巖石統(tǒng)計損傷軟化模型及其參數(shù)反演

，，， ， ，(.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國家重點實驗室，成都 60059；.西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都 6003)

1 研究背景

巖石作為一種非均質(zhì)的工程材料，其本構(gòu)關(guān)系一直是各工程領(lǐng)域十分關(guān)注的內(nèi)容[1-2]。自從Cook[3]首次提出巖石應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程的概念，國內(nèi)外學(xué)者對巖石本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行廣泛研究，提出大量巖石本構(gòu)模型，但絕大多數(shù)模型難以較好地反映復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的巖石特性。

由于工程巖體普遍帶有節(jié)理、裂隙等天然缺陷，巖體損傷理論將巖體內(nèi)部的天然缺陷理想地簡化為巖體的損傷，這與巖體特性十分吻合[4-5]。Lemaitre[6-7]提出應(yīng)變等價性假說，Krajcinovic等[8-9]將連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計強度理論有機地結(jié)合起來，提出了巖石統(tǒng)計損傷的概念。

目前關(guān)于巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的研究已取得大量成果，唐春安[10]和謝和平[11]分別從巖石微元強度以及損傷耗散能釋放率分布的隨機性出發(fā)進(jìn)行的研究，推動了巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)的研究。曹文貴等[12-13]、徐衛(wèi)亞等[14]、袁小平等[15]、蔣維等[16]、Deng等[17]基于Lemaitre應(yīng)變等價性假說對巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型進(jìn)行了較為全面的研究。已有相關(guān)研究中，巖石微元強度的概率分布有冪函數(shù)分布[18]、Weibull分布[12]、對數(shù)正態(tài)分布[16]和正態(tài)分布[13]等，而微元破壞準(zhǔn)則主要利用了Mohr-Coulomb(M-C)準(zhǔn)則和Drucker-Prager(D-P)準(zhǔn)則。

巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的關(guān)鍵在于描述微元強度和選擇其概率密度分布以及確定模型參數(shù)。已有研究確定模型參數(shù)多是采用作圖法[10]或基于線性方程系數(shù)的回歸求解的曲線擬合法[12,14]，但這2種方法具有一定主觀性。且由于巖石材料的復(fù)雜性，所建模型未必適用于不同應(yīng)力狀態(tài)下的不同巖石材料，故筆者從巖石微元強度服從Weibull概率分布出發(fā)，采取參數(shù)反演分析的方法來確定模型參數(shù)，選取不同強度準(zhǔn)則，以期建立更加符合實際的巖石統(tǒng)計損傷軟化本構(gòu)模型。

2 巖石統(tǒng)計損傷軟化模型

2.1 損傷變量及損傷演化過程

假設(shè)巖石由n(n→∞)個微單元組成，微單元僅由k個破壞單元和(n-k)個無損單元組成。假設(shè)破壞單元無法承受荷載，無損單元在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為破壞單元，破壞單元和無損單元面積都為S，則損傷變量D可定義為

(1)

式中0≤k≤n，故D∈[0，1]。

當(dāng)微元的應(yīng)力水平Y(jié)達(dá)到微元強度F時，微元即刻破壞。假設(shè)微元強度F服從Weibull隨機分布，則其概率密度函數(shù)P(F)為

(2)

式中m和F0為Weibull分布參數(shù)。

當(dāng)加載到某應(yīng)力水平Y(jié)時，已破壞的微元數(shù)目k為

(3)

聯(lián)立式(1)和式(3)可得統(tǒng)計損傷演化方程

D=P(Y) 。

(4)

依據(jù)Lemaitre應(yīng)變等價性假說[6-7]，可建立損傷本構(gòu)方程為

σ*=σ/I-D=Cε/I-D。

(5)

式中：σ*為有效應(yīng)力矩陣;σ為應(yīng)力矩陣;C為彈性矩陣;ε為軸向應(yīng)變;I為單位矩陣。

將式(3)和式(4)代入式(2)可得損傷變量D為

(6)

由式(6)可知，損傷變量D與巖石微元強度F直接相關(guān)，結(jié)合文獻(xiàn)[12]，將微元強度F表示為

(7)

式中：α為與巖石性質(zhì)相關(guān)的參數(shù);I1為應(yīng)力張量第一不變量;J2為應(yīng)力偏量第二不變量。且有:

(8)

(9)

在巖石常規(guī)三軸試驗中，圍壓σ3=σ2，假設(shè)巖石無損單元為彈性體，滿足Hooke定律，無損單元向破壞單元轉(zhuǎn)化瞬間完成，無時間效應(yīng)，則有

(10)

式中：ε1為軸向應(yīng)變；μ為泊松比；E為彈性模量。

通過式(5)、式(8)—式(10)可以得到：

(11)

(12)

2.2 統(tǒng)計損傷軟化本構(gòu)模型的建立

聯(lián)立式(5)、式(6)、式(10)可得

(13)

式(13)即為本文所建立的巖石統(tǒng)計損傷軟化本構(gòu)模型。

3 模型參數(shù)的確定

將式(7)、式(11)、式(12)代入式(13)并求偏微分可得

(14)

設(shè)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值點為b，并引入峰值條件，即

(15)

將式(15)代入式(14)整理可得

式中：σ1b為峰值應(yīng)力；ε1b為峰值應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變；Fb為峰值點對應(yīng)的F值。

再將式(13)變形為

(17)

聯(lián)立式(16)和式(17)可得：

(18)

(19)

由式(18)可看出，m的取值通過E，μ，σ3，σ1b，ε1b即可確定，與微元強度F無關(guān)。由式(7)和式(19)可看出，F(xiàn)0的取值取決于α，而式(7)中，不同的α對應(yīng)不同的破壞準(zhǔn)則。圖1為不同α值所對應(yīng)的巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

圖1 不同α值對應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Stress-strain curves in the presence of different α values

由圖1可看出，不同α值的峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線形態(tài)有較為明顯的差異，隨著α值的增大，峰后曲線由平坦逐漸變得陡直，峰后的應(yīng)力衰減速度逐漸加劇，巖石更趨于表現(xiàn)出脆性特征。

不同強度準(zhǔn)則的α值都不相同，現(xiàn)列出幾種常用的強度準(zhǔn)則[18](如表1)。

表1 不同強度準(zhǔn)則下的α值Table 1 Values of α under different strength criteria

注：ψ為內(nèi)摩擦角

圖3 試驗曲線與理論曲線的對比Fig.3 Comparison between test curve and theoretical curves

常用的模型參數(shù)確定方法多是采用作圖法[10]或基于線性方程系數(shù)的回歸求解的曲線擬合法[12,14]。由于巖石材料的復(fù)雜性，事先選定好α值所建模型未必適用于不同應(yīng)力狀態(tài)下的不同巖石材料，筆者認(rèn)為這2種方法具有一定的主觀性，故采用優(yōu)化反演分析[19]方法對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)反演,確定參數(shù)α值。

在對彈塑性問題建立的優(yōu)化反演分析法中，可在各參數(shù)可能的變化范圍內(nèi)找到一組使誤差為最小的最佳參數(shù)，目標(biāo)函數(shù)建立為

(20)

式中：N為某種工況下應(yīng)變測試點總數(shù);σi為應(yīng)力理論計算值;σi*為應(yīng)力測試值。

對參數(shù)α進(jìn)行約束，文獻(xiàn)[4]對此進(jìn)行了具體論述，約束條件為

(21)

反演過程中α在約束范圍內(nèi)不斷變換直至J(α)取得最小值。當(dāng)α確定后，通過已解出的m再由式(7)、式(11)、式(12)、式(19)即可求得F0，最終代入式(13)即可得到本文統(tǒng)計損傷軟化模型。

4 模型驗證

4.1 常規(guī)三軸壓縮試驗

為了驗證本文模型，采用YSJ-01-00巖石三軸流變試驗機(如圖2)對紅層泥巖進(jìn)行常規(guī)三軸壓縮試驗。巖樣取自川西盆地某紅層邊坡[20-21]，密封后運回實驗室加工成Φ50 mm×100 mm的圓柱樣;試驗圍壓設(shè)置為1，2，3 MPa，試樣過程以0.5 MPa/s的速率施加圍壓，圍壓穩(wěn)定后以0.1 mm/s的軸向位移速率施加軸向荷載。

圖2 試驗儀器Fig.2 Test apparatus

4.2 模型驗證及參數(shù)求解

由本文試驗得，所取紅層泥巖的E=10.24 MPa，μ=0.22，內(nèi)摩擦角ψ=28.72°。通過式(20)和式(21)確定α的反演值，將該反演值和利用表1中不同強度準(zhǔn)則得到的α值進(jìn)行理論曲線與試驗曲線數(shù)據(jù)的對比。由于利用D-P2與D-P3準(zhǔn)則確定的α值十分接近，故在圖3中略去D-P2準(zhǔn)則?；诜囱荭林低ㄟ^式(18)和式(19)可得到統(tǒng)計損傷軟化模型參數(shù),如表2所示。

表2 統(tǒng)計損傷軟化模型參數(shù)Table 2 Parameters of statistical damage model

表1歸納了不同強度準(zhǔn)則下的α值，圖3是基于表1的不同α值和反演α值擬合得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。由圖3可知，紅層泥巖在σ3=1 MPa和2 MPa的情況下利用D-P3準(zhǔn)則確定的α值更接近于反演結(jié)果，紅層泥巖在σ3=3 MPa的情況下利用D-P1準(zhǔn)則確定的α值更接近于反演結(jié)果。由此可知，α在不同的圍壓下取值有所差異，將α提前取為一個定值有待商榷,對試驗曲線進(jìn)行理論辨識時，不建議提前選取強度準(zhǔn)則，通過反演分析的方法可有效提高辨識精度。

5 結(jié) 論

本文基于巖石微元強度服從Weibull隨機分布，建立統(tǒng)計損傷軟化模型，其中參數(shù)m可通過應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值點確定，參數(shù)F0取決于α，而α通過反演分析得到，并根據(jù)反演結(jié)果選取適用于不同圍壓條件的強度準(zhǔn)則。本文通過開展常規(guī)三軸壓縮試驗對此進(jìn)行驗證，證明了本文所建模型和通過反演分析確定參數(shù)的方法合理可行。

本文所建模型對于巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線有較強的辨識能力，模型參數(shù)較少，應(yīng)用方便。模型中的微元強度參數(shù)α并非一個定值，α不僅可以反映巖石的不同應(yīng)力狀態(tài)，而且對于辨識峰后曲線形態(tài)起到了關(guān)鍵性作用。

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