基于損傷演化的半均質砂巖本構模型研究

(山西交通職業(yè)技術學院 工程管理系，太原 030031)

1 研究背景

巖石在外力作用下，內部微裂紋的產生與擴展是導致其失穩(wěn)破壞的主要原因，同時也是其破壞的內在反映。近些年來，隨著聲發(fā)射監(jiān)測技術的發(fā)展，可以利用聲發(fā)射技術對巖石內部的微裂紋的萌生與擴展的信號進行監(jiān)測，且其具有實時性、連續(xù)性等優(yōu)點，此外通過聲發(fā)射信號到各個探頭傳播時間的差異，可以對信號源進行精準的定位。因此，通過對聲發(fā)射信號采集，然后進行后期的處理與分析，推斷出巖石內部損傷演化過程，進而反演出材料的破壞機制，是一種研究巖石內部破壞過程的優(yōu)良方法。

鉤藤種植后1～2年內植株分枝少，3年后植株枝繁葉茂即可采收，一般于秋冬兩季采收。人工用枝剪剪下或鐮刀割下帶鉤的鉤藤枝條，去除葉片、病枝，扎成把，運回。鉤藤主要成分為鉤藤堿，遇高溫會分解轉化，因此在烘干加工過程中，采取低溫烘干方式能最大程度保留有效成分的含量[12]。一般將帶鉤枝條曬干，或用50～60攝氏度烘干，水分含量<10%即可。

近些年來，國內外學者利用聲發(fā)射技術對巖石和其他材料開展研究，相關成果非常豐富。Jansen等[1]利用聲發(fā)射技術勾勒出巖石三維破裂隨時間的分布情況；Baud等[2]通過大量試驗對三軸壓縮條件下不同種類砂巖的聲發(fā)射現象進行了描述；Heiple等[3]在大量試驗的基礎上，提出通過聲發(fā)射振鈴計數來反映材料的內部損傷演化過程較其他參數更為合理。這些都從試驗上說明了許多巖石和材料確實具有聲發(fā)射現象，且能夠較好地反映巖石的破壞過程。隨著聲發(fā)射技術的發(fā)展，通過聲發(fā)射參數進行定量分析，對巖石破壞過程中聲發(fā)射模型的探究也開始成熟。劉?？h等[4]通過煤巖單軸壓縮試驗，建立了“歸一化”聲發(fā)射損傷模型，楊永杰等[5]在大量試驗的基礎上，建立了灰?guī)r的聲發(fā)射三軸損傷演化模型。以上大部分聲發(fā)射研究都是針對煤巖，然而，對于不同的巖石，由于其內部構造存在差異，其聲發(fā)射現象以及損傷演化規(guī)律也會有所不同。目前大多數學者僅對砂巖受力破壞過程中的聲發(fā)射現象進行定性研究，因此有必要對砂巖聲發(fā)射進行進一步研究。

基于室內試驗和聲發(fā)射特征參數處理，本文對不同圍壓條件下砂巖的應力-應變曲線、聲發(fā)射振鈴計數曲線進行觀察，通過對比分析闡述了圍壓對砂巖內部損傷發(fā)展的影響。同時，建立損傷演化模型，并引入修正系數，更好地描述了砂巖應力-應變過程中損傷的發(fā)展規(guī)律。

2 砂巖聲發(fā)射三軸試驗研究

2.1 試驗制備

試樣取自云南中風化砂巖，參照《工程巖體試驗方法標準》(GB/T 50266—99)[6]以及《水利水電工程巖石試驗規(guī)程》(SL 264—2001)[7]，通過剛性切割機及車床打磨加工制成直徑×高=50 mm×100 mm的標準型圓柱試樣，并選用表面相對光滑、無明顯層理構造和裂紋的完整試件，以保證試驗結果的準確性。

2.2 試驗設備

加載儀器采用TAW三軸試驗儀，能同時實現圍壓0～30 MPa、軸向壓力0～2 000 kN的加載，位移采用電子位移計監(jiān)測，量程為20 cm,精度為0.001 mm。聲發(fā)射設備采用從美國物理聲學公司引進的SAMOS聲發(fā)射監(jiān)測儀，能夠實時地對聲發(fā)射的波形進行采集，并通過內部處理得到振鈴計數、能量等聲發(fā)射參數。

2.3 試驗方案

假定砂巖的微元強度服從韋伯分布，滿足概率函數

在筏板基礎中心線兩側選取有意義三點，用溫度傳感器對不同深度測點處的混凝土溫度進行監(jiān)測，繪出測點A、B、C處（頂部、中部、底部）的溫度-時間曲線。觀察到測點A處頂部與中部在澆筑混凝土后2.5d內外溫差超過25℃，一直持續(xù)到第7d，會產生較大溫度應力，導致筏形基礎產生溫度裂縫。

因此，當試樣的破壞面積達到Ad時，聲發(fā)射事件數為

3 試驗結果分析

圖1為試樣三軸壓縮過程應力和聲發(fā)射振鈴計數隨應變變化曲線(不計圍壓σ3加載過程)。

由圖1可見，整個軸壓加載過程分為4個階段：壓密階段(OA段)、彈性階段(AB段)、屈服階段(BC段)、破壞階段(CD段)。

(1)OA段為非線性段，砂巖內部原生裂隙在壓力作用下逐漸閉合，表現為軸向應變增加較快。但隨著巖樣被壓密，內部裂隙閉合，巖樣的剛度增加，軸向應變速度減慢并逐漸趨于穩(wěn)定，應力-應變曲線切向斜率逐步趨于穩(wěn)定，即向著線性方向發(fā)展。在裂隙閉合過程中，由于裂紋之間的相互摩擦能夠產生較低的聲發(fā)射信號[8]，因此，該過程能夠采集到聲發(fā)射信號，但振鈴計數頻率較低，整體處于“平靜期”。本次砂巖孔隙率相對一般砂巖較大，故該過程持續(xù)時間較長。

(2)AB段為線性段，表現為應力-應變曲線基本為直線段，振鈴計數率相比OA段有所增加。這說明了砂巖內部已經開始出現了小尺度的新生裂紋，聲發(fā)射活動處于“發(fā)展期”，但由于圍壓的影響，抑制了內部微裂紋的產生，使得此階段的聲發(fā)射信號整體仍然較弱。

(3)BC段為屈服階段，表現為應力-應變曲線向下凹，軸向應變率隨著應力的增加逐漸增大，聲發(fā)射振鈴活動到達“爆發(fā)期”，振鈴計數率急劇增大并逐漸達到峰值。這種現象的產生，一方面是因為AB段產生的小尺度裂紋在該階段經發(fā)展又生成了大尺度裂紋；另一方面，該階段也產生了大量新裂紋[9]。這些裂紋在發(fā)展的同時，相互交匯并貫通形成了宏觀的破壞面。在此過程中，聲發(fā)射異?；钴S，振鈴計數率隨應力的增加不斷上升并幾乎同時達到峰值。

2018年6月9日開始進行飛播造林，至6月26日結束，共完成宜播區(qū)造林17萬畝，播撒油松種子17萬斤。其中北票市6月9日開始飛播，11日結束，設計八大播區(qū)，涉及南八家、章吉營、上園、巴圖營、下府、長皋六個鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）；喀左縣22日飛播，24日完成，設計三大播區(qū)，涉及平房子、草場、南哨、大城子、六官、尤杖子、十二德堡七個鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）；朝陽縣25日飛播，26日完成，設計兩大大播區(qū)，涉及柳城、西營子、七道嶺三個鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）。從近期初步調查情況看，大部分地塊出苗率較好。

(4)CD段為破壞階段，表現為應力開始下降，而軸向應變仍然在增加，聲發(fā)射活動處于“回落期”，相對之前有所減弱。這說明砂巖破壞后，仍然具備一定的承載能力，且內部依然有裂紋的產生。

圖1 振鈴計數、應力與應變ε的關系曲線Fig.1 Curves of ring count and stress vs. strain

對比圖1中不同圍壓下的曲線可以看出，隨著圍壓的增大，應力和振鈴計數率峰值的出現會滯后，應力峰值有所增加，而振鈴計數率峰值卻有所降低，說明圍壓能夠抑制砂巖內部顆粒的破壞以及裂隙的產生與發(fā)展[5]，從而增強砂巖的力學性能，提高其承載能力，延緩巖樣的破裂時間。

其中，限流電抗器和快速斷路器是零損耗限流器的主要參數：電抗器參數的大小代表限流水平，若限流電抗的阻抗選大了，則降低了變壓器的輸送功率；電抗選小了，則限流深度不夠，很難起到保護變壓器的作用，這也是很多場合變壓器未裝限流電抗的原因；從經濟環(huán)保的角度，限流電抗器長期運行將產生巨大的損耗。

圖2為不同圍壓下累計振鈴計數-時間關系曲線。

本系統程序設計采用順序功能圖進行編程，將復雜的控制過程分成若干工作步，步與步之間通過轉移條件連接。圖8和圖9為根據系統控制要求編制的順序功能圖，根據該功能圖在西門子smart 200軟件中編程，并分別下載到PLC中運行，即可分別實現集熱系統對太陽高度角和方位角的追蹤，制冷系統中對太陽能清洗電機、溶液泵電機和循環(huán)泵電機的控制。通過主站S7-300來實現對兩個從站S7-200之間數據的讀寫操作，完成整個系統的通信，從而實現太陽能制冷系統的功能。

圖2不同圍壓下累計振鈴計數-時間關系曲線

Fig.2Curvesofcumulativeringcountvs.timeunderdifferentconfiningpressures

從圖2可以看出，各圍壓條件下，累計振鈴計數-時間關系曲線均呈“S”型。整個過程主要分為3段：加載初期，因為少有裂紋產生，累計振鈴計數上升緩慢，斜率較低；加載中期，隨著加載的進行，巖樣裂紋開始大量出現和貫通，累計振鈴計數快速上升，曲線由緩變陡；加載后期，巖樣主破裂面已經生成，巖樣內部雖然仍有裂紋的產生與擴展，但速率已經變得很小，曲線也開始變得平緩。

盡管各圍壓下累計振鈴計數變化規(guī)律相同，但是不同圍壓下，振鈴計數總量有很明顯的差異。5，10，15，20 MPa下的振鈴計數總量分別為5.35×106，4.15×106，2.55×106，1.31×106次。隨著圍壓的增加，振鈴計數總量明顯降低，且高斜率段出現的時間也更晚。究其原因，還是因為圍壓越高，對巖樣內部顆粒破壞及裂紋擴張的抑制作用就越強，束縛了裂隙之間的滑移，故振鈴計數增加速率也越慢[9]。

4 聲發(fā)射損傷模型

結合式(7)、式(9)、式(11)得到基于韋伯概率密度的砂巖聲發(fā)射損傷本構模型為

損傷理論中將試件橫截面的破壞面積與試件初始無損橫截面積的比值定義為損傷變量[11]，即

然而，由于試驗機剛度的局限性，往往不能保證在試件完全斷裂時機器停止，而是在損傷變量還沒有達到1時，便已停止運行，因此，需要引入一個修正系數Du對損傷變量進行修正，利用殘余強度與峰值強度的比值[12]對損傷變量行進修正，即

(1)

式中：Ad為試樣當前橫斷面上裂紋的面積；A為試件無損時的橫截面面積。

對于初始無損材料，設整個截面完全破壞時的聲發(fā)射總事件數為N，則單位面積微元破壞時產生的事件數為

(2)

趙仙童扭過身，一屁股坐到沙發(fā)上，喘著粗氣說，我不跟你的手生氣，我犯不著。你站好，你知不知道我為什么打你？

(3)

結合式(1)和式(3)，當試樣的破壞面積達到Ad時，材料的損傷變量為

(4)

教育是學生生活的重要一環(huán)，不得不讓每位老師必須加以重視。“生活寫作”對于寄宿的初中生的寫作水平有著深遠的影響，主要表現在以下幾個方面：

(5)

式中：σc表示殘余強度；σp則表示峰值強度。

經過Du修正后的材料損傷變量為

(6)

因此，可建立三軸條件下的砂巖損傷模型為

式中：f(ε)為損傷演化函數；ζ為損傷應變門檻值。

(7)

式中：μ為泊松比；E為彈性模量；σ1為軸向應力。

巖石的損傷過程本質為應變能的釋放過程，因此其因變量為應變能釋放率。對于砂巖，可利用應變ε來表示損傷率，即

(8)

建立家庭。這個家庭的一家五口包括婆婆、丈夫、病人和兩個孩子。其中有前妻所生的女兒5歲，病人自己所生的女兒3歲。病人的小姑子在教會學校上學，學費是由婆婆從自己賣房的資金中支付的。小姑子住在家里，她自己不交費用。

假設損傷變量在圍壓加載完成時為0，并將其視為初始狀態(tài)，則此時D=ε=ζ=0。結合式(4)和式(8)可得

(9)

式(6)證明了聲發(fā)射和損傷之間確實密切相關，因此本文通過引入韋伯概率密度函數和對數正態(tài)分布函數，對砂巖聲發(fā)射損傷演化方程進行推導，并結合試驗結果，分析比較哪種聲發(fā)射模型更合理。

4.1 韋伯分布聲發(fā)射損傷演化模型

試驗試樣共4塊，分別進行圍壓為5,10,15,20 MPa的三軸壓縮試驗。試驗時先將試樣放入三軸儀室內固定，然后在三軸儀室外壁放置聲發(fā)射探頭，待油缸充滿礦物油后，以2.5 MPa/min的速率進行圍壓加載，并開始同步采集聲發(fā)射數據，聲發(fā)射門檻值設置為40 dB，待圍壓加載完成，再進行軸壓加載，直至試樣破壞。

(10)

式中：ε0表示試樣達到峰值應力時的應變；m為均質度，表示試樣的均勻程度，且其值越大，試樣越均勻。

將式(10)兩邊對ε積分，可得基于韋伯概率密度的砂巖聲發(fā)射損傷演化方程，即

(11)

式中F(ε)為累計分布函數。

多數研究者認為，在聲發(fā)射的多個參數中，振鈴計數能夠較好地反映巖石在變形破壞過程中的內部性能變化，因為它和巖石中錯位運動,以及裂紋的產生與擴展所釋放的應變能成正比[10]。因此，本文選用聲發(fā)射振鈴計數這一特征參數來分析與描述砂巖的損傷演化過程。

(12)

根據式(11)基于韋伯分布的聲發(fā)射損傷變量，可以得到損傷變量D隨應變的理論變化曲線，根據式(12)則可以得到基于韋伯分布所推導的理論應力-應變曲線。因僅對模型的合理性進行探討，不考慮圍壓的影響，故僅選取5 MPa和10 MPa進行研究。本次試驗選用半均質砂巖，故m應適中選取，在確定適當參數m的條件下(本次m=4)，可以得到與試驗曲線較為吻合的模型曲線，見圖3。

(a)σ3=5 MPa

(b)σ3=10 MPa

圖3韋伯分布下的損傷變量、應力與應變關系曲線

Fig.3Curvesofdamagevariableandstressvs.strainunderWeibulldistribution

4.2 對數正態(tài)分布聲發(fā)射損傷演化模型

假定砂巖的微元強度服從對數正態(tài)分布，滿足概率函數，即

(13)

式中ξ為與材料有關的參數。

將式(13)等式兩邊對ε積分，可得基于對數正態(tài)分布概率密度的砂巖聲發(fā)射損傷演化方程為

F(ε)=Φ[ln(ε/ε0)/ξ] 。

(14)

式中Φ(x)為標準正態(tài)分布的分布函數。

The authors gratefully acknowledge the help of Mrs.Sue Travis to improve the English style.

結合式(7)、式(9)、式(14)可得到基于對數正態(tài)分布下的砂巖聲發(fā)射損傷本構模型為

利用式(14)基于對數正態(tài)分布的聲發(fā)射損傷變量，可以得到損傷變量D隨應變的理論變化曲線，通過式(15)則可以得到基于對數正態(tài)分布所推導的理論應力-應變曲線，在確定適當參數ξ的條件下(本次ξ=4)，可以得到與試驗曲線較為吻合的模型曲線，見圖4。

(a) σ3=5 MPa

(b)σ3=10 MPa

圖4對數正態(tài)分布下的應力、損傷變量與應變關系曲線

Fig.4Curvesofdamagevariableandstressvs.strainunderlognormaldistribution

4.3 基于2種模型下的聲發(fā)射損傷模型的分析與對比

通過圖3和圖4對比可以發(fā)現，損傷演化主要分為4個階段：①初始損傷階段，損傷變量較小，且增長很慢，這一階段對應的主要是圖1中的壓密階段，該時期僅有初始的損傷，即原生裂紋被壓密，故可以產生少量聲發(fā)射現象，因此可以看到損傷變量有微量的增長；②損傷穩(wěn)定發(fā)展階段，損傷變量開始逐漸增大，對應圖1中的彈性階段，該時期新生裂紋開始出現，聲發(fā)射事件數開始逐漸增加，因此可以看到損傷變量也隨之穩(wěn)定增加；③加速損傷階段，損傷變量開始急劇增加，對應的時段為圖1中的彈性階段后期以及屈服階段和破壞后階段初期，該時期因為新生裂紋的出現以及擴展，聲發(fā)射活動強烈，事件點數量較多，因此損傷變量增長較快；④損傷破壞階段，損傷變量增長趨于緩慢，對應圖1中的試樣破壞階段，該時期試件已經出現宏觀的破壞面，內部裂紋已經遍及試件各處，聲發(fā)射活動也開始減弱，出現的事件點較少，因此損傷變量增長減緩。

根據圖3，對本構模型曲線進行分析，發(fā)現基于韋伯分布的本構模型曲線與試驗曲線的相關性并不高，應力到達峰值時間偏早，且峰值應力偏小。而觀察損傷變量曲線可以看到，理論所得損傷變量與試驗測得的損傷變量在前期(主要為壓密階段)比較吻合，然而隨著應變的增長，理論值開始偏高，最終接近于1。而前文提到，出于試驗機剛度的原因，試樣破壞時的損傷變量一般<1，利用殘余強度對其修正后，破壞時的損傷變量大約為3/4，這與理論模型相差甚大，因此，韋伯概率密度不適用于本次引入修正系數的損傷模型。

鋅是植物、動物和人體必需的微量元素。植物缺鋅就表現為植株矮小、生長受到抑制；人體缺鋅會引起許多疾病，如侏儒癥、糖尿病、高血壓等，但攝入過量的鋅也會有不利的影響[21]。

由圖4可以看出，本次對數正態(tài)分布模型曲線與試驗曲線更為吻合，理論損傷變量曲線與試驗曲線相關度達到0.95以上。然而，其本構模型曲線應力峰值出現也同樣偏早，分析其原因，可能是因為試驗過程中圍壓對試樣內部滑移的限制，使得試驗位移變化相對緩慢，造成試驗曲線相對理論曲線滯后的現象。

為克服DE算法易陷入局部最優(yōu)的不足，將變異思想引入差分進化算法中。首先設定一個閾值，當種群適應度方差δ2小于該閾值時，選取最優(yōu)個體及部分其他個體采用式(21)所示的高斯擾動法進行二次變異以改善種群多樣性[19]。

張明等[13]通過對2種分布下不同均質材料的聲發(fā)射事件數與應變關系進行對比，發(fā)現2種模型在對準脆性均質材料的描述基本上是一致的，而對于非均質材料，兩者卻有些差別。而本次試驗采用的是半均質砂巖，發(fā)現利用對數正態(tài)分布模型能夠更好地描述試驗過程中的聲發(fā)射現象，因此對于均質材料而言，2種理論模型應該均可適用，而對于半均質材料，利用對數正態(tài)分布模型描述聲發(fā)射現象更為合理。

5 結 論

(1)聲發(fā)射振鈴計數與應力-應變曲線之間存在一致性，損傷的發(fā)展往往伴隨著聲發(fā)射現象，因此可以從聲發(fā)射特征來判斷巖石的內部微缺陷狀態(tài)，根據聲發(fā)射在“平靜期”、“發(fā)展期”、“爆發(fā)期”以及“回落期”的特征來預測失穩(wěn)時間。

采樣周期h=0.005s，在系統運行1s后，對小車給出X=0.1m的參考位移，改進型ADRC和雙閉環(huán)PID控制的擺桿偏角、小車位移的對比仿真曲線，如圖3所示。

(2)圍壓越大，砂巖聲發(fā)射平靜期時間越長，宏觀破壞時間滯后，且振鈴計數也會有所降低，損傷變量增長速度延緩，說明圍壓能夠抑制巖石內部裂紋的產生與發(fā)展，從而降低聲發(fā)射活躍性。

a [kāya], which is also the fruit (phalam) to be realized when the liberation from the obscurations [comes about] (āvtimuktigamyam), [a fruit] which contains a treasure of great and enjoyable good qualities (uddāmaramyaguavistaram), [a fruit] in which conceptualizations are shaken off (astakalpam);

(3)分別通過韋伯概率密度函數與對數正態(tài)分布函數建立砂巖三軸條件下的聲發(fā)射損傷模型，發(fā)現損傷變量與應變關系曲線呈“S”型分布，與聲發(fā)射累計振鈴計數曲線具有高度一致性，進一步證明聲發(fā)射是觀察巖石內部微缺陷發(fā)展狀態(tài)的良好工具。

(4)對比韋伯分布與正態(tài)分布下的聲發(fā)射損傷模型，發(fā)現基于正態(tài)分布模型下的應力與損傷變量隨應變變化曲線更加符合試驗結果，驗證了對數正態(tài)分布對半均質材料聲發(fā)射描述的適用性。

參考文獻：

[1] JANSEN D P, CARLSON S R, YOUNG R P,etal. Ultrasonic Imaging and Acoustic Emission Monitoring of Thermally Induced Microcracks in Lacdu Bonnet Granite[J]. Journal of Geophysical Research，1993,98(B12): 22231-22243.

[2] BAUD P, KLEIN E, WONG T F. Compaction Localization in Porous Sandstones: Spatial Evolution of Damage and Acoustic Emission Activity[J]. Journal of Structural Geology, 2004, 26(4): 603-624.

[3] HEIPLE C R, CARPENTER S H.AE From Dislocation Motion[M]. New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1983.

[4] 劉?？h，黃敬林，王澤云，等.單軸壓縮煤巖損傷演化及聲發(fā)射特征研究[J]．巖石力學與工程學報，2009, 28(增1)：3234-3238.

[5] 楊永杰，王德超，郭明福，等. 基于三軸壓縮聲發(fā)射試驗的巖石損傷特征研究[J].巖石力學與工程學報，2014，33(1)：98-104.

[6] GB/T 50266—99，工程巖體試驗方法標準[S]. 北京：中國計劃出版社,1999.

[7] SL 264—2001，水利水電工程巖石試驗規(guī)程[S]. 北京：中國水利水電出版,2001.

[8] 紀洪廣，張月征，金 延，等. 二長花崗巖三軸壓縮下聲發(fā)射特征圍壓效應的試驗研究[J]. 巖石力學與工程學報，2012，31(6)：1162-1168.

[9] 趙玉成,林 斌,唐興宜,等. 單軸壓縮下煤體聲發(fā)射特征及損傷演化過程分析[J].山東科技大學學報(自然科學版)，2013,32(5)：1-7.

[10] 劉學文，林吉中，袁祖貽.應用聲發(fā)射技術評價材料疲勞損傷的研究[J].中國鐵道科學，1997,18(4):74-81.

[11] KACHANOV L M. On the Time to Failure under Creep Conditions[J]. Izvestiya Akademii Nauk SSSR Otdelenie Technicheskikh Nauk, 1958, (8): 26-31.

[12] 高保彬，李回貴. 基于聲發(fā)射參量的煤樣損傷模型研究[J].防災減災工程學報,2014, 34(1)：101-106.

[13] 張 明，李仲奎，楊 強，等. 準脆性材料聲發(fā)射的損傷模型及統計分析[J]. 巖石力學與工程學報，2006, 25(12)：2493-2501.