具有交叉擴(kuò)散的全寄生藥用植物和寄主植物共存問題

胡穎，馬云桐，譚啟建

寄生植物約有4200多種，在全世界有廣泛分布[1]，其中的寄生藥用植物是中藥中的一個(gè)特殊類群。已經(jīng)有很多作者對(duì)寄生植物的特殊性、它們與其寄主植物的關(guān)系以及生物數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究[1～8]。寄生類型包括全寄生與半寄生。

考慮寄生植物和其寄主植物的擴(kuò)散模型，寄生植物擴(kuò)散的密度通量將依賴于寄主植物的密度，即有交叉擴(kuò)散的現(xiàn)象[9]。依據(jù)所考慮的區(qū)域，這種擴(kuò)散有兩種類型，即當(dāng)所考慮的區(qū)域只有一種自然條件時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)、交叉擴(kuò)散系數(shù)和反應(yīng)函數(shù)是連續(xù)的，對(duì)這類問題和類似的捕食-食餌模型已經(jīng)有大量文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)[10～15]。而當(dāng)所考慮的區(qū)域包含不同自然條件時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)、交叉擴(kuò)散系數(shù)和反應(yīng)函數(shù)都是允許間斷的。這種交叉擴(kuò)散生態(tài)模型最近也有數(shù)學(xué)理論的研究[16]。

我們知道，全寄生植物的導(dǎo)管和篩管分別與寄主植物的導(dǎo)管和篩管相通，從寄主植物上獲取自身生活需要的全部營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)[1]。在自然界中有些藥用植物就是全寄生的，比如名貴中藥肉蓯蓉(Cistanchede serticolaY.C.Ma) 完全寄生于藜科梭梭屬植物梭梭(Haloxylon ammodendron(C.A.Mey.)Bunge) 和白梭梭(H.pericum Bunge ex Boiss。)根部[1～2]，從這些寄主上獲取需要的全部營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)。而且我們還注意到，肉蓯蓉生活在含沙漠和綠洲的這種有不同自然條件的區(qū)域。所以本文將重點(diǎn)討論全寄生藥用植物和其寄主植物在一個(gè)含不同自然條件區(qū)域上共存的條件，為資源可持續(xù)利用提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)模型

考慮全寄生藥用植物和其寄主植物的兩種群交叉擴(kuò)散模型。第一種植物是寄主植物，它的擴(kuò)散密度通量與寄生植物無關(guān)； 第二種植物是全寄生藥用植物，它的擴(kuò)散密度通量與寄主植物有關(guān)，即有交叉擴(kuò)散現(xiàn)象。

為利用文獻(xiàn)[16]的理論結(jié)果，本文采用它的記號(hào)系統(tǒng)。設(shè)?是上的一個(gè)有界開區(qū)域，??是其邊界。Гj( j=1,..., m-1)是一些彼此不相交的曲線，它們把?分割成m個(gè)子區(qū)域?i(i=1,..., m)。假設(shè)在各子區(qū)域上的自然條件允許不同。以u(píng)l=ul(x,t)記第l種生物的密度函數(shù)，l=1,2。假設(shè)在Гj上，密度函數(shù)和擴(kuò)散密度通量是連續(xù)的，則滿足[16]。

其中，是梯度算子，表函數(shù)v在跨過內(nèi)邊界時(shí)的躍度，是v的Г法向，是擴(kuò)散系數(shù)，

和都是正常數(shù)。分別是寄主植物和寄生藥用植物的自擴(kuò)散系數(shù)，它們體現(xiàn)了擴(kuò)散密度通量受自身密度的影響；而是交叉擴(kuò)散系數(shù)，它體現(xiàn)了寄生藥用植物的擴(kuò)散密度通量受寄主植物密度的影響。問題(1)中的反應(yīng)函數(shù)由下面定義：

其中，都是正常數(shù)。在是寄主植物的內(nèi)稟自然增長(zhǎng)率，體現(xiàn)了兩種群密度的增加對(duì)寄主植物增長(zhǎng)率的阻滯作用；在表示如果沒有寄主植物時(shí)，全寄生藥用植物的死亡率，表示寄生藥用植物的增長(zhǎng)率也是密度制約的，表示寄主植物對(duì)寄生藥用植物增長(zhǎng)率的促進(jìn)作用。

2 種群的共存條件

要做到資源的可持續(xù)利用，就是要使得寄生藥用植物和寄主植物共存。在數(shù)學(xué)上, 就是要利用文獻(xiàn)[16]的理論結(jié)果, 找出問題(1)正解存在的種群密度條件，這是本文的主要目的，它由下列定理描述：

定理 1.如果下列條件(i) (ii) 滿足，則問題(1)存在文[16]中定義2.1意義下的正解u：

(i)對(duì)所有且存在使得

(ii) 存在正常數(shù)使得

和對(duì)所有

其中，

證明：對(duì)任意

于是只要記(5)的逆

存在，其中

對(duì)任意正常數(shù)定義

其中從而由[16]知，對(duì)任意給定的正常數(shù)問題(1)可以被寫成等價(jià)形式

取

從(6)得到

如果

則當(dāng)時(shí)， 對(duì)非u1降，對(duì)u2非增，而對(duì)u1，u2都非降。

根據(jù)文[16]中的(3.4)-(3.7)和定理2.1知，如果存在正常數(shù)使得對(duì)所有

則是(7)在文[16]定義2.2下的耦合弱上下解，且問題(1)有正解滿足其中

下面找滿足上述條件的正常數(shù)(10)等價(jià)于

我們發(fā)現(xiàn)，如果M1，M2和m1滿足

那么對(duì)充分小的正數(shù)m2，(13)成立，從而(10)成立。

關(guān)系(11)等價(jià)于

這等價(jià)于

如果M1，M2和m1適合

則對(duì)充分小的正數(shù)m2，(15)得到滿足，于是(11)也得到滿足。

注意到如果(15)的第一個(gè)不等式成立，則從而(8)也成立。所以，綜合以上推理，滿足(3)和(4)的正常數(shù)M1，M2，m1，能夠保證對(duì)充分小的m2，使得(8)，(14)和(16)得到滿足。這樣(8)-(11)也都得到滿足。于是，對(duì)充分小的m2是(7)的耦合弱上下解，且問題(1) 存在正解u滿足從而，定理1得到了證明。

3 結(jié)論與討論

1）從二種群的共存條件看出，要保證二種群共存，相關(guān)量和參數(shù)復(fù)雜地耦合在一起。我們注意到，要(4)的第一個(gè)不等式滿足，必須

這意味著寄主植物的密度的最小值必須要大于量

即增大寄主植物的密度。要(4)的第二個(gè)不等式滿足，必須這意味著寄生藥用植物的密度的最大值必須要小于量

即寄生藥用植物的密度不能夠太大。

由上面的討論，我們得到結(jié)論：增大寄主植物的密度，使得其密度的最小值大于一個(gè)與寄生藥用植物相關(guān)的量； 同時(shí)， 控制寄生藥用植物密度， 使得其最大值必須要小于一個(gè)與寄主植物相關(guān)的量。

2）如果區(qū)域?上只有一種自然條件，則是常值函數(shù)，無關(guān)，且(1)中不含在Г上的內(nèi)邊界條件?？梢詮亩ɡ?得到相應(yīng)的共存條件。

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