高中解析幾何數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)策略初探

侯招琴

【摘 要】本文以解析幾何教學(xué)為例，論述在數(shù)學(xué)教學(xué)中將數(shù)學(xué)思想方法滲透其中的策略，提出要借助數(shù)形結(jié)合思想、促使課堂教學(xué)更加直觀(guān)，借助分類(lèi)與討論思想、加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維的鍛煉，借助函數(shù)與方程思想、促進(jìn)解題過(guò)程的優(yōu)化，借助化歸思想開(kāi)展教學(xué)、提高課堂教學(xué)效果，促使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)和生活的過(guò)程中巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】解析幾何 數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué)策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）02B-0148-02

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要將數(shù)學(xué)思想方法滲透其中，并用它來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性強(qiáng)的學(xué)科，內(nèi)容繁多并且具有很大的難度，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在學(xué)習(xí)中依然存在一定難度；對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，更是困難。數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展教學(xué)的過(guò)程中，如果不能夠采取有效的方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，那么學(xué)生就容易產(chǎn)生恐懼和抵觸的情緒，不利于數(shù)學(xué)教學(xué)的開(kāi)展。解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，教師可以借助數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生推理能力的提高。

一、借助數(shù)形結(jié)合思想，促使課堂教學(xué)更加直觀(guān)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解析幾何是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行掌握，同時(shí)需要學(xué)生能夠?qū)χR(shí)內(nèi)容進(jìn)行靈活應(yīng)用。在解析幾何教學(xué)的過(guò)程中，要借助數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展有效的課堂教學(xué)。數(shù)形結(jié)合思想能夠促使數(shù)學(xué)問(wèn)題變無(wú)形為有形，對(duì)其本質(zhì)以及解題的思路進(jìn)行了解，促使復(fù)雜抽象的問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單具體，有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解答。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)選修 1 有關(guān)橢圓的教學(xué)中，為了促使學(xué)生對(duì)橢圓的性質(zhì)更加深入地了解，教師可以采取數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展教學(xué)，以提高課堂教學(xué)的質(zhì)量。教師可以這樣開(kāi)展教學(xué)：在我們?nèi)粘５纳钪?，大家能夠看到各種類(lèi)型的橢圓，那么你們知道橢圓是怎樣繪制嗎？橢圓又有哪些性質(zhì)呢？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活進(jìn)行思考。在學(xué)生思考的過(guò)程中，教師可以在黑板上繪制相應(yīng)的橢圓，并且引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀(guān)察，說(shuō)出橢圓有哪些性質(zhì)。有些學(xué)生會(huì)回答：橢圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)的圖形。然后教師引導(dǎo)學(xué)生再進(jìn)一步思考，如何繪制橢圓呢？教師使用一根繩子、兩個(gè)圖釘和粉筆繪制橢圓，學(xué)生對(duì)教師的繪制方法感到驚奇，這時(shí)教師可順勢(shì)向?qū)W生講解橢圓的性質(zhì)。教師對(duì)橢圓的原點(diǎn)以及坐標(biāo)系的構(gòu)建進(jìn)行講解，促使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)橢圓的繪制方法，之后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓的短半軸和長(zhǎng)半軸進(jìn)行理解。在解析幾何教學(xué)的過(guò)程中，借助數(shù)形結(jié)合思想激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行直觀(guān)感知，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解，促使學(xué)生能夠跟上自身的思路，并且對(duì)教師的問(wèn)題進(jìn)行思考，對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行靈活應(yīng)用，使課堂教學(xué)效率和質(zhì)量得到提高。

二、借助分類(lèi)與討論思想，加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維的鍛煉

在高中數(shù)學(xué)思想方法中，分類(lèi)討論思想是重要的思想方法，其在高中數(shù)學(xué)中得到普遍應(yīng)用。在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，按照相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，然后進(jìn)行探究、討論，得出結(jié)果。分類(lèi)與討論思想是將整體問(wèn)題進(jìn)行分解，采取各個(gè)擊破的方式，最終對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答。在高中數(shù)學(xué)解析幾何的教學(xué)中，借助分類(lèi)與討論思想的教學(xué)方式，可以促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想更加完善，更好地培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)必修 2 有關(guān)直線(xiàn)方程的教學(xué)中，教師可以借助這樣的例題開(kāi)展教學(xué)，以滲透分類(lèi)與討論思想。

〖例 1〗在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCD 的 AB=2，BC=1，AB 在 x 的正半軸上，AD 在 y 的正半軸上，并且 A 點(diǎn)的坐標(biāo)和原點(diǎn)重合，現(xiàn)在將矩形進(jìn)行折疊，使 A 點(diǎn)落在線(xiàn)段 DC 上，如果折痕所在的直線(xiàn)其斜率是 k，試求解折痕所在的直線(xiàn)的方程。

面對(duì)這樣的問(wèn)題時(shí)，對(duì)已知進(jìn)行分析，求出折痕所在的直線(xiàn)斜率，可以得出兩種情況，斜率為 0 和斜率不為 0 ，這需要進(jìn)行分類(lèi)討論。

〖解析〗當(dāng) k 為 0 時(shí)，A 點(diǎn)和 D 點(diǎn)重合，折痕所在的直線(xiàn)方程是 y=。

當(dāng) k ≠ 0 時(shí)，折疊后，A 點(diǎn)在線(xiàn)段 CD 上，假設(shè)為點(diǎn) M，坐標(biāo)是（a，1），所以 A 和 M 點(diǎn)關(guān)于折痕所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得出 kAM·k=-1，進(jìn)一步求解得 a=-k，得出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)是（-k，1）。假設(shè)線(xiàn)段 AM 的中點(diǎn)是 N，其坐標(biāo)是（），進(jìn)一步求解得出折痕所在直線(xiàn)的方程為 。

所以，當(dāng) k=0 時(shí)，y=；當(dāng) k≠0 時(shí)，。

在直線(xiàn)方程求解的過(guò)程中，需要對(duì)斜率的存在、截距相等時(shí)斜率是否為零、位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論。很多情況下學(xué)生會(huì)忽視一些情況，造成解題錯(cuò)誤。在解析幾何教學(xué)的過(guò)程中，通過(guò)分類(lèi)討論思想的傳授，可以較好地培養(yǎng)學(xué)生形成好的解題思路，提高學(xué)生的解題能力，促使課堂教學(xué)效率和質(zhì)量的提高。

三、借助函數(shù)與方程思想，促進(jìn)解題過(guò)程的優(yōu)化

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，函數(shù)和方程是兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，并且兩者之間有著密切的聯(lián)系，兩者之間的問(wèn)題能夠相互轉(zhuǎn)換解決。在高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)的過(guò)程中，利用函數(shù)與方程思想方法，可以促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行分析和理解，達(dá)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)必修 2“直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中，教師可以借助函數(shù)與方程思想進(jìn)行教學(xué)。

〖例 2〗已知圓 x2+y2+x-6y+m=0 和直線(xiàn) x+2y-3=0 相較于點(diǎn) P 和 Q 兩點(diǎn)，并且 OP 和 OQ 垂直，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，求解圓的圓心坐標(biāo)和半徑。

〖解析〗在對(duì)這個(gè)例題進(jìn)行解答時(shí)，需要對(duì)求解的問(wèn)題進(jìn)行分析，求圓心坐標(biāo)和半徑時(shí)，最為關(guān)鍵的是 m 的值。利用 OP⊥OQ，建立相應(yīng)的方程式，利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行解答。

把 x+2y-3=0 轉(zhuǎn)化成 x=3-2y，帶入到圓的方程式中能夠得出 5y2-20y+12+m=0。假設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)是（x1，y1），Q 點(diǎn)的坐標(biāo)是（x2，y2），那么 y1，y2 滿(mǎn)足的條件是 y1+y2=4，y1y2=；由于 OP⊥OQ，所以得出 x1x2+y1y2=0；根據(jù) x=3-2y，進(jìn)一步得出 x1x2=，所以 =0，求解得出 m 的值是 3，△>0，圓心的坐標(biāo)是（），圓的半徑是 。

在解題的過(guò)程中，要對(duì)圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行有效利用，促使解題思路更加簡(jiǎn)單明了，幫助學(xué)生進(jìn)行快速解題。在對(duì)上述題目進(jìn)行解答的過(guò)程中，重點(diǎn)是 m 值的求解。學(xué)生很難找到解題突破點(diǎn)，或者出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的情況。借助函數(shù)與方程的思想，可以開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，靈活運(yùn)用解題方法，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

四、借助化歸思想開(kāi)展教學(xué)，提高課堂教學(xué)效果

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，化歸思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)問(wèn)題不能夠使用現(xiàn)成的方式進(jìn)行解答時(shí)，可以對(duì)其進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，以降低解答難度，促使問(wèn)題得到更加容易解決?；瘹w思想的實(shí)質(zhì)是促使陌生的問(wèn)題熟悉化、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象的問(wèn)題的具體化。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)必修 2“圓的方程”的教學(xué)中，教師可以對(duì)化歸思想進(jìn)行有效利用。

〖例 3〗在圓（x-2）2+（y-2）2=2 上有點(diǎn) P，其坐標(biāo)是（x，y）。求解 x+y 和 的取值范圍。

〖解析〗在對(duì)此題進(jìn)行解答的過(guò)程中，需要對(duì) x+y 和這兩個(gè)代數(shù)式的意義進(jìn)行了解。因此，如果設(shè) x+y=t，那么可以把 x+y 的取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：直線(xiàn)和圓有交點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在 y 軸的截距的取值范圍；假設(shè) ，那么可以把 的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解直線(xiàn)和圓有交點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)斜率的取值范圍。通過(guò)這樣的方式促使問(wèn)題由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單。

根據(jù)已知能夠得出圓心坐標(biāo)是（2，2），其半徑是 。假設(shè) x+y=t，那么 x+y-t=0，由于 P 點(diǎn)在圓上，所有直線(xiàn)和圓有交點(diǎn)，圓心和直線(xiàn)之間的距離小于等于圓的半徑，可以利用點(diǎn)和直線(xiàn)之間的距離公式進(jìn)行計(jì)算得 ，進(jìn)一步求解得出 2≤t≤6。通過(guò)同樣的方式能夠求出 2-≤k≤2+ 。

在解析幾何中運(yùn)用化歸思想能夠更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透教育，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中對(duì)知識(shí)進(jìn)行有效融合，提高學(xué)習(xí)能力和綜合素質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

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（責(zé)編 盧建龍）