一而再，再而三，試題三現(xiàn)見真顏

鄭俊輝

【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，而是指能夠反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的具有綜合性、階段性、持久性的一種數(shù)學(xué)能力。從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 不等式 試題講評

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）20-0118-01

一次高三模考結(jié)束，筆者所在的一個磨課團隊安排了一次試卷講評課的磨課活動。結(jié)合考試中的第16題（考查基本不等式的知識），筆者在進行試卷講評時，就數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上進行了探索和嘗試。

1.教學(xué)分析

1.1考情分析

第16題是一道不等式的題目，位于7道填空題的第6題，在全市統(tǒng)計中，本道試題是選擇填空中得分率最低的一道題目，難度系數(shù)為0.1。

1.2學(xué)情分析

基本不等式已完成一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生對基礎(chǔ)知識較為熟知，對“a+b與ab的關(guān)系”、“常數(shù)代換”、“消元法”、“判別式法”等常用解題方法已有一些了解和訓(xùn)練，但表達式結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，背景發(fā)生轉(zhuǎn)換后，處理能力顯得不足，不能有效的轉(zhuǎn)換到熟悉題型、熟悉方法上，同時在理解試題的本質(zhì)上能力還有所欠缺。

2.教學(xué)過程

2.1試題一現(xiàn)

已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值是_________。

師：我們再看看考試的這道試題，大部分同學(xué)沒有得分，這節(jié)課我們再來研究它，我想我們一定能解決它，并且能用多種方法來解決，我們先思考下面這些問題：

鋪墊：條件不變，已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=42，思考下列問題：

（1）求xy的最大值

（2）求2x+3y的最小值

（3）求x+y的最小值

學(xué)生思考回答，教師歸納引導(dǎo)

生1：（1）小題只要用到x+y≥2就可以解決了。

生2：（2）小題可以用xy≤（）2來解決，不過要把2x和3y分別看作一個整體。

生3：（3）小題我想到了“判別式法”。

師：嗯，已知二次等式關(guān)系，求一次表達式最值時，我們常常用到“判別式法”，下面我們同學(xué)用這種方法一起試試看？

學(xué)生陸續(xù)算出結(jié)果。教師環(huán)繞查看。

師：我們還有沒有方法可以處理？

生4：我覺得還可以對題干進行整理，利用這個等式關(guān)系得到x和y的關(guān)系后，代入所求表達式，就只剩一個變量了。

師：非常好，我們的同學(xué)對常規(guī)的方法還是比較熟練的，而且在第（3）小問上有用兩種方法進行解決，下面我們再試試考試的這道題。

（設(shè)計意圖：通過更常規(guī)的設(shè)問讓學(xué)生回顧基本不等式的基礎(chǔ)知識及常用方法，使學(xué)生對原題產(chǎn)生再次思考的興趣和再試試的沖動）

2.2試題二現(xiàn)

已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值是__________。

（學(xué)生在上述問題的背景下再次嘗試，對xy+5x+4y進行變形后求42+3x+y的最小值，大部分同學(xué)已經(jīng)能夠處理了）

生5，生6分別利用“判別式法”、“消元法”進行板演，并作分析。

（設(shè)計意圖：讓已做出的同學(xué)有所展示，未做出的同學(xué)再次感受知識方法的應(yīng)用）

設(shè)問：對這個表達式的處理，我們用到了整體代換、消元法、判別式法，我們還可以怎樣處理？對這道題我們還有沒有其他的更本質(zhì)更簡潔的解法？

師：基本不等式是若正實數(shù)a，b的和為定值，則積有最大值，積有定值，則和有最小值的描述，也就是對正實數(shù)a，b，有“a+b≥2”和“ab≤（）2”的應(yīng)用。那么這道試題我們能不能轉(zhuǎn)換成這個問題。

（設(shè)計意圖：再次讓學(xué)生產(chǎn)生求知的欲望，積極思考，認真聽老師接下來的講解）

鋪墊：x=-1或y=-2是xy+2x+y+2=0的________條件

學(xué)生思考回答（教師引導(dǎo)）

xy+2x+y+2=（x+1）（y+2）=0？圯x=-1或y=-2，所以是充要條件

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用因式分解來處理表達式）

2.3試題三現(xiàn)

已知正實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值是___________。

師：我們能對條件和所求的表達式都進行因式分解嗎？

生7：xy+5x+4y=（x+4）（x+5）-20 xy+2x+3y=42？圯（x+3）（y+2=48

師：表達式轉(zhuǎn)換后我們可以怎么處理？

生8：那么可以令x+3=m，y+2=n，條件變成了mn=48

結(jié)論變成：求（m+1）（n+3）-20的最小值。

（m+1）（n+3）-20=mn+3m+n-20=3m+n+31≥2+28=24+31=55取得時，“3m=n=12”即“x=1，y=10”

（設(shè)計意圖：對新的處理方式進行熟悉）

課堂練習(xí)

若正實數(shù)a，b滿足a2+b2-ab=12，則a2-b2的最大值是 _______。

（設(shè)計意圖：對新的處理方式進行熟悉）

3.教學(xué)思考

試題講評是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中最常見、最重要的一種課型，筆者結(jié)合考試情況，知識掌握的情況，選擇一道試題，以微專題探究的形式對試題進行三現(xiàn)，通過三現(xiàn)來尋找試題背后的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，利用數(shù)學(xué)本身來解決問題，當理解本質(zhì)問題，所用到的方法都變成了一種手段，變成了一種自然而然的想法，而不是一種技巧了。同時通過鋪墊、引導(dǎo)、來體驗數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性，同時滿足了學(xué)生思維過程的合理性，反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想。

參考文獻：

[1]任偉芳.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)優(yōu)課例探討與教學(xué)設(shè)計.寧波出版社，2014