“開心農(nóng)場(chǎng)圍建”的數(shù)學(xué)建模
——用二次函數(shù)解決問題（第1課時(shí)）的教學(xué)嘗試與思考

江蘇省蘇州高新區(qū)第三中學(xué)校 顧寒平

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分之一，具體描述為：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的應(yīng)用意識(shí)。

一、巧用素材，喚起建模意識(shí)

問題1：為豐富學(xué)生的校園生活，學(xué)校準(zhǔn)備將學(xué)校東南角的一塊空地開辟成“開心農(nóng)場(chǎng)”，平均分給每個(gè)年級(jí)種植蔬菜。我們九年級(jí)課外活動(dòng)興趣小組準(zhǔn)備用長(zhǎng)為30米的籬笆直接圍建一個(gè)矩形的蔬菜園（如圖1）。 小強(qiáng)預(yù)算需要50平方米，應(yīng)該用籬笆怎樣圍？

圖1

師：請(qǐng)同學(xué)們審題，尋求解決問題的方法。

生：設(shè)一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為（15－x）米。所以x（15－x）=50，解得一邊長(zhǎng)為10米，另一邊長(zhǎng)為5米。

師：如果面積要達(dá)到57平方米呢？

生：不行，方程x（15－x）=57無解。

師：用一元二次方程解決實(shí)際問題的思路是什么？

生：?jiǎn)栴}情境——建立模型——求解驗(yàn)證。

恰好學(xué)校在圍建“開心農(nóng)場(chǎng)”，問題1是貼近生活的現(xiàn)實(shí)問題，這對(duì)學(xué)生來說感覺非常親近、自然。這種源于自然生活的現(xiàn)實(shí)問題能喚起學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視生活，積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，產(chǎn)生嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問題的應(yīng)用意識(shí)和心理沖動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)敏感性和應(yīng)用意識(shí)，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值和趣味性。學(xué)生在解決這一問題的同時(shí)，不知不覺對(duì)已有知識(shí)“用一元二次方程解決問題”進(jìn)行了很好的復(fù)習(xí)回顧。

二、留出機(jī)會(huì)，經(jīng)歷建模過程

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合問題1的現(xiàn)實(shí)情境想一想：用這個(gè)籬笆直接圍，應(yīng)該怎樣圍占地面積最大？

生：將它圍成兩邊長(zhǎng)分別為7米、8米的長(zhǎng)方形，這時(shí)的占地面積最大。

師：你是如何思考的呢？

生：剛才面積不能達(dá)到57平方米，所以我取了56平方米，得到方程x（15－x）=56，發(fā)現(xiàn)正好可以。

生：我認(rèn)為不對(duì)，面積不一定是整數(shù)，也可以是小數(shù)，面積為56.1平方米也可以??！

師：這兩位同學(xué)從數(shù)的角度進(jìn)行了分析，還有嗎？

生：將它圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為7.5米的正方形，這時(shí)的占地面積最大，為56.25平方米。

師：這位同學(xué)從形的角度進(jìn)行了分析，但你知道為什么正方形是面積最大嗎？

生：以前小學(xué)學(xué)過，周長(zhǎng)一定的四邊形，正方形的面積最大。師：這位同學(xué)基礎(chǔ)很扎實(shí)，但還是沒說清為什么。

生：可以設(shè)面積為S平方米，得到x（15－x）=S，所以x2－15x＋S=0，因?yàn)橐惯@個(gè)方程有解，所以Δ≥0，即S≤56.25，最大面積為56.25平方米，此時(shí)是邊長(zhǎng)為7.5米的正方形。

師：很好，你是怎么想到的？

生：因?yàn)閯偛糯蠹乙恢痹诓逻@個(gè)最大面積，它是未知數(shù)，所以也用一個(gè)字母S來表示，只要能求出來就行了，也就是方程有解。

師：很好，想不到一元二次方程還有如此功能，還有其他想法嗎？

生：我和前一位同學(xué)的想法差不多，設(shè)面積為S平方米，得到x（15－x）=S，但可以把它看成一個(gè)二次函數(shù)S=x（15－x），因?yàn)殚_口向下，要使S最大，所以求出頂點(diǎn)就行了。

師：你解決了以上同學(xué)的問題，你是怎么思考的？

生：因?yàn)槊娣eS隨著取不同的x值的變化而變化，所以想到了用函數(shù)來解決問題。

師：由于籬笆的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，規(guī)定只能在整數(shù)米處斷開，應(yīng)該怎樣圍占地面積最大？

生：當(dāng)x=7或8米時(shí)，S最大，為56平方米。因?yàn)檫呴L(zhǎng)為整數(shù)，最大值不能發(fā)生在頂點(diǎn)處，結(jié)合圖象和性質(zhì)：開口向下，越靠近頂點(diǎn)，函數(shù)值越大。

本環(huán)節(jié)沒有按照教學(xué)的內(nèi)容，因?yàn)橐獙W(xué)習(xí)“用二次函數(shù)解決實(shí)際問題”，所以直接要求學(xué)生建立二次函數(shù)模型，把學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)限制在二次函數(shù)范圍內(nèi)，而是給學(xué)生足夠的時(shí)間和機(jī)會(huì)經(jīng)歷探索活動(dòng)。首先給出實(shí)際問題，學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和需要建立不同的數(shù)學(xué)模型（如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型等），同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究、分析、比較和解決問題，在解決問題的基礎(chǔ)上形成一些共性認(rèn)識(shí)：生活中經(jīng)常會(huì)遇到類似的問題，我們往往借助二次函數(shù)模型來解決，建立函數(shù)模型與建立方程模型的本質(zhì)是相同的。改變先告知后練習(xí)的方式，提倡問題引導(dǎo)下的探究活動(dòng)，關(guān)注知識(shí)的形成過程，在知識(shí)的生成中不斷發(fā)展學(xué)生的能力，讓學(xué)生真切地經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象、積累建模經(jīng)驗(yàn)。

三、拓展問題，應(yīng)用建模思想

問題2：“蔬菜園”其中一邊靠墻(墻長(zhǎng)為18米)，其他三邊用這個(gè)籬笆圍（如圖2）。

圖2

師：若菜園的面積為72平方米，求垂直于墻的邊的長(zhǎng)。

生：設(shè)垂直于墻的一邊為x米，則平行于墻的一邊長(zhǎng)（30－2x）米，得到x（30－ 2x）=72，解得x1=3，x2=12。當(dāng)x=3時(shí)，30－2x＞18，應(yīng)舍去；當(dāng)x=12時(shí)，30－2x＜18，符合題意。

師：這位同學(xué)考慮問題很全面。你知道x的取值是多少嗎？

生：經(jīng)過思考得到：6≤x＜15。

師：平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于8米，這個(gè)菜園的面積有最大值和最小值嗎？

生：設(shè)面積為S平方米，得到二次函數(shù)S=x（30－2x），因?yàn)殚_口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（7.5，112.5），所以當(dāng)x=7.5時(shí)，S有最大值，為112.5平方米。

生：題目中還要求最小值。通過計(jì)算得6≤x≤11，結(jié)合二次函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=11時(shí)，面積有最小值，為88平方米。

師：平行于墻的一邊上留1米寬的門（如圖3），且仍使菜園面積最大，應(yīng)該怎么圍？請(qǐng)同學(xué)們類比上一問的解題思路，構(gòu)建模型自己獨(dú)立求解。

圖3

師：在問題2的情況下（如圖2），當(dāng)這個(gè)菜園的面積不小于100平方米時(shí)，直接寫出垂直于墻的邊的取值范圍。

生：設(shè)垂直于墻的一邊為x米，則平行于墻的一邊長(zhǎng)（30－2x）米，得到x（30－2x）≥100，這是一個(gè)二次不等式，不會(huì)解了。

師：看來這條路不太好走，還有其他的想法嗎？

生：還是構(gòu)建剛才的二次函數(shù)S=x（30－2x），面積不小于100平方米，也就是S≥100，結(jié)合圖象得5≤x≤10。

師：剛才的二次不等式x（30－2x）≥100你會(huì)解了嗎？

生：可以利用二次函數(shù)的模型求解。

師：想不到二次函數(shù)還有如此功能。那么，剛才問題是否已解決？

生：范圍應(yīng)該是6≤x≤10，因?yàn)榭繅Φ囊贿叢荒艹^18米。

問題2承接問題1，又有變化，不是簡(jiǎn)單的模仿，特別是“平行于墻的一邊有了取值范圍”和“菜園面積不小于100平方米”，使應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)模型思想得到了進(jìn)一步的拓展，對(duì)“如何圍面積最大”做進(jìn)一步的研究，看似簡(jiǎn)單自然，卻意味深長(zhǎng)。巧妙的設(shè)問，讓學(xué)生在潛移默化中加深了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析研究各種模型的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生建立更為完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用、積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)模型思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、教學(xué)感悟

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)課程體系中占據(jù)重要的地位，也是數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)。而蘇科版教材九年級(jí)下冊(cè)《用二次函數(shù)解決問題》只有兩課時(shí)，沒有涉及面積、周長(zhǎng)等幾何類問題，可能由于蘇科版教材九年級(jí)上冊(cè)《用一元二次方程解決問題》中已出現(xiàn)過，或是在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中有不少問題都可以用到二次函數(shù)，讓教師根據(jù)學(xué)情去選用新鮮、自然、貼近學(xué)生的素材進(jìn)行教學(xué)。本節(jié)課用學(xué)生身邊的“開心農(nóng)場(chǎng)圍建”為題材，貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，使生活走向數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)依托于生活，顯得自然而然，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的親和力。具有降低學(xué)生心理預(yù)期難度的作用，生成一種和諧的安全心理，使數(shù)學(xué)不再可怕，為學(xué)習(xí)用函數(shù)解決實(shí)際問題開了一個(gè)好頭。