□任衛(wèi)兵

（南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心，江蘇南通 226300）

一切教育效果的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，取決于學(xué)生究竟學(xué)了多少、學(xué)得如何以及繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛力與愿望.對(duì)照這一標(biāo)準(zhǔn)，以往的初中數(shù)學(xué)教育可能在前兩個(gè)方面做得還不錯(cuò)，但是學(xué)生通過三年的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得多大的繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛力與愿望，可能就不容樂觀了.初中階段處于一個(gè)人接受十二年基礎(chǔ)教育的中間階段，它起著承上啟下的關(guān)鍵作用.要使我們的初中數(shù)學(xué)教育質(zhì)量達(dá)到諾爾·諾丁斯所言的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，唯一的路徑就是從古今中外的學(xué)習(xí)理論中去尋找突破口.參照國(guó)際上有關(guān)學(xué)習(xí)理論的最新進(jìn)展，并立足于中國(guó)本土視野，筆者提煉出促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的幾條重要原則，或許沿著這樣的方向走下去，我們能逐漸達(dá)到以上的教育效果.

一、注重知識(shí)結(jié)構(gòu)

知識(shí)結(jié)構(gòu)化是現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論極其強(qiáng)調(diào)的一個(gè)特征.布魯納在他的《教學(xué)的過程》中指出：結(jié)構(gòu)化的知識(shí)是真正能夠促進(jìn)學(xué)生深度理解的知識(shí).結(jié)構(gòu)為什么對(duì)學(xué)習(xí)如此重要呢？腦科學(xué)研究人員的解釋是因?yàn)槿说拇竽X天生就是一個(gè)建構(gòu)結(jié)構(gòu)、建構(gòu)模式的器官，結(jié)構(gòu)意味著條理、層次、清晰，建構(gòu)模型就是人的一種本能.

卓越的學(xué)習(xí)者，他們頭腦中的知識(shí)是結(jié)構(gòu)化的，散亂的知識(shí)組織是不利于記憶、遷移和理解的.那么，我們?nèi)绾卧诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中教結(jié)構(gòu)呢？

【案例一】八年級(jí)下冊(cè)“平行四邊形”（第一課時(shí)）

活動(dòng)一：回顧三角形的學(xué)習(xí)歷程，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

根據(jù)提示，課件相繼出示三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（見圖1）.

圖1

活動(dòng)二：形成四邊形的研究思路，建構(gòu)四邊形的研究路線圖.

根據(jù)學(xué)生的回答，課件依次呈現(xiàn)四邊形的研究思路圖（見圖2）.

圖2

上述案例中，教師原想通過回顧過去學(xué)習(xí)三角形知識(shí)的過程，讓學(xué)生自然遷移到接下來的四邊形知識(shí)的學(xué)習(xí)中，但在實(shí)際教學(xué)時(shí)有關(guān)四邊形的知識(shí)結(jié)構(gòu)卻并沒有能夠由學(xué)生自然生成，無奈之下執(zhí)教者只好自己邊說邊用課件展示出來.或許所借班級(jí)的教師平時(shí)不大注重引導(dǎo)學(xué)生提煉知識(shí)結(jié)構(gòu)，但在學(xué)生不能順利遷移時(shí)我們完全可以把節(jié)奏放緩一點(diǎn)，通過提示學(xué)生翻翻教材中的目錄或者回看一下三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能逐步理清四邊形知識(shí)的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，也使教師的教學(xué)意圖能夠真正得到落實(shí).

初中數(shù)學(xué)教師要設(shè)法幫助學(xué)生不斷提煉知識(shí)結(jié)構(gòu)，這個(gè)提煉過程是反復(fù)的，逐次遞進(jìn)的.可以讓學(xué)生在課前看一看教材目錄，可以引導(dǎo)學(xué)生在教材上寫一寫批注，可以鼓勵(lì)學(xué)生把教材中的習(xí)題分一分類別，也可以提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)筆記上畫一畫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，等等.然后通過交流、評(píng)析、調(diào)整、優(yōu)化等手段，幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)舍棄具體的經(jīng)驗(yàn)，從而概括出最本質(zhì)的東西.一旦學(xué)生掌握了結(jié)構(gòu)，他們就能“站起身來，環(huán)顧四周”，達(dá)到更高的理解層次.如果我們的初中學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣提煉知識(shí)結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成提煉結(jié)構(gòu)的習(xí)慣，那他們才能真正從零散、煩瑣的知識(shí)、題海中“立”起身來，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握及靈活應(yīng)用，從而進(jìn)入一種智慧的狀態(tài).

二、科學(xué)與人文相結(jié)合

大科學(xué)家愛因斯坦一直強(qiáng)調(diào)理性與感性、邏輯與直覺是統(tǒng)一在一起的，他說：“照亮我前進(jìn)的道路，并不斷給我新的勇氣去愉快地正視生活的理性，是善、美和真.”錢學(xué)森也認(rèn)為科學(xué)與人文精神是一枚硬幣的兩個(gè)面，缺一不可.如果說初中數(shù)學(xué)教學(xué)的科學(xué)性是剛性的，那它的人文性則是柔性的，它需要春風(fēng)化雨，潤(rùn)物無聲[1].科學(xué)與人文相結(jié)合的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，需要一個(gè)適合的載體，那就是數(shù)學(xué)故事.

好的數(shù)學(xué)故事，它糅合了多種人文因素.如能合理地應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)，則必將使初中數(shù)學(xué)教學(xué)脫去“僵硬的外衣”，顯露生機(jī)，洋溢情趣，充滿智慧.

【案例二】八年級(jí)下冊(cè)“隨機(jī)事件”（第一課時(shí)）

師：我們來看這樣一個(gè)故事.

（課件出示“生死簽”的故事）相傳古代有個(gè)王國(guó)，國(guó)王非常陰險(xiǎn)而多疑.一位正直的大臣得罪了國(guó)王，被判死刑.這個(gè)國(guó)家世代沿襲著一條奇特的法規(guī)：凡是死囚，在臨刑前都要抽一次“生死簽”（寫著“生”和“死”的兩張紙條），犯人當(dāng)眾抽簽，若抽到“死”簽，則立即處死；若抽到“生”簽，則當(dāng)場(chǎng)赦免.國(guó)王一心想處死大臣，于是他與幾個(gè)心腹密謀，想出一條毒計(jì)：暗中讓執(zhí)行官在“生死簽”上都寫了“死”字.

師：同學(xué)們，如果你是那位大臣，在這生死攸關(guān)的緊張時(shí)刻，你會(huì)怎么做？

生：抽到簽后，立馬撕掉.

師：這位同學(xué)的答案對(duì)不對(duì)呢？我們繼續(xù)往下看.

（課件繼續(xù)出示）在斷頭臺(tái)前，聰明的大臣迅速抽出一張簽紙塞進(jìn)了嘴里，等到執(zhí)行官反應(yīng)過來，簽紙?jiān)缫淹滔?，大臣故作嘆息道：“我聽天意，將苦果吞下，只要看剩下的簽是什么字就清楚了.”剩下的當(dāng)然寫著“死”字，國(guó)王怕犯眾怒，只好當(dāng)眾釋放了大臣.國(guó)王“機(jī)關(guān)算盡”，想讓大臣死，反而搬起石頭砸了自己的腳，讓機(jī)智的大臣死里逃生.

師：在這個(gè)故事中，國(guó)王和大臣由于改變了原來隨機(jī)事件中的一些條件，使得事件的性質(zhì)也相應(yīng)發(fā)生了變化.你們能判斷下面這三個(gè)問題分別是什么事件嗎？（課件出示問題：1.在法規(guī)中，大臣被處死是什么事件？2.國(guó)王的陰謀中，大臣被處死是什么事件？3.在大臣的計(jì)策中，大臣被處死是什么事件？）

……

師：今后同學(xué)們也會(huì)接觸到一些隨機(jī)事件，也可能會(huì)遇到隨機(jī)事件中條件被改變的情況.希望同學(xué)們能為自己積極地創(chuàng)造條件，變不可能為可能，為自己爭(zhēng)取一個(gè)平等參與競(jìng)爭(zhēng)的機(jī)會(huì).

上述案例中教者在“鞏固應(yīng)用”環(huán)節(jié)自然地引入“生死簽”的故事，不僅把隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件巧妙地融入其中，還觸發(fā)了因條件的變化而影響了事件性質(zhì)以及如何創(chuàng)造條件從而扭轉(zhuǎn)不利因素的人生思考.表面看故事的介入似乎擠占了學(xué)生鞏固練習(xí)的時(shí)間，而實(shí)際上通過智慧故事的分享不僅達(dá)到基本的練習(xí)量，還觸發(fā)了學(xué)生更多關(guān)于人生的理性思考.

初中數(shù)學(xué)教師要注意營(yíng)造低威脅與高挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，將蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想、方法的故事適度穿插到數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面融洽了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氣氛，拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離；另一方面由于數(shù)學(xué)問題寓于較復(fù)雜的情境之中，需要學(xué)生進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造，而不是簡(jiǎn)單地記憶、理解和應(yīng)用，培養(yǎng)的是學(xué)生的高階思維.要在教學(xué)中拓寬學(xué)生的視野，為他們打開數(shù)學(xué)閱讀的一扇窗.把古今中外的數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)家的故事以及現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)原理的事件與我們的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行對(duì)接，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)相對(duì)枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還能發(fā)現(xiàn)知識(shí)背后隱藏的曲折、生動(dòng)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造以及濃郁、溫暖的人文氣息.

三、學(xué)會(huì)科學(xué)記憶

人的大腦有兩套記憶系統(tǒng)，一是分類記憶系統(tǒng)，另一是位置記憶系統(tǒng).分類記憶不依賴于特定的物理情境，通過復(fù)述和練習(xí)來完成記憶；位置記憶是一種空間記憶，它指向連續(xù)的、好奇心驅(qū)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)事實(shí).與分類記憶對(duì)應(yīng)的是路線學(xué)習(xí)，即依路線而行，忠實(shí)地按照指定的路線行進(jìn)，忽視大的情境，以確保精確性；與位置記憶對(duì)應(yīng)的是地圖學(xué)習(xí)，即通過建立地圖，盡力了解部分與整體、部分與部分之間的關(guān)系，從而獲得一種總體印象，具有復(fù)雜性、個(gè)性化的特點(diǎn).

當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)更多采用的是路線學(xué)習(xí)而不是地圖學(xué)習(xí).我們主張?jiān)诒３致肪€學(xué)習(xí)的精確、簡(jiǎn)約的同時(shí)，也能為我們的初中學(xué)生多提供一些地圖學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，因?yàn)榈貓D學(xué)習(xí)趨向于使學(xué)生自行組織信息，趨向于使學(xué)生獲得超越教材中的更多信息，從而推動(dòng)學(xué)生的思考.

【案例三】八年級(jí)下冊(cè)“勾股定理”（第一課時(shí)）

1.創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

師：在一個(gè)確定的三角形中，有確定的角的關(guān)系：①三角形內(nèi)角和為180°；②外角和等于360°，那么作為三角形的重要組成元素——邊，它們之間有確定的關(guān)系嗎？根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，如果要研究，我們當(dāng)然從最特殊的三角形——直角三角形開始研究.我們從一則故事說起——相傳2500年前，古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，他到朋友家做客.畢達(dá)哥拉斯緊緊盯著地磚（如圖3），陷入了深深的思考中.忽然，靈光一閃，他發(fā)現(xiàn)了用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的某種特性.直角三角形三邊具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？我們?nèi)绾翁角筮@種關(guān)系？這就是我們這節(jié)課需要研究的問題——勾股定理.

圖3

圖4

2.觀察操作，探求新知

師：仔細(xì)觀察圖3中三個(gè)正方形之間的面積關(guān)系，你能探索出三個(gè)正方形邊長(zhǎng)之間存在怎樣的等量關(guān)系嗎？

師：圖4中是一個(gè)直角邊不等的任意直角三角形，你能通過觀察、思考，把表格填完整嗎？

A的面積 B的面積 C的面積

師：現(xiàn)在你們能提出什么樣的猜想？

3.合作交流，推理驗(yàn)證

師：請(qǐng)大家用4張全等的直角三角形紙片（兩條直角邊不相等）拼一拼，看看能不能得到一個(gè)以斜邊c為一邊的正方形？想一想怎樣證明剛才的發(fā)現(xiàn)？

上述案例中執(zhí)教者沿用從探索地磚中的等腰直角三角形—方格中的任意直角三角形—任意直角三角形三邊之間關(guān)系的學(xué)習(xí)路徑，但是每個(gè)環(huán)節(jié)都沒有做過多的示范與引導(dǎo)，而是充分地放手讓學(xué)生自己去觀察、思考，所以更多地體現(xiàn)出地圖學(xué)習(xí)的特點(diǎn).

這個(gè)案例的教學(xué)雖然花費(fèi)的時(shí)間要多一些，甚至還可能要多走一些彎路，但學(xué)生經(jīng)歷了這樣一個(gè)高挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)過程后，會(huì)發(fā)現(xiàn)研究直角三角形三邊之間的關(guān)系都是聚焦到面積這一維度上來證明的規(guī)律，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性、開放性得以充分體現(xiàn).初中數(shù)學(xué)教師要注意對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行再整合、再構(gòu)建，從而形成更具張力的數(shù)學(xué)大問題；要注意盡量把學(xué)生推向前臺(tái)，讓他們自己去組織信息、發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題；要注意在教學(xué)實(shí)踐中交替采用路線學(xué)習(xí)和地圖學(xué)習(xí)這兩種學(xué)習(xí)方式，使數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)都能夠在課堂上真正得到落實(shí).

四、用共同體方式促進(jìn)學(xué)習(xí)

追求與他人一致性的能力是天生地根植于我們的身體和大腦之中的.學(xué)生的身份感、歸屬感對(duì)形成學(xué)習(xí)共同體至關(guān)重要.課堂上的尊重差異、相互學(xué)習(xí)、多元共生等學(xué)習(xí)“情結(jié)”，有助于學(xué)習(xí)共同體的形成.

【案例四】九年級(jí)上冊(cè)“二次函數(shù)復(fù)習(xí)”

師：如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），C（0，1），請(qǐng)結(jié)合圖象（如圖5），以小組合作的形式設(shè)計(jì)一個(gè)問題，并解答.

圖5

生1：我設(shè)計(jì)的問題是求三角形ABC的面積.

生2：設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求P的坐標(biāo).

生3：我也設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC與△ABP的面積相等時(shí)，求P的坐標(biāo).

生4：△ACP是直角三角形時(shí)，求P的坐標(biāo).

師：同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)的問題都不錯(cuò)，有的充分應(yīng)用了已知條件，也有的還創(chuàng)造了一個(gè)新的條件.接下來再請(qǐng)各小組推選一位代表說一說解題思路.

上述案例中教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)比較開放的問題情境，學(xué)生基于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)提出角度不一、難易程度不同的各種問題.在交流、分享的過程中，學(xué)生不僅呈現(xiàn)出各自真實(shí)的想法，還從中看到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的動(dòng)態(tài)過程.英國(guó)哲學(xué)家懷特海在他的《教育的目的》一書中早就提醒過我們：如果你想了解什么，那么親自動(dòng)手，這是一個(gè)可靠的原則.你的才能富有活力，你的思維栩栩如生.你的概念獲得了現(xiàn)實(shí)感，這種現(xiàn)實(shí)感來自于你親眼目睹了這些概念和原理的適用范圍[2].由于這樣的學(xué)習(xí)是發(fā)生在真實(shí)的情境中的，這種真實(shí)情境中的學(xué)習(xí)是最自然、最高效的，也是理解最深刻的.

初中數(shù)學(xué)教師要淡化明確的學(xué)習(xí)意圖，多為學(xué)生提供真正豐富的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)；要從內(nèi)心尊重學(xué)生的認(rèn)知差異，鼓勵(lì)學(xué)生積極地參與課堂，允許學(xué)生暫時(shí)隱藏在學(xué)習(xí)邊緣，需要什么就隨機(jī)詢問；要即時(shí)呈現(xiàn)自己的研究方法和學(xué)習(xí)過程，便于學(xué)生從中“偷竊”到緘默知識(shí)，從而促進(jìn)師生之間實(shí)踐共同體的形成.

要真正提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，關(guān)鍵是要建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)各要素之間的聯(lián)系.注重知識(shí)結(jié)構(gòu)，就是要建立知識(shí)之間、知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系；科學(xué)與人文結(jié)合，就是要建立科學(xué)與藝術(shù)的聯(lián)系；學(xué)會(huì)科學(xué)記憶，就是要建立路線學(xué)習(xí)與地圖學(xué)習(xí)這兩種學(xué)習(xí)方式之間的聯(lián)系；用共同體方式促進(jìn)學(xué)習(xí)，就是要建立學(xué)習(xí)與環(huán)境之間的聯(lián)系……遵循以上教學(xué)原則，有望實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的新提升.

［1］任衛(wèi)兵.數(shù)學(xué)故事，闡釋數(shù)學(xué)教學(xué)的人文情懷［J］.基礎(chǔ)教育，2008（2）：46-49.

［2］懷特海.教育的目的［M］.莊蓮平，王立中，譯注.上海：文匯出版社，2012：72.