關(guān)于“”的跨國(guó)討論*

□劉 瑩 郜舒竹

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100037）

關(guān)于跨國(guó)討論的話題，其實(shí)是關(guān)于算術(shù)運(yùn)算規(guī)律對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算的繼承性問(wèn)題“.繼承性”這一說(shuō)法始見(jiàn)于19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·皮克科（George Peacock，1791－1858）于1830年在劍橋大學(xué)出版社出版的《論代數(shù)》（ATreatise on Algebra）前言中，其本意是研究算術(shù)中的形式如何繼承到代數(shù)系統(tǒng)中，也就是如何保持算術(shù)運(yùn)算規(guī)律和法則適用于代數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題[1].這一說(shuō)法后來(lái)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的類(lèi)似研究中.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將有理數(shù)指數(shù)冪以及實(shí)數(shù)指數(shù)冪安排在“指數(shù)函數(shù)”課程內(nèi)容中，具體要求是“了解指數(shù)的拓展過(guò)程……”[2].指數(shù)的拓展過(guò)程，經(jīng)歷從自然數(shù)開(kāi)始，增加0和負(fù)整數(shù)到整數(shù)；進(jìn)一步增加分?jǐn)?shù)到有理數(shù)；而后增加無(wú)理數(shù)到實(shí)數(shù)等.在這樣的過(guò)程中，自然會(huì)不斷出現(xiàn)繼承性的問(wèn)題.

一、問(wèn)題的緣起

1995年7月，兩位以色列學(xué)者在荷蘭出版的、數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域久負(fù)盛名的期刊《數(shù)學(xué)中的教育研究》（Educational Studies in Mathemat?ics）上發(fā)表一篇研究以色列高中數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)的文章[3].其中有一個(gè)如何看待分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的測(cè)試題.調(diào)查結(jié)果顯示，大部分被試教師都認(rèn)為表達(dá)式的含義是唯一確定，其確定的結(jié)果為.而文章作者認(rèn)為這樣的回答是不完善的，理由是如果運(yùn)用不同的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果.

方法1：

方法2

這樣就出現(xiàn)形如“”的悖論.作者認(rèn)為像這樣出現(xiàn)多種結(jié)果的表達(dá)式，等同于不能確定其結(jié)果，因此是不能定義的，就像零作為分母的表達(dá)式無(wú)法定義一樣.作者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)應(yīng)當(dāng)具有這樣的解釋性特征，能夠認(rèn)識(shí)到表達(dá)式的不確定性.

一年后的1996年9月，兩位美國(guó)學(xué)者在同一期刊上撰文表達(dá)了不同觀點(diǎn)[4].悖論出現(xiàn)的原因，是前面方法2中出現(xiàn)形如“的推理.悖論的出現(xiàn)并不是因?yàn)榈囊饬x不確定，而是與不具備相等關(guān)系.為了避免“”這樣的推理，只需要在有理數(shù)指數(shù)冪的定義中，對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)增加“分子與分母互質(zhì)”，或“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（即約分?jǐn)?shù)）”即可.作者列舉了在美國(guó)出版的兩個(gè)版本的大學(xué)代數(shù)教科書(shū)作為例證.

第一本書(shū)中對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義為：如果a是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，并且n是使得a的n次根存在的正整數(shù)，那么規(guī)定.進(jìn)一步，如果m是一個(gè)正整數(shù)，并且與n互質(zhì)，那么規(guī)定在這個(gè)定義中，由于有“m與n互質(zhì)”的要求就不能寫(xiě)為，也就避免了的情況，那么表達(dá)式就有唯一確定的結(jié)果-2.

作者列舉的第二本書(shū)中對(duì)ar的定義為：a是任意實(shí)數(shù)，如果r是一個(gè)有理數(shù)，并且a的q次根是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么規(guī)定ar=ar1.其中r1是r的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)形式.這個(gè)定義與前面類(lèi)似，同樣限制了與的相等關(guān)系，因此化簡(jiǎn)后的結(jié)果只能等于-2.文章結(jié)論認(rèn)為的存在是合理的，只要對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪給出恰當(dāng)?shù)亩x，就可以使得底數(shù)為負(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表達(dá)式的含義唯一確定.

綜上，如何理解的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是如何看待與的關(guān)系問(wèn)題.在小學(xué)數(shù)學(xué)中就已經(jīng)熟悉的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，能否直接推理出與的相等關(guān)系？

二、函數(shù)的視角

與的關(guān)系，可以通過(guò)三個(gè)冪函數(shù)以及之間的關(guān)系進(jìn)行解釋.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，是一個(gè)定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù).-8在其定義域內(nèi)，因此從函數(shù)的視角看，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是有確定意義的，其函數(shù)值唯一確定，等于-2（見(jiàn)圖1）.

圖1

函數(shù)是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義域?yàn)?-∞,+∞)的偶函數(shù).因此對(duì)于x=-8時(shí)也是有意義的，此時(shí)的函數(shù)值為2，而不是-2（見(jiàn)圖2）.

圖2

圖3

由此看出，三個(gè)冪函數(shù)以及互不相同.因此算術(shù)中所熟知的運(yùn)算規(guī)律并不能直接繼承于有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.比如使用乘法交換律將變?yōu)榛?，每一次的改變都?dǎo)致函數(shù)定義域以及相關(guān)性質(zhì)發(fā)生變化.

因此對(duì)于與的不同就可以理解了，并不是無(wú)法定義，而是繼承性地使用算術(shù)運(yùn)算規(guī)律，從變?yōu)?，使得的含義發(fā)生了改變，進(jìn)而出現(xiàn)形如的悖論.

事實(shí)上，算術(shù)中所熟悉的運(yùn)算規(guī)律通常都是在正整數(shù)范圍內(nèi)使用的，這些規(guī)律一般可以繼承到底數(shù)為正數(shù)時(shí)的有理數(shù)和實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算.這也就是對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax為什么需要規(guī)定底數(shù)a＞0的道理.

三、復(fù)數(shù)的眼光

10年后的2005年11月，兩名韓國(guó)學(xué)者在加拿大出版的期刊《為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》（For the Learning of Mathematics）上撰文，對(duì)與的關(guān)系做了進(jìn)一步討論[5].基本觀點(diǎn)是把表達(dá)式和分別看作是方程x3=-8和x6=（-8）2在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解的集合.

按照代數(shù)基本定理，方程x3+8=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有三個(gè)解，也就是說(shuō)可以把表達(dá)式理解為是含有三個(gè)元素的集合.應(yīng)用熟知的歐拉公式：eix=cosx+isinx，可以求出這三個(gè)元素：

這三個(gè)解在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)三個(gè)不同的點(diǎn)，其極坐標(biāo)形式分別為：（見(jiàn)圖4）.

圖4

按照這樣的理解，表達(dá)式是有確定意義的，其存在自然也是合理的.可以定義為含有三個(gè)元素的集合：

同樣，方程x6=（-8）2在復(fù)數(shù)域有六個(gè)解，分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面上六個(gè)不同的點(diǎn)：（見(jiàn)圖5）.

圖5

因此表達(dá)式所表示的集合為：

這說(shuō)明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，表達(dá)式和都是有確定意義的，但二者是不同的.分別表示兩個(gè)不同的集合，而且前者是后者的真子集.二者之間的關(guān)系不應(yīng)當(dāng)用等號(hào)“=”表達(dá)，而應(yīng)當(dāng)用集合間的關(guān)系符號(hào)表達(dá)為：

至此，應(yīng)當(dāng)說(shuō)表達(dá)式是有確定意義的，并且是可以定義的.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)表達(dá)一個(gè)唯一確定的數(shù)-2，而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)表達(dá)一個(gè)包含三個(gè)元素的數(shù)集.另外，對(duì)于底數(shù)小于0的指數(shù)冪，算術(shù)中所熟悉的諸如交換率、結(jié)合律、分配率等運(yùn)算規(guī)律，不能直接繼承性地使用.因此與并不具有相等關(guān)系，運(yùn)用乘法交換率由推演出來(lái)的兩個(gè)表達(dá)式和，其含義也是不一樣的.

以上對(duì)與關(guān)系的討論，反映出從算術(shù)到代數(shù)拓展過(guò)程中，人的認(rèn)知規(guī)律與數(shù)學(xué)邏輯規(guī)律不一致的現(xiàn)象.從認(rèn)知的角度說(shuō)，期望將算術(shù)中已經(jīng)熟悉的自然數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，自然而然地運(yùn)用到有理數(shù)指數(shù)上，使得與具有相等關(guān)系.當(dāng)這種期望違背了數(shù)學(xué)推理中的邏輯規(guī)律時(shí)，數(shù)學(xué)家就需要研究如何才能使得這樣的繼承性得以保持.

數(shù)學(xué)課程與教學(xué)面臨類(lèi)似的問(wèn)題，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、螺旋上升的過(guò)程，之前已經(jīng)熟悉的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在新的范圍內(nèi)能否繼承？為什么能夠或者不能夠繼承？怎樣才能繼承？諸如此類(lèi)的繼承性問(wèn)題其實(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)，同時(shí)也是深入理解新知識(shí)的重點(diǎn).應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究中引起足夠的重視 .

［1］PEACOCK G.A treatise on algebra(VOL.Ⅰ)［M］.London:Cambridge University Press,1830:IV.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018：17.

［3］EVEN R,TIROSH D.Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher-presentations of the subjectmatter［J］.Educational Studies in Mathematics,1995,29(1):1-20.

［4］GOEL S K,ROBILLARD M S.The equation:=2［J］.Educational Studies in Mathematics,1996,33(3):319-320.

［5］CHOI Y,DO J.Equality involved in 0.999...and［J］.For the Learning of Mathematics,2005,25(3):13-15,36.