帶有入軌姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)算法及應(yīng)用研究

韓雪穎，馬 英，張志國，余夢倫

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引 言

對我國現(xiàn)役運(yùn)載火箭來說，在大氣層內(nèi)采用固定程序角飛行，在大氣層外飛行段采用攝動(dòng)制導(dǎo)方法，基本能夠滿足準(zhǔn)確入軌的要求[1]。隨著航天領(lǐng)域及相關(guān)技術(shù)的發(fā)展[2]，運(yùn)載火箭發(fā)射任務(wù)呈現(xiàn)多樣性，對制導(dǎo)精度也提出了更高的要求，攝動(dòng)制導(dǎo)已經(jīng)無法滿足，需要研究適應(yīng)能力更強(qiáng)、制導(dǎo)精度更高的自適應(yīng)制導(dǎo)算法。迭代制導(dǎo)方法是自適應(yīng)制導(dǎo)諸算法中應(yīng)用最多的一種[3]。該方法以最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，根據(jù)火箭飛行瞬時(shí)狀態(tài)和終端目標(biāo)，實(shí)時(shí)確定出一組最優(yōu)控制姿態(tài)角[4]，具有制導(dǎo)精度高、任務(wù)適應(yīng)性強(qiáng)、箭上飛行軟件簡單、諸元裝訂少等優(yōu)點(diǎn)[5]。1967年，Doris C.Chandler和Isaac E.Smith首先給出了迭代制導(dǎo)方法[6]，該方法在國外得到廣泛應(yīng)用，美國的“土星五號”運(yùn)載器[7]，歐空局的阿里安火箭、俄羅斯的“能源號”重型運(yùn)載火箭等都采用了迭代制導(dǎo)技術(shù)[8]。國內(nèi)學(xué)者韓祝齋[4]、陳新民、余夢倫[3]、茹家欣[9]等也先后進(jìn)行了相關(guān)研究，并通過仿真證明了迭代制導(dǎo)方法的有效性。目前迭代制導(dǎo)已在我國載人運(yùn)載火箭及新一代運(yùn)載火箭上得到成功應(yīng)用。

傳統(tǒng)的迭代制導(dǎo)方法，在發(fā)動(dòng)機(jī)推力不可調(diào)節(jié)的情況下，以終端點(diǎn)的三個(gè)速度分量和兩個(gè)位置分量為約束條件，得到近似處理后的控制角表達(dá)式由常值部分和與時(shí)間一次項(xiàng)相關(guān)的部分相加而成，其中前者為使火箭滿足入軌點(diǎn)速度約束所需的部分，后者為在速度約束基礎(chǔ)上再使火箭滿足入軌點(diǎn)位置約束所需的小量部分。實(shí)際上，在運(yùn)載火箭承擔(dān)的發(fā)射任務(wù)中，某些有效載荷對入軌姿態(tài)有著較為嚴(yán)格的要求(如對地定向、測控等)，使得運(yùn)載火箭需要滿足一定的入軌姿態(tài)約束[10]。在這種約束條件下，傳統(tǒng)的迭代制導(dǎo)方法已無法適用。

針對帶有入軌姿態(tài)約束的運(yùn)載火箭制導(dǎo)問題，呂新廣等[10]提出了一種將傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)與數(shù)值積分相結(jié)合的軌跡預(yù)測制導(dǎo)方法，能夠同時(shí)滿足入軌姿態(tài)約束和軌道參數(shù)約束要求，由于多次數(shù)值積分計(jì)算帶來大計(jì)算量，需要采取多處理器并行等措施縮短運(yùn)算時(shí)間。張志國等[11]基于軌跡優(yōu)化理論，研究了應(yīng)用偽譜法的運(yùn)載火箭在線制導(dǎo)方法，仿真結(jié)果表明該方法在保證入軌精度的同時(shí)，可有效處理帶入軌姿態(tài)約束的火箭制導(dǎo)問題，但需要通過選擇合適的基點(diǎn)數(shù)量和制導(dǎo)周期平衡制導(dǎo)效率和制導(dǎo)精度的關(guān)系。邱豐、宋征宇[12]結(jié)合直接配點(diǎn)法[13]和偽譜法[14]，提出了一種基于聯(lián)立框架的直接法，入軌精度和入軌大姿態(tài)約束均能滿足，與偽譜法相比，計(jì)算效率得到大幅提高。本文在傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上，針對只能控制發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向，而不能改變發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小的運(yùn)載火箭，通過在控制角表達(dá)式中增加與時(shí)間二次項(xiàng)相關(guān)的部分，在滿足入軌點(diǎn)三個(gè)速度約束和兩個(gè)位置約束的同時(shí)，也能實(shí)現(xiàn)對入軌俯仰、偏航姿態(tài)角的有效控制，且與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)相比，計(jì)算量增加少，能夠滿足箭上實(shí)時(shí)計(jì)算需求，適合工程應(yīng)用。

1 迭代制導(dǎo)問題描述

為簡化制導(dǎo)控制方程形式，將運(yùn)載火箭動(dòng)力學(xué)方程建立在目標(biāo)點(diǎn)軌道坐標(biāo)系Os-εηζ，其中坐標(biāo)系原點(diǎn)Os為地心，Osη軸由地心指向入軌點(diǎn)，Osε軸與Osη軸垂直，且與當(dāng)?shù)厮矫嫫叫校赶蜻\(yùn)載火箭運(yùn)動(dòng)方向，Osζ軸與Osε軸、Osη軸構(gòu)成右手定則。在目標(biāo)點(diǎn)軌道坐標(biāo)系計(jì)算的控制角需要通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)至發(fā)射慣性系中，轉(zhuǎn)換關(guān)系參見文獻(xiàn)[8]。不考慮大氣影響，真空飛行段火箭的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

在傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法中，控制角φε、ψζ的表達(dá)式均是與時(shí)間相關(guān)的線性函數(shù)，通過控制剩余飛行時(shí)間和對k1、k2、k3、k4進(jìn)行調(diào)節(jié)，可以實(shí)現(xiàn)對入軌點(diǎn)三個(gè)速度分量和兩個(gè)位置分量的有效控制，但沒有對入軌姿態(tài)進(jìn)行控制，因此無法滿足入軌姿態(tài)約束的要求，且在各項(xiàng)干擾作用下，入軌姿態(tài)散布較大[1]，這對某些有入軌姿態(tài)要求的有效載荷產(chǎn)生一定影響。為此需要研究能夠同時(shí)滿足運(yùn)載火箭入軌速度、位置和姿態(tài)約束的制導(dǎo)算法。

2 有入軌姿態(tài)角約束的迭代制導(dǎo)算法

2.1 入軌點(diǎn)有姿態(tài)角約束時(shí)控制角的表達(dá)式

為了實(shí)現(xiàn)對入軌姿態(tài)角的控制，本文在傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上，將控制角的最優(yōu)解經(jīng)二階近似展開，得到如下形式的控制角近似解表達(dá)式

(3)

式(3)是與時(shí)間相關(guān)的二次函數(shù)，與式(2)相比，增加了兩個(gè)參數(shù)k5、k6，通過對六個(gè)參數(shù)k1、k2、k3、k4、k5、k6的調(diào)節(jié)，可以在滿足速度與位置約束的同時(shí)，也能滿足姿態(tài)約束。

假設(shè)有效載荷對入軌姿態(tài)的要求對應(yīng)火箭在目標(biāo)軌道坐標(biāo)下的入軌姿態(tài)角為φεc、ψζc，由式(3)可知，其應(yīng)滿足

(4)

在入軌點(diǎn)只有速度約束的情況下，需增視速度為

(5)

(6)

這是為簡化計(jì)算所作的近似處理，隨著火箭接近入軌點(diǎn)，平均引力所代表的真實(shí)性也隨之增強(qiáng)，故這種近似處理不會影響入軌精度[3]。

根據(jù)歐拉角產(chǎn)生的關(guān)系：

(7)

式(7)表明，火箭飛行瞬時(shí)，為滿足入軌點(diǎn)速度約束產(chǎn)生的控制角是一組瞬時(shí)常值。

2.2 有入軌姿態(tài)角約束時(shí)的迭代制導(dǎo)方程

假設(shè)k5t2+k2t-k1、k6t2+k4t-k3均為小量，對小量，有下式成立

(8)

(a)偏航姿態(tài)控制方程

將式(3)和式(6)代入式(1)中第三式，得到

(9)

式中：

(10)

將式(8)代入式(10)，得到

(-k3+k4t+k6t2)

(11)

將式(11)代入式(9)，并進(jìn)行一次積分，得到

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

(16)

對式(12)兩邊再次積分，得到

(17)

式中：

(18)

(19)

(20)

(21)

聯(lián)立姿態(tài)約束方程(4)中第二式以及式(16)、式(21)，得到

(22)

(b)俯仰姿態(tài)控制方程

同樣地，將式(3)和式(6)代入式(1)中第二式，并進(jìn)行兩次積分，可得到

(23)

(24)

式中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

聯(lián)立姿態(tài)約束方程(4)中第一式以及式(23)、式(24)，得到

(33)

求解式(22)和式(33)可以得到k1～k6，和式(7)一起代入式(3)，可以得到實(shí)時(shí)計(jì)算的控制角。

(c)火箭剩余飛行時(shí)間的確定

(34)

式中：

(35)

(36)

(37)

式(34)和式(37)經(jīng)制導(dǎo)計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算，可以求得滿足一定精度要求的剩余飛行時(shí)間。

3 仿真校驗(yàn)

以某帶助推兩級運(yùn)載火箭發(fā)射900 km太陽同步軌道任務(wù)為例對本文算法的應(yīng)用進(jìn)行仿真分析。根據(jù)推質(zhì)比變化，火箭二級分為大推力工作段和小推力工作段。仿真時(shí)選擇迭代制導(dǎo)在小推力工作段開始后10 s加入，至發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)前5s結(jié)束，此時(shí)間段內(nèi)火箭推質(zhì)比變化較小，發(fā)動(dòng)機(jī)工作平穩(wěn)。標(biāo)準(zhǔn)彈道入軌點(diǎn)程序角φc=-34.7°，ψc=-11.8°。

(1)與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)對比

以標(biāo)準(zhǔn)彈道入軌點(diǎn)程序角作為入軌姿態(tài)角約束，分別采用傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)和帶有入軌姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)進(jìn)行零干擾彈道計(jì)算，得到控制姿態(tài)角與標(biāo)準(zhǔn)彈道程序角的對比曲線見圖1、圖2?？紤]火箭各項(xiàng)方法誤差，包括火箭質(zhì)量、質(zhì)心參數(shù)偏差、發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)偏差、大氣參數(shù)偏差等，得到兩種制導(dǎo)算法入軌點(diǎn)參數(shù)偏差的對比情況見表1。

從圖1、圖2曲線可以看出，與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)相比，采用帶有姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)算法生成的入軌點(diǎn)控制姿態(tài)角與入軌姿態(tài)約束值之間的偏差更小，同時(shí)由于在算法剛加入時(shí)刻對終端姿態(tài)角估計(jì)精度不高，與終端約束值差異較大，表現(xiàn)出的姿態(tài)角跳變比傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)僅由模型簡化造成的初始姿態(tài)角跳變更大一些。通過姿態(tài)角速率限幅等措施，可以對跳變進(jìn)行適當(dāng)平緩，確保姿態(tài)控制效果。

表1數(shù)據(jù)表明，采用帶有入軌姿態(tài)角約束的迭代制導(dǎo)和傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法的入軌點(diǎn)軌道根數(shù)偏差水平相當(dāng)，且前者使入軌姿態(tài)角偏差顯著減小。

表1 入軌點(diǎn)參數(shù)偏差對比Table 1 Comparison of the injection parameter deviation

為了評估采用本文算法對運(yùn)載能力的影響情況，進(jìn)行10 000次蒙特卡洛打靶仿真計(jì)算，并按照零干擾彈道剩余量進(jìn)行無量綱化處理，得到末級推進(jìn)劑剩余量散布對比情況見圖3，其中1～10 000次是采用傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)的情況，10 001～20 000次是采用帶有入軌姿態(tài)角約束的迭代制導(dǎo)的情況。

由圖3可以看出，與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)相比，采用本文算法會使火箭末級推進(jìn)劑剩余量散布略大。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，以標(biāo)準(zhǔn)彈道入軌點(diǎn)程序角為約束，在正常偏差情況下，采用本文算法，二級安全余量需求將增加5%，相應(yīng)的運(yùn)載能力僅損失1%。

(2)故障適應(yīng)性

為驗(yàn)證本文迭代制導(dǎo)算法在故障工況下的適應(yīng)性，針對以下典型故障工況進(jìn)行仿真分析：某一時(shí)刻(420 s、520 s)發(fā)動(dòng)機(jī)出現(xiàn)故障，推力下降25%。

不考慮入軌姿態(tài)約束，采用傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)得到的零干擾彈道俯仰、偏航程序角曲線見圖4、圖5?？紤]以標(biāo)準(zhǔn)彈道入軌點(diǎn)程序角作為入軌姿態(tài)約束，采用帶入軌姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)得到的零干擾彈道俯仰、偏航程序角曲線見圖6、圖7。兩種算法在故障工況下入軌點(diǎn)軌道參數(shù)及姿態(tài)偏差的比對情況見表2。

從圖4～圖7可以看出，兩種算法對故障均具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，只是在發(fā)動(dòng)機(jī)出現(xiàn)推力下降瞬時(shí)，控制姿態(tài)角均會出現(xiàn)跳變，與標(biāo)準(zhǔn)彈道差異增大，可以通過程序角速率限幅等措施，避免出現(xiàn)瞬時(shí)大幅跳變，保證姿態(tài)控制平穩(wěn)。與此同時(shí)，采用帶有入軌姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)能夠使零干擾故障彈道下的入軌姿態(tài)與理論彈道入軌程序角差異更小。

故障時(shí)刻制導(dǎo)方法|ΔT|/s|Δa|/km|Δi|/(°)|Δe||Δφc|/(°)|Δψc|/(°)420 s傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)124.930.4730.0240.000476.656.59姿態(tài)角約束迭代制導(dǎo)125.850.6780.0230.000453.961.49520 s傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)91.060.5730.0240.000457.436.17姿態(tài)角約束迭代制導(dǎo)92.860.6770.0230.000431.701.46

對比表1、表2，故障工況下，采用兩種算法均會使火箭飛行時(shí)間顯著延長。入軌姿態(tài)角偏差雖也均有增加，但由于帶入軌姿態(tài)約束的迭代制導(dǎo)為滿足故障工況下的入軌姿態(tài)約束，對剩余飛行過程中的姿態(tài)進(jìn)行了一定范圍的調(diào)整，使該方法下的入軌姿態(tài)偏差依然較小。除此之外，兩種算法下的入軌參數(shù)偏差水平相當(dāng)，火箭依然能夠按預(yù)定目標(biāo)飛行。

相比正常工況，故障工況下采用本文算法后的二級推進(jìn)劑剩余量散布情況見圖8(無量綱化結(jié)果)。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，在發(fā)動(dòng)機(jī)推力下降25%的故障工況下，二級推進(jìn)劑剩余量散布相比正常工況更小，且故障時(shí)間越早，散布越小。在420s故障工況、520s故障工況下，二級安全余量需求分別減小9%、5%，相應(yīng)的運(yùn)載能力分別提升2%、1%，這是由于在故障發(fā)生后，采用帶有入軌姿態(tài)角約束的迭代制導(dǎo)，能夠根據(jù)火箭當(dāng)前狀態(tài)重新進(jìn)行彈道規(guī)劃，充分利用了發(fā)射高軌任務(wù)末級小推力長時(shí)間推進(jìn)的優(yōu)勢，使得二級安全余量需求降低，運(yùn)載能力反而有所提高。但由于目前該型發(fā)動(dòng)機(jī)尚不具備節(jié)流能力，故在正常工況下無法利用這個(gè)優(yōu)勢提升火箭運(yùn)載能力。

(3)不同姿態(tài)角約束對比

分別設(shè)置不同的入軌姿態(tài)角約束進(jìn)行仿真分析，其零干擾彈道下的俯仰、偏航程序角曲線見圖9、圖10。不同姿態(tài)角約束下的入軌點(diǎn)參數(shù)偏差見表3。

圖9、圖10及表3數(shù)據(jù)表明，對不同入軌點(diǎn)姿態(tài)約束，采用帶有姿態(tài)角約束的迭代制導(dǎo)算法在保證較高精度入軌的同時(shí)，也能滿足入軌點(diǎn)姿態(tài)約束的要求。結(jié)果也表明:隨著入軌點(diǎn)姿態(tài)角約束與標(biāo)準(zhǔn)彈道入軌點(diǎn)程序角差異越來越大，入軌點(diǎn)姿態(tài)角偏差有所增大。為滿足入軌點(diǎn)姿態(tài)約束，入軌位置精度會有所損失，因此，該算法能夠適應(yīng)一定范圍內(nèi)的入軌點(diǎn)姿態(tài)角約束，當(dāng)入軌點(diǎn)姿態(tài)約束偏離理論彈道入軌點(diǎn)程序角太大時(shí)，會導(dǎo)致入軌精度變差，相應(yīng)的運(yùn)載能力損失增大，甚至?xí)棺藨B(tài)發(fā)散。在這種情況下，應(yīng)該綜合權(quán)衡有效載荷對入軌點(diǎn)位置約束及姿態(tài)約束的具體要求使用該算法，若無法同時(shí)滿足，可以考慮在火箭末級增加調(diào)姿系統(tǒng)等方式，達(dá)到同時(shí)滿足火箭入軌速度、位置及姿態(tài)角約束的要求。

入軌點(diǎn)姿態(tài)約束|ΔT|/s|Δa|/km|Δi|/(°)|Δe||Δφc|/(°)|Δψc|/(°)φc=-25°ψc=-11.8°9.311.4930.0310.000602.570.92φc=-45°ψc=-11.8°9.481.2170.0310.000632.651.10φc=-50°ψc=-11.8°9.221.5460.0320.000643.801.17φc=-34.7°ψc=-8°8.890.6910.0320.000640.961.33φc=-34.7°ψc=-13°8.970.5620.0320.000621.111.23φc=-40°ψc=-13°9.400.9480.0320.000621.611.28

4 結(jié)束語

針對有入軌姿態(tài)要求的運(yùn)載火箭發(fā)射任務(wù)，本文在傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法的基礎(chǔ)上，通過將控制角的表達(dá)式近似展開為與時(shí)間相關(guān)的二次函數(shù)，推導(dǎo)出能夠滿足入軌姿態(tài)角約束的迭代制導(dǎo)算法。對某運(yùn)載火箭發(fā)射任務(wù)的仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)迭代制導(dǎo)算法相比，采用本文推導(dǎo)的迭代制導(dǎo)算法在運(yùn)載能力損失不多的情況下，可以實(shí)現(xiàn)同等水平的入軌精度，同時(shí)又能很好地滿足入軌姿態(tài)約束，對故障的自適應(yīng)能力較強(qiáng)，且計(jì)算量增加少，易于工程實(shí)現(xiàn)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 宋征宇. 從準(zhǔn)確、精確到精益求精——載人航天推動(dòng)運(yùn)載火箭制導(dǎo)方法的發(fā)展[J]. 航天控制, 2013, 31(1):4-10. [Song Zheng-yu. From accurate, precise to perfect-manned space promotes the development of guidance method on launch vehicle [J]. Aerospace Control, 2013, 31(1): 4-10.]

[2] 魯宇. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)發(fā)展[J]. 宇航總體技術(shù), 2017, 1(3):1-8. [Lu Yu. Space launch vehicle′s development in china [J]. Astronautical Systems Engineering Technology, 2017, 1(3):1-8.]

[3] 陳新民, 余夢倫. 迭代制導(dǎo)在運(yùn)載火箭上的應(yīng)用研究[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2003, 24(5):484-489. [Chen Xin-min, Yu Meng-lun. Study of iterative guidance application to launch vehicles [J]. Journal of Astronautics, 2003, 24(5): 484-489.]

[4] 韓祝齋. 用于大型運(yùn)載火箭的迭代制導(dǎo)方法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 1983, 1(1):11-20. [Han Zhu-zhai. An iterative guidance method for the large launch vehicle [J]. Journal of Astronautics, 1983, 1(1): 11-20.]

[5] 李超兵, 呂新廣, 王志剛, 等. 一種適用于目標(biāo)圓軌道的空間變軌迭代制導(dǎo)算法研究[J]. 航天控制, 2015, 33(3):34-37. [Li Chao-bing, Lv Xin-guang. Wang Zhi-gang, et al. Research on Iterative Guidance Algorithm for Spacecraft Orbit Transfer [J]. Aerospace Control, 2015, 33(3):34-37.]

[6] Chandler D C, Smith I E. Development of the iterative guidance mode with its application to various vehicles and missions [J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 1967, 4(7):898-903.

[7] Haeussermann W. Saturn launch vehicle′s navigation, guidance and control system [J]. Automatica , 1971, 7(5): 537-556.

[8] 李偉. 基于精確控制解的運(yùn)載火箭迭代制導(dǎo)自適應(yīng)性分析研究 [D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012. [Li Wei. Research and analysis on iterative guidance self-adaptability of vehicle base on precise control of solution [D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2012.]

[9] 茹家欣. 液體運(yùn)載火箭的一種迭代制導(dǎo)方法[J]. 中國科學(xué), 2009, 39(4):696-706. [Ru Jia-xin. An iterative guidance method of liquid rocket [J]. Science in China, 2009, 39(4): 696-706.]

[10] 呂新廣, 宋征宇, 鞏慶海. 運(yùn)載火箭軌跡預(yù)測制導(dǎo)方法研究[J]. 載人航天, 2013, 19(6):20-24. [Lv Xin-guang, Song Zheng-yu, Gong Qing-hai. Research on trajectory prediction guidance for launch vehicle [J]. Manned Spaceflight, 2013, 19(6):20-24.]

[11] 張志國, 余夢倫, 耿光有, 等. 應(yīng)用偽譜法的運(yùn)載火箭在線制導(dǎo)方法研究[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2017, 38(3):262-269. [Zhang Zhi-guo, Yu Meng-lun, Geng Guang-you, et al. Research on application of pseudo-spectral method in online guidance method for a launch vehicle [J]. Journal of Astronautics, 2017, 38(3): 262-269.]

[12] 邱豐, 宋征宇. 采用聯(lián)立法求解大姿態(tài)終端約束的上升段軌跡優(yōu)化[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2017, 38(1):18-25. [Qiu Feng, Song Zheng-yu. Large terminal attitude constrained trajectory optimization of ascent stage via simultaneous method [J]. Journal of Astronautics, 2017, 38(1): 18-25.]

[13] 邱豐, 宋征宇. 基于聯(lián)立框架的軌跡優(yōu)化算法[J]. 航天控制, 2015, 33(2):9-15. [Qiu Feng, Song Zheng-yu. A trajectory optimization algorithm based on simultaneous strategies[J]. Aerospace Control, 2015, 33(2): 9-15.]

[14] 楊希祥, 張為華. 基于Gauss偽譜法的固體運(yùn)載火箭上升段軌跡快速優(yōu)化研究[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2011, 32(1):15-21. [Yang Xi-xiang, Zhang Wei-hua. Rapid optimization of ascent trajectory for solid launch vehicles based on gauss pseudo-spectral method[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(1): 15-21.]

[15] 吳楠, 程文科, 王華. 運(yùn)載火箭迭代制導(dǎo)方法的改進(jìn)研究[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2009, 7(3) :279-282. [Wu Nan, Cheng Wen-ke, Wang Hua. An improved iterative guidance method for launch vehicle[J]. Journal of Dynamics and Control, 2009, 7(3) :279-282.]