速率理論在核燃料模擬計算中的應用現(xiàn)狀與展望

劉 晶， 謝 鑫， 張文華， 張 博， 惲 迪

(西安交通大學 核安全與運行研究室， 西安 710049)

在早期的核燃料性能分析計算中，對復雜機理過程的建模通常采用經(jīng)驗關(guān)系式或半經(jīng)驗的方法，但是該方法只能適用于有實驗數(shù)據(jù)的工況，對于沒有實驗數(shù)據(jù)的工況則無法適用。為了提高燃料性能分析的適用范圍，尤其是事故工況下的分析，在分析物理機理的基礎上，建立機理性模型是燃料性能分析計算的重要方式。速率理論源于化學反應速率理論，其核心是速率常數(shù)的確定。而速率常數(shù)與反應物質(zhì)的濃度無關(guān)，可由實驗直接測得。速率理論源于實驗，貼近實驗本征特性，與經(jīng)驗模型相比具有更廣泛的適用范圍。在微觀機制尚不明確的情況下，可基于實驗結(jié)果對物理現(xiàn)象進行描述、預測和分析，因此速率理論在核燃料的性能分析領域得到了迅速發(fā)展。

為了促進速率理論在核燃料性能分析計算中的應用，對國內(nèi)外速率理論在核燃料模擬計算中的相關(guān)研究進行了調(diào)研，總結(jié)了速率理論在模擬計算裂變氣體釋放率、包殼空洞腫脹速率和輻照生長應變率時的應用方法，同時分析了目前存在的問題以及未來改進和研究的方向，為核燃料性能分析和機理性模型的建立和模擬計算提出了新思路。

1 速率理論簡介

速率理論最初源于化學反應速率理論，化學反應速率是指在一定條件下單位時間內(nèi)某化學反應的反應物或生成物的濃度變化值。在一定溫度下，對于基元反應aA+bB=gG+hH，反應速率正比于反應物濃度的乘積[1]，可表示為

(1)

式中，R為反應速率；CA和CB表示兩種反應物質(zhì)A和B的分子濃度，a和b表示反應物的化學計量系數(shù)；k為比例常數(shù)，稱為反應速率常數(shù)，其單位與反應化學計量系數(shù)相關(guān)。反應速率常數(shù)與反應物濃度無關(guān)?；瘜W反應速率理論的核心在于速率常數(shù)的確定，一般用氣體分子運動論(碰撞理論)或量子力學(過渡態(tài)理論)的方法，并經(jīng)過統(tǒng)計平均，導出宏觀動力學中速率常數(shù)的計算公式。

將化學速率理論推廣至對物理過程的模擬，其核心也是對速率常數(shù)的確定。早期，速率常數(shù)的確定是根據(jù)實驗反推得到數(shù)據(jù)，后來隨著速率理論的發(fā)展，經(jīng)過不斷引入其他的理論機制，如分子動力學、第一性原理等，速率常數(shù)才逐步由實驗反推過渡到利用理論推導得到。

2 燃料性能分析應用研究現(xiàn)狀

燃料的性能分析對燃料的設計運行、安全分析以及堆外實驗研究都起著重要作用。性能分析涉及的模擬計算包括溫度分布、裂變氣體相關(guān)計算、棒內(nèi)壓力計算、化學元素(U、Pu等)重分布計算、包殼力學計算和包殼腐蝕計算等。速率理論應用在模擬計算中的一般過程是，首先從機理出發(fā)，利用速率理論表達出原子、間隙和空位或其他物質(zhì)相互之間的反應速率，求解出該物質(zhì)的濃度，進而再利用數(shù)學模型計算出所需的物理量。通過對國內(nèi)外燃料性能分析相關(guān)程序和模型的調(diào)研發(fā)現(xiàn)[2-12]，速率理論在計算裂變氣體釋放率、包殼空洞腫脹速率和輻照生長應變率上的應用相對成熟，下面依次介紹速率理論在這幾方面的應用方法。

2.1 在裂變氣體行為研究中的應用

裂變氣體行為研究是核燃料性能分析的重要組成部分。裂變氣體釋放會導致燃料棒內(nèi)壓升高，對于充He的燃料棒，裂變氣體釋放還會降低間隙熱導率。此外，裂變氣體Xe和Kr是穩(wěn)定的同位素，在燃料中幾乎不溶解，并在燃料基體內(nèi)形成氣泡，會伴隨顯著的腫脹。燃料腫脹會加速燃料棒和包殼的接觸，繼而加劇燃料與包殼的相互作用，影響燃料壽命。

燃料中裂變氣體行為是一個較為復雜的物理過程。燃料晶粒內(nèi)產(chǎn)生裂變氣體原子，一部分氣體原子在晶內(nèi)聚成氣泡，另一部分擴散至晶界，在晶界擴散并形成晶界氣泡。隨著燃耗的增加，晶界氣泡互相連通并形成釋放通道，裂變氣體向自由空間釋放。同時，燃料中發(fā)生的氣泡重溶使氣泡中的氣體原子全部或部分再次溶解到燃料基體中。本文忽略點缺陷對氣體的影響，只討論氣體原子和氣泡的行為。裂變氣體在晶粒不同位置的行為如表1所列。

在上述裂變氣體行為中，氣泡形核、氣泡吸收氣體原子、氣泡聚合可以認為是原子與原子、氣泡與原子、氣泡與氣泡之間相互作用的結(jié)果。下面針對這3種行為具體介紹如何利用擴散控制的速率理論方法推導出速率常數(shù)。

設包含n個氣體原子的氣泡半徑為Rn，該氣泡吸收氣體原子的俘獲半徑為Rc，模型如圖1所示。

表1 裂變氣體在晶粒不同位置的行為Tab.1 Fission gas behavior at different positions

(a) The unit cell for computing the diffusion-controlled rate of point-defect absorption by spherical sinks

(b) Solution of the diffusion in a spherical shell with a uniform volumetric source

假設氣泡靜止，且氣體原子擴散到達氣泡表面就被吸收，那么氣泡吸收氣體原子的反應速率可表示為氣泡表面積和氣體原子通量的乘積[2]。

圖1(b)中r表示距氣泡中心的位置，求解氣泡表面至俘獲半徑處的氣體濃度分布，即求解在Rn≤r≤Rc的球殼內(nèi)的氣體原子的擴散方程。構(gòu)建方程采用了以下幾點假設：1)假設氣體原子在俘獲體積內(nèi)均勻產(chǎn)生，且除了該氣泡中心俘獲外，沒有其他氣泡吸收。在俘獲體積內(nèi)任一點處的氣體原子濃度隨時間的變化是較為緩慢的，假設俘獲體積內(nèi)產(chǎn)生氣體的相對原子質(zhì)量與被中心氣泡吸收的氣體相對原子質(zhì)量相當，即“準穩(wěn)態(tài)近似”；2)氣泡表面的氣體原子濃度為零且氣體原子濃度在氣泡表面存在著一個變化的濃度梯度。由于俘獲體積半徑Rc比氣泡半徑Rn大得多，在達到俘獲半徑之前，氣體原子濃度就達到了一定值，即氣體原子的濃度C1；3)理論上，在區(qū)域1內(nèi)，由于濃度梯度較大，氣體原子濃度主要受擴散的限制，區(qū)域2受反應速率控制，在建模過程中，假設氣泡外均受氣體擴散控制，因此忽略源項；4)假設俘獲體積是一無限介質(zhì)。通過以上假設，擴散方程可寫為

(2)

式中，D表示氣體原子在燃料基體中的擴散系數(shù)， cm2·s-1。擴散方程的邊界條件為

C(∞)=C1

(3)

C(Rc,t)=0

(4)

最終求解得到被一個氣泡吸收氣體原子的速率vs,b為

(5)

再乘以氣泡濃度Cn，得出所有氣泡吸收氣體原子的速率vall,b：

vall,b=4πRnD1C1Cn

(6)

對照速率理論式(1)，可得到氣泡吸收氣體原子的速率常數(shù)為

k1,n=4πRnD1

(7)

用類似的方法，可以得出形核的速率常數(shù)k1,1及氣泡聚合的速率常數(shù)ki,j分別為

k1,1=16πR1D1

(8)

kij=4π(Ri+Rj)(Di+Dj)

(9)

目前國際上已研發(fā)出多個基于速率理論的裂變氣體行為模型。具有代表性的是美國阿貢國家實驗室的GRASS-SST[3]、FAST-GRASS[4]，韓國的快堆金屬燃料的GRSIS模型[5]和二氧化鈾燃料的MEGA模型[6]，俄羅斯核安全研究所(IBRAE)和法國核輻射防護與核安全研究院(IRSN)合作研究的MFPR模型[7]和后續(xù)改進的MFPR瞬態(tài)模型[8]，Wood和Matthews研究的OGRES模型[9-10]，法國的MARGARET機理模型[11]，瑞士開發(fā)的二氧化鈾燃料GRSW-A[12]模型，美國開發(fā)的氮化鈾燃料REDSTONE[13]程序以及米蘭理工大學和伊斯坦布爾科技大學合作的沒有模擬任何參數(shù)的TRANSURANUS模型[14]等。

上述模型都是以速率理論為基礎，考慮不同的燃料和工況下裂變氣體的行為差異，計算在相應的條件下，不同物質(zhì)如原子、氣泡、點缺陷之間的相互反應，構(gòu)建裂變氣體原子和氣泡在晶內(nèi)和晶界的裂變氣體行為方程，最終計算出裂變氣體釋放率和由裂變氣體導致的燃料腫脹。

2.2 包殼的空洞腫脹和輻照生長

速率理論除了可以計算微觀尺度下的原子和氣泡濃度變化外，還可以計算空位和間隙的濃度變化，模擬出與空位和間隙相關(guān)的物理過程。包殼的空洞腫脹和輻照生長與包殼材料的空位和間隙濃度密切相關(guān)，因此，速率理論也可以用來模擬包殼的空洞腫脹和輻照生長行為。計算空洞腫脹速率，首先計算空位和間隙的平均濃度。假設只有單空位和自間隙原子是可動的缺陷，小的缺陷團簇是空洞或者環(huán)的形核點且這些形核點是固定的陷阱[15]?？瘴缓烷g隙的濃度變化微分方程分別如式(10)和式(11)所示。

(10)

(11)

式(10)和式(11)中，K0表示產(chǎn)生率，即源項；Ki,vCvCi表示空位和間隙的湮滅速率；求和項分別表示空位和間隙被陷阱吸收的速率。

根據(jù)上述與裂變氣體行為相似的方法確定速率常數(shù)，得到了空位和間隙的濃度?？斩茨[脹的速率即空洞體積的增長速率，等于凈空位流向空洞的通量，可根據(jù)式(12)求得。

(12)

計算輻照生長應變率的方法與計算空洞腫脹速率的方法類似，先用擴散控制的速率理論計算缺陷的濃度，然后通過位錯攀移機制計算鋯包殼的輻照生長應變率[14]，這里只給出單晶鋯包殼輻照生長應變的計算過程，具體步驟如下：

首先計算單晶的空位和間隙的濃度，除了考慮源項、湮滅項外，還要考慮被間隙環(huán)、空位環(huán)、位錯環(huán)、位錯線吸收的速率。然后再根據(jù)得到的缺陷的濃度，計算單晶的輻照生長的應變，a方向和c方向輻照生長的應變率分別為

(13)

(14)

式中，Ailp，Adp，Avlb，Adb分別表示a方向間隙位錯環(huán)、a方向位錯線、c方向空位位錯環(huán)和c方向位錯線的平均應變系數(shù)；ρilp，ρdp，ρvlb，ρdb分別是上述4個陷阱的強度。

式(13)表示a方向的應變率，由兩部分相加得到，從左到右依次是a方向由間隙位錯環(huán)產(chǎn)生的應變率和位錯線產(chǎn)生的應變率；式(14) 表示c方向的應變率，也是由兩部分相加得到，依次是由空位位錯環(huán)產(chǎn)生的應變率和位錯線產(chǎn)生的應變率。

3 速率理論在核燃料模擬計算中的局限性 及研究方向展望

3.1 速率理論在核燃料模擬計算中的局限性

速率理論方法是研究核燃料性能分析的有效工具，但在建模過程中它還存在一些關(guān)鍵和難點問題，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

1) 速率常數(shù)的確定。 速率常數(shù)的確定是速率理論中最核心的問題。在確定速率常數(shù)的過程中，為了簡化計算，往往采用了一系列的假設。有的假設并不符合實際物理過程，影響了模型的準確性。首先，化學反應速率理論是基于均勻場，而核燃料中發(fā)生的反應可能存在于非均勻場。另外，模擬裂變氣體的形核過程往往采用擴散控制的速率理論，假設把其中一個氣體原子看成是氣泡，吸收周圍的氣體原子，然而在實際物理過程中，氣體原子并不是類似氣泡和空位的強吸收尾閭，因此用擴散控制的速率理論來模擬形核過程本身就存在一定的問題。此外，有的物質(zhì)的物理反應機理過程尚不明確，此時往往忽略微觀物理作用，采用實驗結(jié)果倒推等方法來確定速率常數(shù)，利用該方法會影響模型的應用范圍，因為模型本身帶有經(jīng)驗的成分，對數(shù)據(jù)的驗證帶來一定的難度。

2) 與速率常數(shù)相關(guān)參數(shù)的確定。速率常數(shù)的準確度除了與速率常數(shù)的確定方法相關(guān)以外，與模擬過程中的其他參數(shù)的準確度也有著緊密的聯(lián)系。如擴散控制的速率理論與擴散系數(shù)相關(guān)，反應速率控制的速率理論與原子的結(jié)合數(shù)相關(guān)，這些參數(shù)本身就是不確定的，不同實驗或者不同模型，得出的數(shù)值也有所不同。如，氮化鈾的擴散系數(shù)，采用不同的模型在同一溫度下計算得到的擴散系數(shù)相差2個量級。因此，與速率理論有關(guān)的參數(shù)的準確性也會影響著模擬計算的精確度。

3) 缺乏核燃料輻照實驗數(shù)據(jù)。實驗數(shù)據(jù)對模擬計算具有重要的意義，然而在核燃料領域，由于各種原因，大多數(shù)實驗數(shù)據(jù)并不公開，這給模擬計算中相關(guān)參數(shù)的確定和模型的驗證帶來一定的困難。此外，部分研究的實驗本身就是空白，尤其是先進核燃料的輻照實驗。因此，在先進核燃料的模擬計算過程中，只能用傳統(tǒng)核燃料的輻照實驗數(shù)據(jù)來代替。

3.2 研究方向展望

1) 深入研究物理機理。核燃料所涉及的物理機理十分復雜，仍存在尚不明確原因的一些實驗現(xiàn)象。在后續(xù)的研究中，對物理機理深入的研究是十分必要的，包括所要計算的物理量與哪些物質(zhì)有關(guān)、這些物質(zhì)產(chǎn)生哪些反應等。在裂變氣體行為機理方面，繼續(xù)深入研究氣體原子和氣泡行為，如對氣泡形核行為的研究，一方面可以繼續(xù)研究不同燃料在不同溫度、不同燃耗下的雙原子形核；另一方面，多原子形核相關(guān)的研究目前尚屬空白，對多原子形核的研究會對氣泡形核過程和裂變氣體行為的認識具有重要的意義。此外，還可以深入研究燃料的晶體結(jié)構(gòu)和孔隙對裂變氣體釋放的影響，燃料的晶體尺寸、孔隙率和材料特性等因素影響著裂變氣體擴散至晶面，晶面氣泡達到晶棱以及晶棱氣泡最終釋放至自由空間的快慢，對燃料結(jié)構(gòu)的研究有助于深入了解裂變氣體釋放的動態(tài)過程。

2) 準確模擬反應過程。反應過程模擬的準確與否體現(xiàn)在速率常數(shù)的準確性上，提高速率常數(shù)的準確度十分必要，主要通過3方面來改進：一是恰當?shù)啬M，在眾多物理過程中，根據(jù)研究確定哪些過程可以忽略，是否需要引入彈性能、焓值等微觀機理；二是改進速率常數(shù)的表達形式，在確定需要考慮的物理過程和物理量以后，用更貼近實際機理的形式來表達。例如在模擬形核的過程中，可采用反應速率控制的速率理論，而不是基于濃度梯度推導出來的擴散控制速率理論，反應速率控制的速率理論適用于反應物兩者尺寸相當、擴散系數(shù)相當?shù)奈镔|(zhì)，更符合氣泡形核的反應過程；三是提高與速率常數(shù)相關(guān)參數(shù)的準確性，通過更深入地研究或者實驗來獲取更精準的參數(shù)來提高速率常數(shù)的準確性。如速率常數(shù)與擴散系數(shù)密切相關(guān)，通過提高擴散系數(shù)的準確度來提高模型的準確性。

3) 豐富實驗數(shù)據(jù)。實驗數(shù)據(jù)對模型的構(gòu)建和驗證都至關(guān)重要。模擬計算的物理量相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)是驗證模型最重要的工具，豐富的實驗數(shù)據(jù)不僅可以幫助對模型的理解，還可以輔助判斷模型目前存在的問題和不足，而模型相關(guān)參數(shù)的實驗數(shù)據(jù)可以幫助提高參數(shù)的準確度，進而提高模型的準確度。在接下來的研究中，一方面，要完善和豐富輻照數(shù)據(jù)庫，特別是快堆燃料的輻照數(shù)據(jù)；另一方面，要增加基礎理論的實驗數(shù)據(jù)，如支撐研究形核過程的裂變氣體原子和氣泡的密度分布，再如通過實驗來測得核燃料在不同工況下的空隙變化、缺陷變化等，以此來完善裂變氣體模型在不同工況下的適用性。通過上述方式，獲取更為豐富的實驗數(shù)據(jù)對促進速率理論發(fā)展具有重要的意義。

4 結(jié)語

綜述了速率理論在核燃料模擬計算研究領域中的應用現(xiàn)狀，詳細介紹了基于速率理論，模擬計算裂變氣體釋放率、包殼空洞腫脹速率和輻照生長應變率的方法，在此基礎上提出了今后模擬計算機理研究和改進速率常數(shù)等方面研究的若干建議。進一步的研究，一方面可以深化速率理論在核燃料性能分析模擬計算中的應用，另一方面也可以促進速率理論和方法體系的不斷完善。

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