航空齒輪減速器穩(wěn)健優(yōu)化設計研究

韓冰海

(中航鋰電(洛陽)有限公司，洛陽 471003)

0 引 言

航空齒輪減速器通常工作于高轉速高負荷工況，其結構復雜，是一個故障多發(fā)、可靠性差的部件,對其結構進行研究和優(yōu)化具有重要的工程實際意義。傳統(tǒng)的齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設計多未考慮齒輪所受載荷和轉速等工況參數(shù)的隨機性、工藝水平的差異性，以及材料強度等力學性能參數(shù)的波動對優(yōu)化目標和約束條件的影響，因此，優(yōu)化結果不可避免地與工程實際具有較大差異，即傳動系統(tǒng)的性能仍可能隨著噪聲因素的變化而產生較大范圍內的波動。工程實際中通常通過嚴格控制加工制造精度以盡可能消除影響因素的波動性，從而提高優(yōu)化目標和約束條件的穩(wěn)健性，但是實際中卻難以實現(xiàn)，也會付出很大代價[1]。穩(wěn)健優(yōu)化設計理論[2]的蓬勃發(fā)展為齒輪減速器的結構優(yōu)化設計提供了新思路。

1998年，Isaias C.Regalado[3]首次通過正交試驗和田口法，以圓柱齒輪傳動中大齒輪和小齒輪的彎曲疲勞壽命相差最小、接觸疲勞壽命相差最小、噪聲最小、效率最高和體積最小為優(yōu)化目標，以齒數(shù)、壓力角、螺旋角、齒寬、刀具變位系數(shù)和法面模數(shù)等為設計變量，同時加入噪聲因素、壓力角偏差、螺旋角偏差和扭矩偏差，進行穩(wěn)健優(yōu)化設計；R.Dong等[4]發(fā)現(xiàn)齒輪的安全系數(shù)對噪聲因素比較敏感，采用插值分析方法對風電齒輪箱齒輪傳動系統(tǒng)的強度進行穩(wěn)健優(yōu)化設計，并通過隨機抽樣對比了常規(guī)優(yōu)化設計和穩(wěn)健優(yōu)化設計的結果，證明穩(wěn)健優(yōu)化設計的結果能夠滿足設計要求；Shaul Salomon等[5]采用主動穩(wěn)健優(yōu)化設計方法，考慮載荷等工況參數(shù)的變化，以減速器的能源效率最高和產品花費最低為目標，對減速器的級數(shù)和各級傳動比進行優(yōu)化；董恩國等[6]應用雙響應面方法，建立了行星齒輪機構體積均值和方差的雙響應面模型，對其進行穩(wěn)健設計研究；周娜[7]將可靠性敏感性理論與穩(wěn)健設計方法相結合，基于可靠性優(yōu)化模型研究了齒輪傳動的可靠性穩(wěn)健設計問題，并提出了可靠性穩(wěn)健設計的數(shù)值方法[7]。綜上所述，齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設計的研究大多只考慮優(yōu)化目標的穩(wěn)健性，而忽略約束條件的穩(wěn)健性，并且多為單目標優(yōu)化。

針對航空齒輪減速器優(yōu)化設計中出現(xiàn)的諸多問題，本文以航空齒輪減速器中常用的斜齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，綜合考慮噪聲因素的波動性，基于6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計理論，以重量、效率、可靠度為優(yōu)化目標，建立齒輪傳動系統(tǒng)的多目標穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型，并采用NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化算法進行優(yōu)化求解，得到Pareto前沿解集。

1 6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計基本理論

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計是從統(tǒng)計學的角度出發(fā)，用概率模型分析不確定因素對產品性能產生的影響，再依據(jù)概率分析的方法來控制隨機變量對產品性能的影響，獲得滿足產品性能、可靠性和成本等各方面要求的最優(yōu)解集。它是將6σ質量管理理念、可靠性設計、優(yōu)化設計以及穩(wěn)健設計相結合的一種現(xiàn)代設計方法，其中，對不確定性因素的處理全面綜合了蒙特卡洛分析法、可靠性分析和基于可靠性的優(yōu)化設計以及田口法等方法的優(yōu)勢，是一套完整的評估、改進可靠性和穩(wěn)健性的優(yōu)化設計方法[8]。在6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計過程中，通過改進設計變量的均值和方差，有效地降低產品違反性能約束的概率，提高產品的可靠度。

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計的通用數(shù)學模型為

minμf(x)+mσf(x)

s.t.μgj(x,p)+mσgj(x,p)≤0 (j=1,2,…,n)

xL+mσx≤x≤xU-mσx

(1)

式中：μf(x)和σf(x)分別為優(yōu)化目標的均值和方差；μgj和σgj分別為第j個約束條件的均值和方差；m為σ水平，本文m取值為6；x為設計變量；xL和xU分別為設計變量x的上限值和下限值；σx為設計變量的方差。

從式(1)可以看出：6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計的目標函數(shù)中包含了設計目標的方差，從而使優(yōu)化目標在接近最優(yōu)解的同時，其波動量也達到了最小化，即保證了設計目標的穩(wěn)健性；在約束中考慮了約束函數(shù)可能存在的容差，采用使約束函數(shù)偏離約束邊界的方法，以此提高設計的可靠性，可靠性的度量是6σ水平。

2 航空齒輪減速器6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計

以單級斜齒圓柱齒輪減速器為研究對象，通過分析并考慮可控因素和不可控因素，建立6σ穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學模型，并求取穩(wěn)健解的。

2.1 可控因素和不可控因素

參考ISO 6336齒輪標準[9-11]，總結出影響齒輪強度、重量、效率等性能的相關參數(shù)，如圖1所示，結合可控因素和噪聲因素的概念，可以看出：可控因素包括結構參數(shù)和加工參數(shù)，其中，結構參數(shù)包含齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、螺旋角、變位系數(shù)和齒寬系數(shù)，加工參數(shù)包含刀具齒頂圓角半徑和精度等級；不可控因素包括工況參數(shù)和材料參數(shù)，其中，工況參數(shù)包含功率和轉速，材料參數(shù)包含接觸疲勞極限應力和彎曲疲勞極限應力。

圖1 齒輪性能相關參數(shù)

可控因素和不可控因素中各隨機變量的均值主要通過實驗或者參數(shù)手冊計算獲得，而其標準差通過變異系數(shù)C獲得[12]。

2.2 確定性優(yōu)化設計模型

按照航空齒輪傳動系統(tǒng)輕量化、高效率和高安全性的要求，在滿足承載能力的條件下，把傳動系統(tǒng)的重量和效率作為優(yōu)化目標。由于齒輪彎曲疲勞失效和齒面接觸疲勞破壞是航空齒輪最普遍的失效形式，而在航空發(fā)動機的維修中，失效的齒輪中有85%是由于齒面的接觸疲勞破壞而失效的[13]。因此，將齒面接觸強度也作為優(yōu)化目標之一。

(1) 目標函數(shù)

設計目標有三個，分別為傳動系統(tǒng)的重量最小、齒面接觸強度最高、傳遞效率最高。

①傳動系統(tǒng)的重量最小表示為

(2)

式中：ρ為齒輪的材料密度；V為傳動系統(tǒng)的體積；b為齒寬；d1為主動輪的分度圓直徑；i為傳動比。

②齒面接觸強度最高表示為

Y2=-lnSH

(3)

③傳遞效率最高表示為

Y3=1-η

(4)

式中：η為傳遞效率。

(2) 設計變量

設計變量有六個，分別為主動輪齒數(shù)z1、法面模數(shù)mn、壓力角α、螺旋角β、齒寬系數(shù)Фd以及精度等級Ag。

(3) 約束條件

約束條件有6個，分別為齒輪不發(fā)生根切，保證必要的重合度，不發(fā)生過渡曲線干涉，保證必要的齒頂厚度，強度約束以及設計變量的邊界條件。

①齒輪不發(fā)生根切

加工變位齒輪時，主、從動齒輪不產生根切的最小變位系數(shù)分別為

(5)

(6)

②保證必要的重合度

重合度與齒輪傳動的平穩(wěn)性直接相關，一般對重合度的要求為

(7)

③不發(fā)生過渡曲線干涉

主動輪齒根與從動輪齒頂不發(fā)生干涉的條件為

(8)

從動輪齒根與主動輪齒頂不發(fā)生干涉的條件為

(9)

④保證必要的齒頂厚度

正變位系數(shù)增大會導致齒輪齒頂厚度減小，因此，變位齒輪的齒頂厚度應滿足一定的約束條件。

主動輪齒頂厚度的約束為

(10)

從動輪齒頂厚度的約束為

(11)

式中：da1和da2分別為主動輪和從動輪的齒頂圓直徑；αn為分度圓的法向壓力角；mt為端面模數(shù)。

⑤強度約束

SF≥SFmin

(12)

SH≥SHmin

(13)

式中：SF和SH分別為齒輪的彎曲疲勞強度安全系數(shù)和接觸疲勞強度安全系數(shù)；SFmin和SHmin分別為齒輪的最小彎曲疲勞強度安全系數(shù)和最小接觸疲勞強度安全系數(shù)。

⑥設計變量的邊界條件

(14)

2.3 6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型

在上述齒輪傳動系統(tǒng)確定性優(yōu)化設計模型的基礎上，基于6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計理論，齒輪傳動系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化設計模型可表示為

minfk=μYk(x)+6σYk(x)(k=1,2,3)

s.t.μgj(x)+6σgj(x)≤0 (j=1,2,…,10)

xL+6σx≤xμ≤xU-6σx

(15)

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計方法必須計算輸出的均值和方差，常用方法有蒙特卡洛模擬法和一次二階矩法[14]，且二者實現(xiàn)起來并不十分復雜，但蒙特卡洛方法為隨機抽樣，其所需采樣次數(shù)巨大，因此計算效率較低。本文采用一次二階矩方法實現(xiàn)對期望和方差的求解。將函數(shù)g(x1,x2,…,xn)在其均值點處進行泰勒展開：

(16)

式中：gμ為函數(shù)g(x)在xi=μi的值。

設各xi相互獨立，對式(16)取一次近似，可得：

=gμ=g(μi,μ2,…,μn)

(17)

(18)

或者寫為

μg=gμ

(19)

(20)

把上述常規(guī)優(yōu)化設計數(shù)學模型中的約束條件轉化為以下形式：

g≤0

(21)

通過一次二階矩法可以求得相應約束變量的標準差。

對于約束條件中σSF和σSH的求解，由于

(22)

(23)

式中：σHG和σFG分別為齒輪的許用接觸應力和許用彎曲應力；σH和σF分別為齒輪的接觸應力和彎曲應力。

對式(22)～式(23)等式兩邊取對數(shù)，可得：

lnSH=lnσHG-lnσH

(24)

lnSF=lnσFG-lnσF

(25)

由于σHG、σFG、σH和σF分別服從對數(shù)正態(tài)分布，結合一次二階矩法，得：

(26)

(27)

結合σF、σFG、σH和σHG的變異系數(shù)公式：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：C為變異系數(shù)，下標代表齒輪許用應力和應力計算過程的中間變量，其中，KA為使用系數(shù)；KV為動載系數(shù)；KHβ和KFβ分別為計算接觸應力和彎曲應力的齒向載荷分布系數(shù)；KHα和KFα分別為計算接觸應力和彎曲應力的齒間載荷分配系數(shù)；YF為齒形系數(shù)；YS為應力修正系數(shù)；KC為計算系數(shù)；ZE為彈性系數(shù)；YST為試驗齒輪的應力修正系數(shù)；YNT為計算彎曲應力的壽命系數(shù)；YδrelT為相對齒根圓角敏感系數(shù)；YRrelT為相對齒根表面狀況系數(shù)；YX和ZX為尺寸系數(shù)；ZN為計算接觸應力的壽命系數(shù)；ZL為潤滑系數(shù)；ZV為速度系數(shù)；ZR為粗糙度系數(shù)；ZW為齒面工作硬化系數(shù)。

計算許用應力和應力所需要的中間變量的變異系數(shù)選取參見文獻[15]。

由于服從對數(shù)正態(tài)分布的變量x的變異系數(shù)Cx和lnx的標準差之間存在如下關系：

(32)

根據(jù)Zhang Y M等[12]給出的中間變量的變異系數(shù)，可求得相應的σF、σFG、σH和σHG的變異系數(shù)，然后根據(jù)式(32)求出相應的對數(shù)標準差。

齒輪優(yōu)化數(shù)學模型中的優(yōu)化目標為重量、接觸強度和效率。重量的標準差可由一次二階矩方法求得；接觸強度安全系數(shù)和效率的標準差則可以采用上述計算方法。

2.4 穩(wěn)健優(yōu)化設計模型的求解

齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設計模型為多目標優(yōu)化問題。處理多目標優(yōu)化問題的傳統(tǒng)方法為將各目標函數(shù)乘以權重系數(shù)并進行線性相加，從而將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題。顯然，在不同的權重系數(shù)下，模型求解所得到的結果也有所不同。隨著優(yōu)化理論的發(fā)展，基于Pareto最優(yōu)解機制的多目標優(yōu)化算法被提出，其基本思想為獲取在無法改進任何目標函數(shù)的同時又不削弱至少一個其他目標函數(shù)的一組解集。本文采用K.Deb[16]于2002年提出的NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化算法進行求解，該方法是目前非常優(yōu)秀的進化多目標算法，已在工程優(yōu)化中得到了廣泛應用。

NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法的基本流程為：首先隨機生成包含一定數(shù)量個體的初始種群，然后對初始種群進行非支配排序，再依次對種群進行選擇、交叉和變異三種遺傳算法的基本操作，從而得到下一代種群；其次，將上述操作得到的子代種群和父代種群合并再進行快速非支配排序，并計算各非支配層中個體的擁擠度；最后根據(jù)個體的擁擠度和非支配關系選擇同等規(guī)模的個體生成父代種群并繼續(xù)采用選擇、交叉和變異三種遺傳算法的基本操作產生子代種群。依此類推，直到達到所要計算的遺傳代數(shù)為止。

3 算例分析

渦輪軸航空發(fā)動機某減速器由單級斜齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)組成，減速比為3.54。輸入功率為113.4 kW，輸入轉速為20 900 r/min，輸出轉速為5 915 r/min。

要建立齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型，必須首先建立各個變量的方差或變異系數(shù)。根據(jù)隨機變量的均值和方差的選取原則[12]，各變量的變異系數(shù)如表1所示。

表1 各變量的變異系數(shù)

結合齒輪傳動系統(tǒng)的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型，運用NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化算法對穩(wěn)健優(yōu)化設計數(shù)學模型進行求解。采用NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化算法求解齒輪傳動系統(tǒng)的多目標穩(wěn)健優(yōu)化模型得到的Pareto最優(yōu)解集如圖2所示。

圖2 NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解

從優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集中找出一組和原始方案進行對比。齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設計前后設計參數(shù)的對比如表2所示。

表2 齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化前后設計參數(shù)對比

齒輪傳動系統(tǒng)的穩(wěn)健設計結果和初始設計結果的對比如表3所示，包含齒輪的設計變量、重量、接觸疲勞強度安全系數(shù)、效率和彎曲疲勞強度安全系數(shù)。

表3 齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化前后性能參數(shù)對比

從表3可以看出：傳動系統(tǒng)的整體重量與優(yōu)化之前相比減少了47.4%；在工況波動和齒輪參數(shù)誤差的影響下，效率相對提高了0.08%，效率的波動降低了44.4%；在保證彎曲疲勞強度安全系數(shù)和各個約束條件可靠性的前提下，接觸疲勞強度安全系數(shù)降低了5.6%，波動量降低了20%?？傮w來說，穩(wěn)健優(yōu)化設計得到的設計結果，在稍微降低接觸疲勞強度安全系數(shù)的情況下，極大地減少了重量并提高了效率，降低了在可控因素和不可控因素作用下的系統(tǒng)性能的波動，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)健性。

4 結 論

(1) 通過將6σ穩(wěn)健設計基本理論和NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化算法相結合，本文建立的齒輪傳動系統(tǒng)多目標穩(wěn)健設計優(yōu)化模型，可以充分考慮航空齒輪減速器所特有的多種不確定性因素，滿足了工程實際的需求。

(2) 以某直升機的渦輪軸發(fā)動機內部的單級斜齒圓柱齒輪傳動減速器為例，發(fā)現(xiàn)基于6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計方法在保證不違背約束條件的前提下，不僅優(yōu)化了齒輪傳動系統(tǒng)的性能，而且降低了在可控因素和不可控因素作用下傳動系統(tǒng)性能的波動量。

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