常數(shù)列不平常

黃書虹

非零常數(shù)列即是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，簡單明了，但是常常被忽視。在一些數(shù)列的題目中，如果適當(dāng)?shù)乩脴?gòu)造常數(shù)列，可避免復(fù)雜的累加、累乘或迭代，使數(shù)列問題簡單化。

利用常數(shù)列求通項公式

例1：已知數(shù)列滿足，

， 求通項公式

解析：因式分解得：

方法一：（累乘法）

方法二：（構(gòu)造常數(shù)列）

是常數(shù)列

本題中，兩種方法難度差不多，計算量也差不多。

變式：已知數(shù)列滿足， 求通項公式。

解析：

方法一：（累乘法）

方法二：（構(gòu)造常數(shù)列）

兩邊都乘以n，得：

， 是常數(shù)列

本題中，累乘法在消項過程中，很容易出錯；而利用構(gòu)造常數(shù)列就顯得比較容易，也有利于學(xué)生理解數(shù)列的前后項的關(guān)系。

例2：已知數(shù)列滿足， 求通項公式。

解析：方法一：（累加法）

方法二：（構(gòu)造常數(shù)列）

是常數(shù)列

例3：已知數(shù)列的前n項和滿足， ，求通項公式。

方法一：當(dāng) 時 ， ，

即

整理得： ，這里可以用累乘法來求通項公式。

方法二：當(dāng) 時 ，

是常數(shù)列

得：

這題選擇構(gòu)造常數(shù)列，會顯得比較容易，先求，再求。

利用常數(shù)列來求和（錯位相減法的另一種處理方法）

例5：，求前n項和。

解析：本題的通項形式，是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積形式，顯然考慮用錯位相減法求和。

方法一：（錯位相減法求和）

可得

但是，在上述解題過程中，等比數(shù)列求和部分，項數(shù)很容易出錯，而且后面的化簡也相對困難，學(xué)生很容易出錯，花的時間多，準(zhǔn)確率不高。因此，下面介紹另一種解法。

方法二：（構(gòu)造常數(shù)列）

整理得： 解得：

是常數(shù)列

本題利用構(gòu)造常數(shù)列，對學(xué)生指數(shù)運算的要求較高，但是相對于錯位相減法計算明顯簡單不繁瑣。

在實際的解題中，要根據(jù)實際情況來選擇最佳方法（累加法、累乘法或構(gòu)造常數(shù)列法），不能一味追求常數(shù)列來解題，有些題目運用累加法，累乘法會更簡單，視情況進(jìn)行甄別。其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法有，轉(zhuǎn)化與化歸的思想、方程的思想、待定系數(shù)法等，對數(shù)列的理解和解題有很大的幫助。