氣體實(shí)驗(yàn)定律的兩類模型問題剖析

■湖南省汨羅市一中 蔣 緯

氣體實(shí)驗(yàn)定律的兩類模型：(1)玻璃管液封模型;(2)汽缸活塞模型。這部分知識(shí)屬于物理選修3—3模塊，在高考中出題的概率為100%，且通常以計(jì)算題的形式出現(xiàn)。

一、玻璃管液封模型

例1如圖1所示，一細(xì)U型管兩端開口，用兩段水銀柱封閉了一段空氣柱在管的底部，初始狀態(tài)時(shí)氣體溫度為280K，圖中封閉空氣柱的長(zhǎng)度L1=20cm，其余部分的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)2=15cm，L3=10cm，h1=4cm，h2=20cm?，F(xiàn)使氣體溫度緩慢升高，取大氣壓強(qiáng)p0=76cmHg，求：

(1)氣體溫度升高到多少時(shí)右側(cè)水銀柱剛好全部進(jìn)入豎直管?

(2)氣體溫度升高到多少時(shí)右側(cè)水銀柱與管口相平?

圖1

解析：(1)設(shè)U型管的橫截面積是S，以封閉氣體為研究對(duì)象，初狀態(tài)時(shí)的狀態(tài)參量分別是p1=(76+4)cmHg=80cmHg，V1=L1S=20S。當(dāng)右側(cè)的水銀柱全部進(jìn)入豎直管時(shí)，水銀柱的高度h=h1+L3=(4+10)cm=14cm，此時(shí)左側(cè)豎直管中的水銀柱也是14cm。氣體的狀態(tài)參量p2=(76+14)cmHg=90cmHg，V2=L1S+2L3S=40S。由理想氣體的狀態(tài)方程得，解得T2=630K。

(2)右側(cè)水銀柱全部進(jìn)入右管后，產(chǎn)生的壓強(qiáng)不再增大，所以左側(cè)的水銀柱保持不動(dòng)，當(dāng)右側(cè)水銀柱與管口相平時(shí)，氣體的體積V3=L1S+L3S+h2S=50S，由蓋-呂薩克定律得，解得T=787.5K。3

模型解讀：求液柱封閉的氣體壓強(qiáng)時(shí)，一般以液柱為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析、列平衡方程。另外，需要注意以下四個(gè)問題。(1)液體因重力產(chǎn)生的壓強(qiáng)大小p=ρgh(其中h為液柱的豎直高度);(2)不要漏掉大氣壓強(qiáng)，同時(shí)又要盡可能平衡掉某些大氣的壓力;(3)有時(shí)可直接應(yīng)用連通器原理——連通器內(nèi)靜止的同種液體在同一水平面上各處的壓強(qiáng)相等;(4)當(dāng)液體為水銀時(shí)，可靈活應(yīng)用壓強(qiáng)單位“cmHg”等，使計(jì)算簡(jiǎn)捷。

二、汽缸活塞模型

1.單一汽缸活塞模型的求解。

例2如圖2所示，兩端開口的汽缸水平固定，A、B是兩個(gè)厚度不計(jì)的活塞，可在汽缸內(nèi)無(wú)摩擦滑動(dòng)，其橫截面積分別為S1=20cm2，S2=10cm2，它們之間用一根細(xì)桿連接，活塞B通過(guò)水平細(xì)繩繞過(guò)光滑的定滑輪與質(zhì)量M=2kg的重物C相連?；钊o止時(shí)汽缸中的氣體溫度T1=600K，汽缸兩部分的氣柱長(zhǎng)度均為L(zhǎng)。已知大氣壓強(qiáng)p0=1×105Pa，取g=10m/s2，缸內(nèi)氣體可視為理想氣體。

圖2

(1)活塞靜止時(shí)，求汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。

(2)若降低汽缸內(nèi)氣體的溫度，當(dāng)活塞A緩慢向右移動(dòng)時(shí)，求汽缸內(nèi)氣體的溫度。

解析：(1)設(shè)活塞靜止時(shí)汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為p1，依活塞受力平衡得p1S1+p0S2=p0S1+p1S2+Mg，解得p1=1.2×105Pa。

(2)活塞A緩慢移動(dòng)表明活塞受力平衡，因此汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)保持不變。設(shè)初狀態(tài)氣體的溫度為T1，末狀態(tài)氣體的溫度為T2，由蓋-呂薩克定律得解得T2=500K。

模型解讀：求解汽缸活塞類問題往往需要綜合考慮氣體、汽缸或活塞等多個(gè)研究對(duì)象，靈活應(yīng)用熱學(xué)、力學(xué)等物理知識(shí)。另外，需要注意以下四個(gè)問題。(1)研究對(duì)象分兩類，一類是熱學(xué)研究對(duì)象(一定質(zhì)量的理想氣體)，另一類是力學(xué)研究對(duì)象(汽缸、活塞或某系統(tǒng))。(2)對(duì)熱學(xué)研究對(duì)象分析清楚初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過(guò)程，依氣體實(shí)驗(yàn)定律列出方程;對(duì)力學(xué)研究對(duì)象要正確地進(jìn)行受力分析，依力學(xué)規(guī)律列出方程。(3)注意挖掘題目的隱含條件，如關(guān)鍵字句包含的信息、幾何關(guān)系等，列出輔助方程。(4)多個(gè)方程聯(lián)立求解時(shí)，對(duì)得到的結(jié)果還需檢驗(yàn)它們的合理性。

2.多系統(tǒng)問題的處理技巧。

例3如圖3所示，兩汽缸A、B粗細(xì)均勻，等高且內(nèi)壁光滑，其下部由體積可忽略的細(xì)管連通。汽缸A的直徑是B的2倍，汽缸A上端封閉，汽缸B上端與大氣連通;兩汽缸除A頂部導(dǎo)熱外，其余部分均絕熱，兩汽缸中各有一厚度可忽略的絕熱輕活塞a、b，活塞下方充有氮?dú)猓钊鸻上方充有氧氣。當(dāng)大氣壓為p0、外界和汽缸內(nèi)氣體溫度均為7℃且平衡時(shí)，活塞a離汽缸頂部的距離是汽缸高度的，活塞b在汽缸正中間。

圖3

(1)現(xiàn)通過(guò)電阻絲緩慢加熱氮?dú)?，?dāng)活塞b恰好升至汽缸頂部時(shí)，求氮?dú)獾臏囟取?/p>

(2)繼續(xù)緩慢加熱，使活塞a上升，當(dāng)活塞a上升的距離是汽缸高度的時(shí)，求氧氣的壓強(qiáng)。

解析：(1)活塞b升至汽缸頂部的過(guò)程中，活塞a不動(dòng)，活塞a、b下方的氮?dú)饨?jīng)歷等壓變化。設(shè)汽缸A的容積為V0，氮?dú)獬鯛顟B(tài)的體積為V1，溫度T1=(273+7)K，末狀態(tài)的體積為V2，溫度為T2，則汽缸B的容積為由蓋-呂薩克定律得，解得T2=320K。

(2)活塞b升至汽缸頂部后，由于繼續(xù)緩慢加熱，活塞a開始向上移動(dòng)，直至活塞a上升的距離是汽缸高度的時(shí)，活塞a上方的氧氣經(jīng)歷等溫變化。設(shè)氧氣初狀態(tài)的體積為V1'，壓強(qiáng)為p1'，末狀態(tài)體積為V2'，壓強(qiáng)為p'2，則V'1=V0，p'1=p0，V'2=V0。由玻意耳定律得p1'V1'=p2'V2'，解得p2'=

技巧解讀：求解兩個(gè)或多個(gè)汽缸封閉著幾部分氣體的多個(gè)系統(tǒng)問題時(shí)，往往以壓強(qiáng)為橋梁建立起各系統(tǒng)間的關(guān)系，需要對(duì)各系統(tǒng)獨(dú)立進(jìn)行狀態(tài)分析，還要確定每個(gè)研究對(duì)象的變化性質(zhì)，分別應(yīng)用相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)定律，并充分應(yīng)用各研究對(duì)象之間的壓強(qiáng)、體積、溫度等量的有效關(guān)聯(lián)。若活塞可自由移動(dòng)，一般根據(jù)活塞平衡確定兩部分氣體的壓強(qiáng)關(guān)系。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖4所示，在長(zhǎng)度l=57cm的一端封閉、另一端開口向上的豎直玻璃管內(nèi)，用4cm高的水銀柱封閉著51cm長(zhǎng)的理想氣體，管內(nèi)外氣體的溫度均為33℃，大氣壓強(qiáng)p0=76cmHg?，F(xiàn)將水銀徐徐注入管中，直到水銀面與管口相平，此時(shí)管中氣體的壓強(qiáng)為多少?接著緩慢對(duì)玻璃管加熱升溫至多少時(shí)，玻璃管中剛好只剩下4cm高的水銀柱?

圖4

2.如圖5所示，一固定的豎直汽缸由一大一小兩個(gè)同軸圓筒組成，兩圓筒中各有一個(gè)活塞。已知大活塞的質(zhì)量m1=2.5kg，橫截面積S1=80cm2;小活塞的質(zhì)量m2=1.5kg，橫截面積S2=40cm2;兩活塞用剛性輕桿連接，間距保持l=40cm;汽缸外大氣的壓強(qiáng)p=1×105Pa，溫度T=303K。初始狀態(tài)時(shí)大活塞與大圓筒底部相距，兩活塞間封閉氣體的溫度T1= 495K?，F(xiàn)汽缸內(nèi)氣體溫度緩慢下降，活塞緩慢下移。忽略兩活塞與汽缸壁之間的摩擦，取重力加速度g=10m/s2。求：

圖5

(1)在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間，汽缸內(nèi)封閉氣體的溫度。

(2)汽缸內(nèi)封閉的氣體與汽缸外大氣達(dá)到熱平衡時(shí)，汽缸內(nèi)封閉氣體的壓強(qiáng)。

3.一U形玻璃管豎直放置，左端開口，右端封閉，左側(cè)管內(nèi)上部有一光滑的輕活塞。初始時(shí)，管內(nèi)汞柱及空氣柱長(zhǎng)度如圖6所示。用力向下緩慢推活塞，直至管內(nèi)兩邊汞柱高度相等時(shí)為止。求此時(shí)右側(cè)管內(nèi)氣體的壓強(qiáng)和活塞向下移動(dòng)的距離。已知玻璃管的橫截面積處處相同;在活塞向下移動(dòng)的過(guò)程中，沒有發(fā)生氣體泄漏;大氣壓強(qiáng)p0=75.0cmHg，環(huán)境溫度不變。(保留三位有效數(shù)字)

圖6

參考答案：

1.p2=85cmHg，T=318K。

2.(1)330K，(2)1.01×105Pa。

3.144cmHg，9.42cm。