考慮高耗時(shí)約束的全電推進(jìn)衛(wèi)星多學(xué)科優(yōu)化

袁 斌，劉 莉，李懷建，龍 騰，史人赫

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引 言

相比于傳統(tǒng)化學(xué)推進(jìn)衛(wèi)星，全電推進(jìn)衛(wèi)星采用高比沖的電推進(jìn)系統(tǒng)完成地球同步軌道轉(zhuǎn)移、地球靜止軌道(GEO)位置保持以及壽命末期離軌等任務(wù)，能夠大幅縮減推進(jìn)劑攜帶量，從而實(shí)現(xiàn)“一箭雙星”發(fā)射，對于降低衛(wèi)星研制成本、提高衛(wèi)星有效載荷比等方面具有重要意義[1]。目前波音、洛馬等眾多公司均開展了全電推進(jìn)衛(wèi)星的研制[2-3]，在未來的衛(wèi)星市場中，全電推進(jìn)衛(wèi)星將扮演重要角色。

由于電推進(jìn)系統(tǒng)推力較小(幾十至幾百毫牛)，全電推進(jìn)衛(wèi)星地球同步軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間較傳統(tǒng)化學(xué)推進(jìn)衛(wèi)星大幅延長(一般需3至6個(gè)月)，較長的變軌周期還導(dǎo)致衛(wèi)星長期運(yùn)行在輻射帶中，造成太陽翼性能退化與輸出功率降低，對衛(wèi)星抗輻射能力與供配電系統(tǒng)等方面的設(shè)計(jì)提出了新的技術(shù)挑戰(zhàn)。由于全電推進(jìn)衛(wèi)星系統(tǒng)設(shè)計(jì)是一個(gè)多學(xué)科耦合的復(fù)雜工程問題，有必要采用多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(Multidisciplinary design optimization, MDO)方法[4]進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化以提高衛(wèi)星整體性能、降低研制成本。眾多學(xué)者已經(jīng)將MDO方法初步應(yīng)用于衛(wèi)星設(shè)計(jì)[5-9]，并取得了部分研究成果。

然而，在航天器系統(tǒng)實(shí)際設(shè)計(jì)中需要調(diào)用高精度仿真分析模型(如有限元模型等)以提高設(shè)計(jì)可信度，導(dǎo)致了優(yōu)化成本急劇增加。此外，航天器MDO問題往往需要通過多學(xué)科分析(Multi-disciplinary analysis, MDA)過程進(jìn)行迭代求解，從而進(jìn)一步加劇計(jì)算復(fù)雜性[10]。為了緩解航天器MDO所面臨的計(jì)算復(fù)雜性問題，基于代理模型的優(yōu)化方法(Surrogate-based analysis and optimization, SBAO)近年來得到了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注。SBAO方法旨在通過構(gòu)建計(jì)算量小且與原模型精度相當(dāng)?shù)拇砟Ｐ?，替代原高精度模?或MDA過程)用于設(shè)計(jì)優(yōu)化[11]。文獻(xiàn)[12]指出SBAO對于提高現(xiàn)代航空航天系統(tǒng)的性能，降低其設(shè)計(jì)成本具有重要意義。文獻(xiàn)[10-11]對SBAO的研究進(jìn)展進(jìn)行了詳細(xì)的綜述。

常見的SBAO方法包括高效全局優(yōu)化方法[13]、追峰采樣方法[14]、序列徑向基函數(shù)[15-16]等。其中，

高效全局優(yōu)化方法(Efficient global optimization, EGO)具有良好的收斂性及求解效率，該方法通過獲取少量樣本點(diǎn)構(gòu)造Kriging代理模型，并依據(jù)期望改善(Expected improvement, EI)準(zhǔn)則新增樣本點(diǎn)更新代理模型，直至收斂至全局最優(yōu)解。但是傳統(tǒng)EGO方法無法處理高耗時(shí)約束優(yōu)化問題，限制了其在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用。本文針對全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO問題，考慮軌道轉(zhuǎn)移、位置保持、空間環(huán)境、供配電及結(jié)構(gòu)等學(xué)科，以整星質(zhì)量最小為目標(biāo)建立全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO模型，并基于增廣拉格朗日乘子法提出一種考慮高耗時(shí)約束的高效全局優(yōu)化方法(ALM-EGO)，以實(shí)現(xiàn)全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO問題的高效求解。

1 學(xué)科分析模型

考慮到全電推進(jìn)衛(wèi)星推力小、變軌時(shí)間長以及輻射環(huán)境惡劣等特點(diǎn)，本文參考文獻(xiàn)[17]，主要考慮軌道轉(zhuǎn)移、位置保持、空間環(huán)境、供配電、結(jié)構(gòu)及質(zhì)量學(xué)科建立系統(tǒng)MDO模型，其設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣(DSM)如圖1所示，圖中各參數(shù)定義如表1所示。下面對各學(xué)科建模方法進(jìn)行簡要說明。

變量名變量定義變量名變量定義Mini位置保持階段初始質(zhì)量Msolar太陽翼質(zhì)量Lr衛(wèi)星處于輻射帶中的位置參數(shù)Msatellite整星質(zhì)量MGTO軌道轉(zhuǎn)移消耗推進(jìn)劑質(zhì)量Mstructure衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量MGEO位置保持消耗推進(jìn)劑質(zhì)量Mbat蓄電池質(zhì)量pr太陽翼功率下降系數(shù)

1.1 軌道轉(zhuǎn)移學(xué)科

軌道轉(zhuǎn)移學(xué)科分析的目的是獲取轉(zhuǎn)移時(shí)間Tf,推進(jìn)劑消耗量MGTO及衛(wèi)星在輻射帶中的位置信息，設(shè)計(jì)變量為兩個(gè)階段的推力角α,β,φ。

由于電推進(jìn)系統(tǒng)推力較小，與衛(wèi)星所受到的攝動(dòng)加速度處于同一量級，可將電推進(jìn)加速度作為攝動(dòng)加速度處理，建立小推力軌道轉(zhuǎn)移動(dòng)力學(xué)方程如下所示[18]:

式中:各參數(shù)定義可參考文獻(xiàn)[18]。轉(zhuǎn)移過程中保持推力大小不變。

衛(wèi)星初始位于近地點(diǎn)幾百千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)位于地球同步軌道的大橢圓GTO軌道。本文采用推力方向固定的兩階段變軌策略[18]，使用連續(xù)電推進(jìn)的方式使衛(wèi)星由GTO軌道向GEO軌道轉(zhuǎn)移，并考慮地球陰影對于軌道轉(zhuǎn)移過程的影響。當(dāng)衛(wèi)星位于地影區(qū)時(shí)，電推力器關(guān)機(jī)，其余時(shí)間電推力器全程開機(jī)，地球陰影模型參考文獻(xiàn)[17]。轉(zhuǎn)移第一階段的任務(wù)是抬高半長軸，同時(shí)降低軌道傾角，直至軌道半長軸到達(dá)靜止軌道半徑。第一階段推力方向由兩個(gè)定義于RTN系的推力角α及β定義，如圖2(a)所示。第二階段的任務(wù)是將偏心率和傾角降低至零，從而使衛(wèi)星進(jìn)入GEO軌道，該階段推力方向由定義于PQW系的推力角φ決定，其定義如圖2(b)所示。具體坐標(biāo)系定義參考文獻(xiàn)[18]。

在軌道學(xué)科需滿足的約束條件如下所示：

Tf≤180 天

(2)

1.2 位置保持學(xué)科

位置保持學(xué)科分析的目的是獲取東西方向位保精度lmax，南北方向位保精度imax及整個(gè)位置保持過程所消耗的推進(jìn)劑量MGEO，設(shè)計(jì)變量為推力器的安裝位置。

本文基于文獻(xiàn)[19]中的位保策略，建立全電推進(jìn)衛(wèi)星完備狀態(tài)下的小推力位置保持模型。衛(wèi)星上共裝有四個(gè)推力器，關(guān)于質(zhì)心對稱安裝于背地板上，且推力方向通過質(zhì)心，其位置定義在TNR坐標(biāo)系中。TNR坐標(biāo)系及推力器安裝位置如圖3所示。

由于GEO軌道傾角和偏心率均為零，為避免動(dòng)力學(xué)方程奇異，本文采用無奇點(diǎn)軌道要素描述GEO軌道，GEO軌道脈沖推力控制方程參考文獻(xiàn)[19]。

本文以2天為一個(gè)位保小周期，7個(gè)小周期構(gòu)成一個(gè)完整的位保周期，總位保時(shí)間為15年。每個(gè)小周期中每個(gè)推力器僅開機(jī)一次，順序?yàn)橥屏ζ?-推力器4-推力器2-推力器3，其中推力器1和推力器2開機(jī)赤經(jīng)相同，推力器3和推力器4開機(jī)赤經(jīng)相同，兩組開機(jī)赤經(jīng)相差180°，根據(jù)脈沖推力控制方程和推力矢量余弦，獲得小控制周期內(nèi)各推力器產(chǎn)生的速度增量，繼而得到該小控制周期內(nèi)衛(wèi)星的位移。

位置保持學(xué)科需滿足的約束條件如下所示：

(3)

1.3 空間環(huán)境學(xué)科

空間環(huán)境學(xué)科分析的目的是獲取太陽翼功率下降系數(shù)pr，如下所示[17]：

(4)

式中：Dd為質(zhì)子位移損傷，由軌道轉(zhuǎn)移階段衛(wèi)星位于輻射帶中的位置信息決定，Dx及K均為太陽翼材料系數(shù)，Dx取值為3.52×109，K取值為0.135。具體計(jì)算流程參考文獻(xiàn)[17]。

1.4 供配電學(xué)科

供配電學(xué)科分析的目的分為三部分。第一部分是根據(jù)太陽翼功率下降系數(shù)，計(jì)算太陽翼壽命初期輸出功率PBOL和壽命末期輸出功率PEOL[20]。第二部分是根據(jù)蓄電池容量Cs，計(jì)算蓄電池質(zhì)量Mbat及蓄電池放電深度DOD，其具體計(jì)算流程同樣參考文獻(xiàn)[20]。第三部分是根據(jù)太陽翼面積Asa獲取太陽翼質(zhì)量Msol[21]。

供配電學(xué)科需滿足的約束條件如下所示：

(5)

1.5 結(jié)構(gòu)學(xué)科

結(jié)構(gòu)學(xué)科分析的目的是獲取衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量Mstr，衛(wèi)星軸向頻率fax及側(cè)向頻率flat，設(shè)計(jì)變量為承力筒直徑DT。

本文研究的全電推進(jìn)衛(wèi)星采用中心承力筒結(jié)構(gòu)。為減小模型復(fù)雜程度，提高設(shè)計(jì)效率，本學(xué)科采用文獻(xiàn)[22]中的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行衛(wèi)星結(jié)構(gòu)分析。衛(wèi)星軸向頻率fax及側(cè)向頻率flat的經(jīng)驗(yàn)公式如式(6)所示。

(6)

式中：E為楊氏模量，取值為7.06×1010N/m2，A為承力筒橫截面積，hs為衛(wèi)星本體高度。本文中，衛(wèi)星尺寸取1.9(x)×1.9(y)×2.5(z)，η1和η2分別為整星軸向頻率與側(cè)向頻率的修正因子,其取值基于文獻(xiàn)[23]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)求得。本文中η1和η2的取值分別為0.0725和0.16。

本文中衛(wèi)星采用復(fù)合材料，包括一層芯子及4層鋪層，芯子密度為30.95 kg/m3，鋪層密度為2800 kg/m3。結(jié)構(gòu)質(zhì)量由材料密度乘以材料體積求得。

結(jié)構(gòu)學(xué)科需滿足的約束條件如下所示：

(7)

1.6 質(zhì)量分析

質(zhì)量分析學(xué)科主要目的是獲取衛(wèi)星整星質(zhì)量Ms作為MDO問題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，其計(jì)算方法如式(8)所示。

Ms=MGTO+MGEO+Mstr+Msol+

Mbat+Mpay+Moth

(8)

式中：Ms為整星質(zhì)量，Mpay為有效載荷質(zhì)量，取值為500 kg，Moth為衛(wèi)星其余部分質(zhì)量，取值為400 kg。由圖1可知，Ms為反向耦合變量，需采用定點(diǎn)迭代方法獲取滿足系統(tǒng)一致性約束的設(shè)計(jì)方案。

2 考慮高耗時(shí)約束的高效全局優(yōu)化方法

針對現(xiàn)有大部分SBAO方法(如EGO，MPS等)無法處理復(fù)雜工程問題中的高耗時(shí)約束的問題，本文提出一種基于增廣拉格朗日乘子法的高效全局優(yōu)化方法(Augmented Lagrange multiplier based efficient global optimization, ALM-EGO)來實(shí)現(xiàn)高效求解包含高耗時(shí)約束的全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO問題。EGO以Kriging為代理模型，并引入期望改善度(Expected improvement, EI)作為采樣準(zhǔn)則，通過在EI最大值處新增樣本點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對代理模型的更新，從而引導(dǎo)算法快速收斂，具體流程參考文獻(xiàn)[13]。

傳統(tǒng)的工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題如下所示：

minf(X)s.t.gj(X)≤0,j=1,2,…,mhk(X)=0,k=1,2,…,lXL≤X≤XU

(9)

式中：f(X)為原目標(biāo)函數(shù)，g(X)為不等式約束，h(X)為等式約束，XL和XU分別為設(shè)計(jì)空間的下界和上界。通過引入增廣拉格朗日乘子構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)為：

(10)

(11)

通過構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)F(X)可將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。ALM-EGO主要思想為利用EGO方法對近似增廣目標(biāo)函數(shù)F(X)進(jìn)行序列求解，直至獲得滿足約束的優(yōu)化結(jié)果。同時(shí)為避免多次調(diào)用分析模型，分別對目標(biāo)函數(shù)及各個(gè)約束條件分別構(gòu)造Kriging代理模型，在求解EI時(shí)以目標(biāo)函數(shù)及約束條件的預(yù)測值替代真實(shí)值，從而達(dá)到降低設(shè)計(jì)成本，提高優(yōu)化效率的目的。

ALM-EGO計(jì)算流程如圖4所示，具體計(jì)算步驟如下。

步驟1：確定優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)空間、初始樣本點(diǎn)數(shù)量nini,最大樣本點(diǎn)數(shù)量nmax,λ及rp初始值。采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(Latin hypercube design, LHD)獲取初始樣本點(diǎn)，令當(dāng)前樣本點(diǎn)數(shù)量np=nini，迭代次數(shù)p=1。

步驟2：計(jì)算各初始樣本點(diǎn)或新增樣本點(diǎn)的真實(shí)模型響應(yīng)值。

步驟3：根據(jù)式(10)求解各樣本點(diǎn)處增廣目標(biāo)函數(shù)值，并將最小值點(diǎn)作為當(dāng)前最優(yōu)解X*；若樣本點(diǎn)數(shù)量已達(dá)到最大樣本點(diǎn)數(shù)量，則算法結(jié)束，輸出可行最優(yōu)解;否則，算法進(jìn)入步驟4。

步驟4：基于已有樣本點(diǎn)，分別對目標(biāo)函數(shù)和各約束條件構(gòu)造Kriging代理模型，之后根據(jù)增廣拉格朗日乘子法，利用目標(biāo)函數(shù)與約束條件代理模型的信息構(gòu)造近似增廣目標(biāo)函數(shù)及EI準(zhǔn)則，如式(12)和(13)所示:

(12)

(13)

(14)

步驟6：若p=1，則令λ和rp的值分別為1=[1,1,…,1](m+l)×1和1，否則按式(15)更新λ及rp。令p=p+1，算法返回步驟2，繼續(xù)迭代。

(15)

本文選用G 4數(shù)值算例[16]及彈簧設(shè)計(jì)問題(Sp-ring design, SD)[24]兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試算例測試ALM-EGO在求解包含高耗時(shí)約束的工程優(yōu)化問題時(shí)的性能。本文采用模型調(diào)用次數(shù)(Nfe)衡量算法效率。分別使用遺傳算法(GA)、基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的高效全局優(yōu)化方法(C-EGO)[25]及ALM-EGO方法三種算法對兩個(gè)優(yōu)化問題進(jìn)行連續(xù)15次優(yōu)化，其中，GA使用MATLAB中g(shù)a工具包缺省設(shè)置，C-EGO及ALM-EGO人為設(shè)置為同樣的迭代次數(shù)，SD問題最大迭代次數(shù)為140，G 4問題最大迭代次數(shù)為120。優(yōu)化最優(yōu)解及模型調(diào)用次數(shù)對比如表2～3所示。

優(yōu)化結(jié)果表明，對于SD問題，ALM-EGO可以收斂到理論最優(yōu)解，而C-EGO及GA所得最優(yōu)解分別與理論最優(yōu)解相差35%及75%；對于G 4問題，ALM-EGO所求得的最優(yōu)解于理論最優(yōu)解僅相差1%左右，而C-EGO與GA所得最優(yōu)解與理論最優(yōu)解分別相差2.7%及2.0%左右。此外，ALM-EGO求解上述兩組優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的計(jì)算成本僅為GA的14%～18%。綜上所述，相比于GA與C-EGO，ALM-EGO在處理包含高耗時(shí)約束的優(yōu)化問題時(shí)在最優(yōu)性與效率方面均具有顯著優(yōu)勢，驗(yàn)證了ALM-EGO的有效性。

表2 優(yōu)化所得最優(yōu)解對比Table 2 Comparison results of objective value

表3 優(yōu)化過程所需模型調(diào)用次數(shù)對比Table 3 Comparison results of Nfe

3 全電推進(jìn)衛(wèi)星系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果與分析

本節(jié)基于ALM-EGO方法求解全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO問題。為了兼顧計(jì)算成本與收斂性，ALM-EGO初始樣本點(diǎn)數(shù)量設(shè)為100，每次迭代新增一個(gè)樣本點(diǎn)，最大樣本點(diǎn)數(shù)量為300。本文研究的全電推進(jìn)衛(wèi)星中，電推進(jìn)系統(tǒng)比沖為4000 s，單個(gè)推力器功率為4.5 kW，最大推力為200 mN。在軌道轉(zhuǎn)移過程中，總推力為200 mN×2，初始GTO軌道根數(shù)為a=24328 km,e=0.7296,i=23.5°,ω=180°,Ω=90°,M=0°。衛(wèi)星GEO定點(diǎn)位置為東經(jīng)120 °。各設(shè)計(jì)變量初始值依照工程經(jīng)驗(yàn)選取，得到優(yōu)化前后的設(shè)計(jì)變量如表4所示，對應(yīng)約束值如表5所示，優(yōu)化前后的整星質(zhì)量如表6所示。

從表4和表6可以看出，在軌道轉(zhuǎn)移學(xué)科中，通過調(diào)整兩階段推力角，軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間縮短了24天左右，相應(yīng)減少了約21.6 kg的推進(jìn)劑。此外，在位置保持階段，推力器安裝位置的N坐標(biāo)增加、T坐標(biāo)減小，從而提高了南北位保效率?？紤]到南北位保所消耗的推進(jìn)劑要遠(yuǎn)高于東西位保，因此提高南北位保效率可有效減少推進(jìn)劑消耗量。在優(yōu)化方案中，整個(gè)位置保持階段所需推進(jìn)劑質(zhì)量減少約9.96 kg。此外，在滿足衛(wèi)星功率要求的基礎(chǔ)上，太陽翼面積減小了12.53 m2，質(zhì)量降低了35.46 kg；電池容量減少了20.05 Ah，質(zhì)量降低了97.22 kg。然而，由于初始設(shè)計(jì)方案不滿足衛(wèi)星軸向頻率約束，因此衛(wèi)星承力筒直徑略有增加，提高了衛(wèi)星軸向頻率，但衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量相應(yīng)增加了約3.17 kg。

綜上所述，相比于初始設(shè)計(jì)方案，優(yōu)化方案滿足所有設(shè)計(jì)約束，同時(shí)整星質(zhì)量降低了約161.09 kg，對于提高衛(wèi)星有效載荷比、降低衛(wèi)星發(fā)射成本等方面具有重要意義，從而驗(yàn)證了全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO模型的合理性以及ALM-EGO方法的工程實(shí)用性。

表4 初始方案及優(yōu)化方案設(shè)計(jì)變量對比Table 4 Design variable of initial and optimal design

表5 初始方案及優(yōu)化方案約束條件對比Table 5 Constraints of initial design and optimal design

表6 初始方案及優(yōu)化方案目標(biāo)函數(shù)對比Table 6 Initial and optimal objective value

4 結(jié) 論

1)本文針對全電推進(jìn)衛(wèi)星多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，建立了系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣并梳理了學(xué)科間數(shù)據(jù)關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上建立了考慮軌道轉(zhuǎn)移、位置保持、空間環(huán)境、供配電、結(jié)構(gòu)及質(zhì)量分析學(xué)科的全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO分析模型。

2)針對傳統(tǒng)EGO問題無法處理約束的缺陷，引入增廣拉格朗日乘子法，提出一種考慮高耗時(shí)約束的高效全局優(yōu)化方法ALM-EGO，拓展了EGO在航天器設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用。通過兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試算例對ALM-EGO的性能進(jìn)行了測試，測試結(jié)果表明，ALM-EGO可在較少的模型調(diào)用次數(shù)下獲得滿足約束的優(yōu)化解，具有較高的優(yōu)化效率及全局收斂性。

3)將ALM-EGO應(yīng)用于全電推進(jìn)衛(wèi)星多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化實(shí)例中，獲得了滿足約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。相比于初始方案，整星質(zhì)量降低了約161.09 kg，對于降低衛(wèi)星發(fā)射成本，提升衛(wèi)星整體性能具有重要意義。

4)本文所建立全電推進(jìn)衛(wèi)星MDO模型及設(shè)計(jì)優(yōu)化框架可為其他全電推進(jìn)航天器系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化提供參考。

參 考 文 獻(xiàn)

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