聚焦機(jī)械波的多解問(wèn)題

■山東省泰安英雄山中學(xué) 謝 龍

綜觀近幾年的高考試題可以看出，機(jī)械波的多解問(wèn)題是考查的重點(diǎn)之一，同時(shí)也是同學(xué)們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)階段中的難點(diǎn)之一。同學(xué)們?cè)诮獯鸫祟悊?wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)因?yàn)闊o(wú)法正確理解產(chǎn)生多解的原因而出現(xiàn)失誤。下面就機(jī)械波多解問(wèn)題形成的原因作簡(jiǎn)要的探討，供同學(xué)們參考。

一、波的周期性形成多解

波的周期性主要體現(xiàn)在時(shí)間周期性和空間周期性兩個(gè)方面。波的時(shí)間周期性是指沿波的傳播方向，在x軸上取一給定質(zhì)點(diǎn)，在t+kT(k=1，2，3，…)時(shí)刻的振動(dòng)情況與它在t時(shí)刻的振動(dòng)情況(位移、速度、加速度等)相同，因此在t時(shí)刻的波形與t+kT(k=1，2，3，…)時(shí)刻的波形必然多次重復(fù)出現(xiàn)。波的時(shí)間周期性表明：波在傳播過(guò)程中，經(jīng)過(guò)整數(shù)倍周期時(shí)，其波形圖像相同。波的空間周期性是指沿波的傳播方向，在x軸上任取一點(diǎn)P，P點(diǎn)的振動(dòng)完全重復(fù)波源O的振動(dòng)，只是在時(shí)間上比O點(diǎn)的振動(dòng)落后Δt時(shí)間，且。在同一波形圖像上，凡坐標(biāo)與P點(diǎn)坐標(biāo)之差為波長(zhǎng)整數(shù)倍的質(zhì)點(diǎn)，在同一時(shí)刻的振動(dòng)情況(位移、速度、加速度)相同。因此在同一波形圖像上，某一振動(dòng)“相貌”勢(shì)必會(huì)不斷地重復(fù)出現(xiàn)。波的空間周期性表明：在同一波形圖像上，相距為波長(zhǎng)整數(shù)倍的多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況完全相同。

例1(2017·天津卷)手持較長(zhǎng)軟繩端點(diǎn)O以周期T在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)繩上的其他質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)形成簡(jiǎn)諧波沿繩水平傳播，如圖1所示。繩上有另一質(zhì)點(diǎn)P，且O、P的平衡位置間距為L(zhǎng)。當(dāng)t=0時(shí)，O位于最高點(diǎn)，P的位移恰好為零，速度方向豎直向上，下列判斷正確的是( )。

圖1

A.該簡(jiǎn)諧波是縱波

B.該簡(jiǎn)諧波的最大波長(zhǎng)為2L

Ct.=時(shí)，P在平衡位置上方

Dt.=時(shí)，P的速度方向豎直向上

解析：繩波中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直，屬于橫波，縱波的傳播方向和質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向在同一直線上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。根據(jù)波形圖和波的傳播方向可知，位移恰好為零且速度方向豎直向上的質(zhì)點(diǎn)P與O點(diǎn)的距離應(yīng)為波長(zhǎng)，當(dāng)n=0時(shí)波長(zhǎng)取最大值，且λmax=4L，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)P由平衡位置振動(dòng)到波峰，時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)P由波峰回到平衡位置，t=時(shí)質(zhì)點(diǎn)P在平衡位置上方且向上振動(dòng)，t=時(shí)質(zhì)點(diǎn)P在平衡位置上方且向下振動(dòng)，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。答案為C。

二、傳播方向的不確定性形成多解

機(jī)械波在傳播過(guò)程中，可以分別沿正、負(fù)方向傳播，當(dāng)波沿正、負(fù)兩方向傳播的時(shí)間之和等于周期的整數(shù)倍，則波沿正、負(fù)方向傳播到這一時(shí)刻的波形相同。如果遇到題目中無(wú)明確說(shuō)明波的傳播方向時(shí)，則波存在兩種可能的傳播方向，那么就會(huì)形成多解。

例2如圖2所示，一列簡(jiǎn)諧橫波沿x軸方向傳播，實(shí)線為t=0時(shí)刻的波形圖，虛線為t=0.5s時(shí)刻的波形圖。已知該簡(jiǎn)諧波的周期大于0.5s，則關(guān)于該簡(jiǎn)諧波，下列說(shuō)法一定正確的是( )。

圖2

A.波速為6m/s

B.頻率為1.5Hz

C.t=1s時(shí)，x=1m處的質(zhì)點(diǎn)處于波峰

D.t=2s時(shí)，x=2m處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)平衡位置

解析：由波形圖可知，波長(zhǎng)為4m。實(shí)線為t=0時(shí)刻的波形圖，虛線為t=0.5s時(shí)刻的波形圖，若波沿x軸正方向傳播，又有該波的周期大于0.5s，則0～0.5s時(shí)間內(nèi)波傳播的距離故周期T=s，頻率f=1.5Hz，波速v=λf=6m/s。t=0時(shí)，x=1m處的質(zhì)點(diǎn)在波峰位置，t=1s時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)應(yīng)該在波谷位置。2s=3T，t=0時(shí)，x=2m處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，t=2s時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)同樣在平衡位置。若波沿x軸負(fù)方向傳播，又有該波的周期大于0.5s，則0～0.5s時(shí)間內(nèi)波傳播的距離Δx=0.5Hz，波速v=λf=2m/s。1s=，t=0時(shí)，x=1m處的質(zhì)點(diǎn)在波峰位置，t=1s時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)應(yīng)該在波谷位置。2s=T，t=0時(shí)，x=2m處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，t=2s時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)同樣在平衡位置。答案為D。

三、波形的隱含性形成多解

當(dāng)機(jī)械波問(wèn)題中只給出完整波形的一部分，或只給出波形上的幾個(gè)特殊點(diǎn)，而其余信息均處于隱含狀態(tài)時(shí)，波形就存在多種可能情況，從而形成多解。

例3一列簡(jiǎn)諧橫波向右傳播，波速為s，故周期T=2s，頻率f=v，在沿波傳播方向上有相距為L(zhǎng)的P、Q兩質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻P、Q兩質(zhì)點(diǎn)都處于平衡位置，且P、Q間僅有一個(gè)波峰，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，Q質(zhì)點(diǎn)第一次運(yùn)動(dòng)到波谷，則t的可能值有( )。

A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)

解析：作出包含距離為L(zhǎng)的P、Q兩質(zhì)點(diǎn)滿足題設(shè)條件的波形，如圖3所示的a、b、c、d四種情況，Q質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向已在圖中標(biāo)出。在圖a中=L，則λ=2L，由波速及波長(zhǎng)的關(guān)系得，而Q質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)波谷的時(shí)間同理可知，在圖b中在圖c中λ=L，在圖d中，T=答案為D。

圖3

綜上所述，機(jī)械波的多解問(wèn)題產(chǎn)生的根本原因是波形圖的周期性重復(fù)。因此我們?cè)谇蠼庠擃悊?wèn)題時(shí)，要充分重視對(duì)圖像的認(rèn)識(shí)和理解，仔細(xì)分析圖像，挖掘隱含條件，結(jié)合傳播方向，利用波的傳播規(guī)律，正確求解相關(guān)問(wèn)題。

跟蹤訓(xùn)練

1.已知平面簡(jiǎn)諧波在x軸上傳播，原點(diǎn)O的振動(dòng)圖像如圖4a所示，在t時(shí)刻的波形圖如圖4b所示，則t'=t+0.5s時(shí)刻的波形圖可能是圖5中的( )。

圖4

圖5

2.一列沿水平繩傳播的簡(jiǎn)諧橫波的頻率為10Hz，振動(dòng)方向沿豎直方向，當(dāng)繩上的質(zhì)點(diǎn)P到達(dá)其平衡位置且向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在其右方相距0.6m處的質(zhì)點(diǎn)Q也剛好到達(dá)最高點(diǎn)，由此可知波速和傳播方向可能是( )。

A.8m/s，向右傳播

B.8m/s，向左傳播

C.24m/s，向右傳播

D.24m/s，向左傳播

3.如圖6所示，A、B是一列簡(jiǎn)諧橫波中的兩點(diǎn)，某時(shí)刻，A點(diǎn)正處于正向最大位移處，另一點(diǎn)B恰好通過(guò)平衡位置且向y軸負(fù)方向振動(dòng)。已知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA=0，xB=70m，并且波長(zhǎng)λ滿足不等式20m<λ<80m，求波長(zhǎng)λ。

參考答案：

1.CD 2.BC

3.當(dāng)波沿x軸負(fù)方向傳播時(shí)，λ=56m、;當(dāng)波沿x軸正方向傳播時(shí)，λ=40m和m。

圖6