如，編排“3△+5△=32，△=？；2○=3☆，6☆=□，○與□有什么關(guān)系？”等題目，不僅能通過圖像符號滲透未知數(shù)的概念，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察與總結(jié)等式結(jié)構(gòu)的能力。

最后，需要充分利用數(shù)字等式促進(jìn)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)意識。在對類似于“35+13=（ ）+18”問題的解答過程中，教師不應(yīng)當(dāng)僅以結(jié)果準(zhǔn)確性來評判學(xué)習(xí)成效，相反需要更多地關(guān)注學(xué)生思維過程。注意選擇多種與代數(shù)思維相關(guān)的活動(dòng)，分析和討論學(xué)生作業(yè)的程序，比較學(xué)生間代數(shù)思維的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行引導(dǎo)與強(qiáng)化。