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    具有交叉擴(kuò)散的全寄生藥用植物和寄主植物共存問題

    2018-06-13 08:41:06胡穎馬云桐譚啟建
    中藥與臨床 2018年1期
    關(guān)鍵詞:寄主植物肉蓯蓉藥用植物

    胡穎,馬云桐,譚啟建

    寄生植物約有4200多種,在全世界有廣泛分布[1],其中的寄生藥用植物是中藥中的一個(gè)特殊類群。已經(jīng)有很多作者對(duì)寄生植物的特殊性、它們與其寄主植物的關(guān)系以及生物數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究[1~8]。寄生類型包括全寄生與半寄生。

    考慮寄生植物和其寄主植物的擴(kuò)散模型,寄生植物擴(kuò)散的密度通量將依賴于寄主植物的密度,即有交叉擴(kuò)散的現(xiàn)象[9]。依據(jù)所考慮的區(qū)域,這種擴(kuò)散有兩種類型,即當(dāng)所考慮的區(qū)域只有一種自然條件時(shí),擴(kuò)散系數(shù)、交叉擴(kuò)散系數(shù)和反應(yīng)函數(shù)是連續(xù)的,對(duì)這類問題和類似的捕食-食餌模型已經(jīng)有大量文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)[10~15]。而當(dāng)所考慮的區(qū)域包含不同自然條件時(shí),擴(kuò)散系數(shù)、交叉擴(kuò)散系數(shù)和反應(yīng)函數(shù)都是允許間斷的。這種交叉擴(kuò)散生態(tài)模型最近也有數(shù)學(xué)理論的研究[16]。

    我們知道,全寄生植物的導(dǎo)管和篩管分別與寄主植物的導(dǎo)管和篩管相通,從寄主植物上獲取自身生活需要的全部營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)[1]。在自然界中有些藥用植物就是全寄生的,比如名貴中藥肉蓯蓉(Cistanchede serticolaY.C.Ma) 完全寄生于藜科梭梭屬植物梭梭(Haloxylon ammodendron(C.A.Mey.)Bunge) 和白梭梭(H.pericum Bunge ex Boiss。)根部[1~2],從這些寄主上獲取需要的全部營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)。而且我們還注意到,肉蓯蓉生活在含沙漠和綠洲的這種有不同自然條件的區(qū)域。所以本文將重點(diǎn)討論全寄生藥用植物和其寄主植物在一個(gè)含不同自然條件區(qū)域上共存的條件,為資源可持續(xù)利用提供理論依據(jù)。

    1 數(shù)學(xué)模型

    考慮全寄生藥用植物和其寄主植物的兩種群交叉擴(kuò)散模型。第一種植物是寄主植物,它的擴(kuò)散密度通量與寄生植物無關(guān); 第二種植物是全寄生藥用植物,它的擴(kuò)散密度通量與寄主植物有關(guān),即有交叉擴(kuò)散現(xiàn)象。

    為利用文獻(xiàn)[16]的理論結(jié)果,本文采用它的記號(hào)系統(tǒng)。設(shè)?是上的一個(gè)有界開區(qū)域,??是其邊界。Гj( j=1,..., m-1)是一些彼此不相交的曲線,它們把?分割成m個(gè)子區(qū)域?i(i=1,..., m)。假設(shè)在各子區(qū)域上的自然條件允許不同。以u(píng)l=ul(x,t)記第l種生物的密度函數(shù),l=1,2。假設(shè)在Гj上,密度函數(shù)和擴(kuò)散密度通量是連續(xù)的,則滿足[16]。

    其中,是梯度算子,表函數(shù)v在跨過內(nèi)邊界時(shí)的躍度,是v的Г法向,是擴(kuò)散系數(shù),

    和都是正常數(shù)。分別是寄主植物和寄生藥用植物的自擴(kuò)散系數(shù),它們體現(xiàn)了擴(kuò)散密度通量受自身密度的影響;而是交叉擴(kuò)散系數(shù),它體現(xiàn)了寄生藥用植物的擴(kuò)散密度通量受寄主植物密度的影響。問題(1)中的反應(yīng)函數(shù)由下面定義:

    其中,都是正常數(shù)。在是寄主植物的內(nèi)稟自然增長(zhǎng)率,體現(xiàn)了兩種群密度的增加對(duì)寄主植物增長(zhǎng)率的阻滯作用;在表示如果沒有寄主植物時(shí),全寄生藥用植物的死亡率,表示寄生藥用植物的增長(zhǎng)率也是密度制約的,表示寄主植物對(duì)寄生藥用植物增長(zhǎng)率的促進(jìn)作用。

    2 種群的共存條件

    要做到資源的可持續(xù)利用,就是要使得寄生藥用植物和寄主植物共存。在數(shù)學(xué)上, 就是要利用文獻(xiàn)[16]的理論結(jié)果, 找出問題(1)正解存在的種群密度條件,這是本文的主要目的,它由下列定理描述:

    定理 1.如果下列條件(i) (ii) 滿足,則問題(1)存在文[16]中定義2.1意義下的正解u:

    (i)對(duì)所有且存在使得

    (ii) 存在正常數(shù)使得

    和對(duì)所有

    其中,

    證明:對(duì)任意

    于是只要記(5)的逆

    存在,其中

    對(duì)任意正常數(shù)定義

    其中從而由[16]知,對(duì)任意給定的正常數(shù)問題(1)可以被寫成等價(jià)形式

    從(6)得到

    如果

    則當(dāng)時(shí), 對(duì)非u1降,對(duì)u2非增,而對(duì)u1,u2都非降。

    根據(jù)文[16]中的(3.4)-(3.7)和定理2.1知,如果存在正常數(shù)使得對(duì)所有

    則是(7)在文[16]定義2.2下的耦合弱上下解,且問題(1)有正解滿足其中

    下面找滿足上述條件的正常數(shù)(10)等價(jià)于

    我們發(fā)現(xiàn),如果M1,M2和m1滿足

    那么對(duì)充分小的正數(shù)m2,(13)成立,從而(10)成立。

    關(guān)系(11)等價(jià)于

    這等價(jià)于

    如果M1,M2和m1適合

    則對(duì)充分小的正數(shù)m2,(15)得到滿足,于是(11)也得到滿足。

    注意到如果(15)的第一個(gè)不等式成立,則從而(8)也成立。所以,綜合以上推理,滿足(3)和(4)的正常數(shù)M1,M2,m1,能夠保證對(duì)充分小的m2,使得(8),(14)和(16)得到滿足。這樣(8)-(11)也都得到滿足。于是,對(duì)充分小的m2是(7)的耦合弱上下解,且問題(1) 存在正解u滿足從而,定理1得到了證明。

    3 結(jié)論與討論

    1)從二種群的共存條件看出,要保證二種群共存,相關(guān)量和參數(shù)復(fù)雜地耦合在一起。我們注意到,要(4)的第一個(gè)不等式滿足,必須

    這意味著寄主植物的密度的最小值必須要大于量

    即增大寄主植物的密度。要(4)的第二個(gè)不等式滿足,必須這意味著寄生藥用植物的密度的最大值必須要小于量

    即寄生藥用植物的密度不能夠太大。

    由上面的討論,我們得到結(jié)論:增大寄主植物的密度,使得其密度的最小值大于一個(gè)與寄生藥用植物相關(guān)的量; 同時(shí), 控制寄生藥用植物密度, 使得其最大值必須要小于一個(gè)與寄主植物相關(guān)的量。

    2)如果區(qū)域?上只有一種自然條件,則是常值函數(shù),無關(guān),且(1)中不含在Г上的內(nèi)邊界條件??梢詮亩ɡ?得到相應(yīng)的共存條件。

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