一種采用刀切法的單通道信源數(shù)估計算法*

(長沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410114)

1 引 言

信源數(shù)的判定是陣列信號處理領(lǐng)域的關(guān)鍵問題[1-2]。準(zhǔn)確的信源數(shù)信息是其他陣列信號參數(shù)進(jìn)行高分辨估計的前提，若信源數(shù)未知或估計不準(zhǔn)，勢必導(dǎo)致后續(xù)相關(guān)算法的性能大幅下降，因此準(zhǔn)確的信源數(shù)估計具有一定的實際意義。

許多學(xué)者根據(jù)不同的準(zhǔn)則提出了不同的估計方法，其中最常見的一種是基于信息論準(zhǔn)則的估計算法，包括Akaike信息論(Akaike′s Information Crilertion,AIC[3])和最小長度描述準(zhǔn)則(Mininum Description Length,MDL[4])。這些方法都是通過組合特征值分解、最大似然函數(shù)和一些罰函數(shù)來進(jìn)行檢測，優(yōu)點是計算簡單，不需認(rèn)為設(shè)置門限，但當(dāng)接收信號包含色噪聲時易失效。文獻(xiàn)[5]利用接收信號的延時相關(guān)信息重構(gòu)協(xié)方差矩陣并結(jié)合對角加載技術(shù)對信源數(shù)進(jìn)行估計，有效克服了上述缺點。另一種是通過比較蓋氏圓半徑大小來估計信源數(shù)，稱為蓋氏圓盤估計法(Gerschgorin′s Disk Estimation，GDE[6])，在色噪聲環(huán)境下能有效實現(xiàn)信源數(shù)估計，缺點是低信噪比時檢測效果較差。文獻(xiàn)[7]直接對寬帶信號陣列進(jìn)行快速傅里葉變換，得到了一種在色噪聲環(huán)境下估計寬帶相干信源數(shù)的方法。

由于現(xiàn)有信源數(shù)估計算法都是針對陣列信號，不能直接用于單通道接收模型，結(jié)合間隔抽樣和刀切法，提出了一種改進(jìn)算法。該算法首先通過間隔抽樣實現(xiàn)單通道接收信號空間的矢量化，接著采用刀切法對此矢量化空間重構(gòu)協(xié)方差矩陣以便高效利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)和抑制噪聲的影響。實驗結(jié)果表明，與常規(guī)算法相比，該算法在信噪比較低和采樣數(shù)較少的情況下具有較好的檢測性能。

2 信號模型描述

2.1 信號模型

對一個陣列接收信號，假設(shè)有p個通道同時接收信號，接收信號中包含q個源信號，那么信號接收模型可表示為[8-10]

x(t)=As(t)+n(t) 。

(1)

式中：x(t)∈p×l為觀測信號，A∈p×q為混合矩陣，s(t)∈q×l為源信號，n(t)∈p×l為噪聲。

由于噪聲與源信號相互獨立，且是均值為0的隨機過程，則觀測信號的協(xié)方差矩陣表示為

(2)

(3)

式中：λ1>λ2>…>λq>λq+1=…=λp是R按照降序排列出來的特征值，ui是λi對應(yīng)的特征向量。

2.2 常規(guī)的信源數(shù)估計算法

常規(guī)的信源數(shù)估計算法包括基于AIC、MDL和GDE準(zhǔn)則的信源數(shù)估計算法。AIC和MDL準(zhǔn)則由似然函數(shù)和罰函數(shù)兩部分組成：

AIC(k)=2N(M-k)lbf(k)+2k(2M-k) ，

(4)

MDL(k)=N(M-k)lbf(k)+0.5(2M-k)lbN。

(5)

GDE準(zhǔn)則本質(zhì)是通過比較特征向量來估計信源數(shù)。該方法首先對采樣協(xié)方差矩陣Rj進(jìn)行酉變換：

RM=THRjT。

(6)

經(jīng)變換后可得

(7)

矩陣RM中半徑非零的蓋氏圓盤的個數(shù)即為信源數(shù)的估計值。在實際工程應(yīng)用中，采用如下函數(shù)來估計信源數(shù)：

(8)

式中：D(N)為與快拍數(shù)N有關(guān)的調(diào)整因子，取值在0～1之間。分別計算GDE(k)在1≤k≤p之間的值，當(dāng)GDE(k)的值首次小于零時停止計算，信源數(shù)的估計值取k-1。

在色噪聲環(huán)境下，基于AIC和MDL的信源數(shù)估計算法的檢測性能急劇下降，甚至失效。本文引入對角加載技術(shù)[11-12]，對噪聲特征值進(jìn)行某種修正，即

αi=λi+λD。

(9)

式中：λi(i=1,2,…,p)為采樣協(xié)方差矩陣原有的特征值，λD為加載量，αi為加載后的特征值。λD的選取是對角技術(shù)的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[13]提出了一種λD選取的經(jīng)驗值：

(10)

2.3 刀切法的基本原理

刀切法(Jackknife)的目的是降低估計的偏差，其基本思想是從樣本集中一次刪去若干個數(shù)據(jù)，對一系列剩余樣本計算估計值，在估計值中得到最優(yōu)估計[14]。假設(shè)樣本X=(x1,x2,…,xn)獨立同分布，θ=θ(x1,x2,…,xn)為未知參數(shù)θ的一個有偏估計，則θ的偏差為

(11)

(12)

θ的刀切法估計的偏差為[15]

(13)

結(jié)合式(11)和式(13)可知，估計偏差由o(n-1)變成o(n-2)，復(fù)雜度降低，準(zhǔn)確性得到提高。所以，刀切法估計可以近似為無偏估計。

3 采用刀切法的單通道信源數(shù)估計算法

在單通道接收信號時，只有一個傳感器可以利用，觀測數(shù)據(jù)只能獲得一個，假設(shè)有兩個源信號被單個傳感器接收，則式(1)可表示為

x(t)=a1(t)s1(t)+a2(t)s2(t)+n(t)。

(14)

式中：a1、a2為比例因子；s1(t)、s2(t)為源信號；n(t)為噪聲。

假設(shè)輸入信號x(t)滿足采樣條件，忽略噪聲的影響，對其進(jìn)行周期為Δ的采樣，則輸入信號x(t)的離散形式為

x(kΔ)=a1s1(kΔ)+a2s2(kΔ) 。

(15)

對離散信號x(kΔ)進(jìn)行周期為T的采樣，令t=kT+iΔ，i=1,2,…,M則新序列x(i)(kT)為

x(i)(kT)=x(kT+iΔ) 。

(16)

式中：x(kT+iΔ)=a1s1(kT+iΔ)+a2s2(kT+iΔ),i=1,2,…,M。

由此可知，如果序列x(kΔ)按周期T進(jìn)行抽樣，且新序列的采樣周期T是Δ的整數(shù)倍，即T/Δ=M(M∈)，則通過M倍抽樣，可將單通道信號分解為M通道信號，用公式表示為

(17)

將單通道接收信號升維后，可運用現(xiàn)有的陣列信號處理算法對信源數(shù)進(jìn)行估計。為了充分利用接收到的數(shù)據(jù)，實現(xiàn)更加精準(zhǔn)的估計，采用刀切法對信源數(shù)目進(jìn)行估計。在刀切法中，對一個包含N個元素的集合X，X=[X(1),X(2),…,X(N)]從其中隨機選取M個元素組成一個新的集合XM:

(18)

式中：XM?X，x(t)∈X,t=1,2,…,M且M=rN,0.5≤r<1。重復(fù)上述過程k次，得到協(xié)方差矩陣Rj：

(19)

對得到的協(xié)方差矩陣Rj進(jìn)行特征值分解：

(20)

(21)

下面從理論上驗證采用刀切法重構(gòu)的協(xié)方差矩陣Rj能有效抑制高斯噪聲的影響。

證明：當(dāng)整個樣本的信源數(shù)檢測概率p大于50%時，pj表示采用刀切法后信源數(shù)的檢測概率，則pj≥p。分兩種情況驗證。

當(dāng)Z=2n時，即迭代次數(shù)為偶數(shù)時，采用刀切法后的檢測概率pj為

(22)

式中：p為正確檢測的概率，q為錯誤檢測的概率。同理可得當(dāng)Z=2n+1時，pj≥p。所以不管迭代次數(shù)Z取何值，都有pj≥p，得證。

基于以上分析可知，本文提出的算法能夠適用于單通道模型，并能有效抑制高斯白噪聲和高斯色噪聲的影響。圖1給出了本文算法流程圖。

圖1 本文算法的流程框圖Fig.1 Flow chart of the proposed algorithm

利用刀切法提高信源數(shù)的檢測概率是以增加算法復(fù)雜度為代價的。設(shè)定陣元數(shù)M=8，快拍數(shù)T=1 000，迭代次數(shù)Z=20，采樣比例r=0.625。由于在多次采用刀切法和酉變換的過程中，計算相互獨立，本文算法可通過并行計算方式處理，此時常規(guī)算法的運行時間是0.002 9 s，本文算法的運行時間是0.003 2 s。常規(guī)算法GDE和本文算法的算法復(fù)雜度如表1所示。

表1 常規(guī)GDE算法與本文算法的復(fù)雜度分析Tab.1 Complexity analysis of GDE algorithm and improved algorithm

從表1中可知，雖然本文算法需要多次循環(huán)迭代處理，但都可以通過增加空間負(fù)荷來減少計算時間。對比常規(guī)算法和本文算法，除在取最大頻次過程中的時間復(fù)雜度有所不同外，其余基本一樣。

4 實驗仿真與分析

為了最大程度模擬真實情況下的信源數(shù)檢測性能，分別在白噪聲和色噪聲環(huán)境下進(jìn)行仿真分析。由于常規(guī)算法的檢測性能會隨著快拍數(shù)的減少而下降，因此本文取快拍數(shù)T=2 000。

實驗1：假設(shè)單通道接收信號中包含3個信號源，經(jīng)AD采樣后取快拍數(shù)T=2 000，采用間隔抽樣法構(gòu)建12個虛擬通道，使得單通道接收信號轉(zhuǎn)換成陣列信號的形式。設(shè)定信噪比變化范圍為-15～15 dB，以2 dB遞增，分別在白噪聲和色噪聲環(huán)境下進(jìn)行200次蒙特卡洛實驗，基于AIC準(zhǔn)則和MDL準(zhǔn)則方法、GDE方法和本文算法的檢測概率如圖2所示。

(a)白噪聲環(huán)境下

(b)色噪聲環(huán)境下圖2 四種算法檢測性能與信噪比的關(guān)系Fig.2 The relationship between performance and SNR of four algorithms

從圖2中可以看出，當(dāng)信噪比低于-7 dB時，三種常規(guī)算法的性能急劇下降，而本文算法的檢測概率仍然較高。在色噪聲環(huán)境下時，基于信息論的AIC準(zhǔn)則和MDL準(zhǔn)則對信源數(shù)失去了準(zhǔn)確估計；當(dāng)信噪比為-7 dB時，GDE方法的檢測性能為0.7，而本文算法的檢測概率已收斂于1。因此當(dāng)通道噪聲為白或色噪聲時，相比其他三種常規(guī)算法，本文算法具有良好的檢測性能。

王超，范雪冰，佟首峰,等.空間光到少模光纖的耦合效率及影響因素[J].光子學(xué)報,2018,47(11)：1206001

實驗2：假設(shè)一單通道接收信號中包含3個復(fù)指數(shù)信號，設(shè)定信噪比為-5 dB，采樣快拍數(shù)T=2 000，圖3表示了本文算法的檢測概率與嵌入維數(shù)的關(guān)系。從圖3中可以看出，本文算法的檢測概率隨嵌入維數(shù)的增加呈先上升后下降的趨勢。當(dāng)嵌入維數(shù)小于7時，檢測概率低于0.5，因為間隔抽樣后的協(xié)方差矩陣不能完全包括原單通道接收信號的全部信息；當(dāng)嵌入維數(shù)高于12時，檢測概率呈下降趨勢，因為嵌入維數(shù)過多，各分量之間會相互干擾。

圖3 嵌入維數(shù)的選擇對算法性能的影響Fig.3 The influence of embedding dimension on algorithm performance

實驗3：假設(shè)一單通道接收信號中包含3個復(fù)指數(shù)信號，在高斯白噪聲環(huán)境下設(shè)定信噪比為10 dB，采樣快拍數(shù)由100變換到1 000；在色噪聲環(huán)境下設(shè)定信噪比為-7 dB時，采樣快拍數(shù)由1 000以200遞增到3 000，每種實驗進(jìn)行200次蒙特卡洛實驗。圖4為四種算法在不同快拍數(shù)下的正確檢測概率。

(a)SNR=10 dB，白噪聲環(huán)境下

(b)SNR=-7 dB,色噪聲環(huán)境下圖4 四種算法估計性能與采樣點數(shù)的關(guān)系Fig.4 The relationship between the estimation performance of four algorithms and the number of sampling points

由圖4的仿真結(jié)果可知，當(dāng)通道噪聲為高斯白噪聲時，四種算法的檢測概率都隨快拍數(shù)的增大而提高。當(dāng)快拍數(shù)低于200時，AIC方法的檢測性能最好，本文算法略低于AIC算法但明顯高于MDL和GDE算法；當(dāng)快拍數(shù)高于300時，本文算法的檢測概率優(yōu)先收斂1。當(dāng)通道噪聲為高斯色噪聲時，本文算法的檢測概率明顯優(yōu)于其他三種算法，保持了良好的檢測性能。

實驗4：為了獲得更加精確的估計結(jié)果，選擇200組實測數(shù)據(jù)分別在信號源為2個和3個的情況下采用四種算法對信源數(shù)進(jìn)行估計。表2和表3的數(shù)字表示四種算法估計不同信源數(shù)的次數(shù)。

表2 2個信源的估計結(jié)果Tab.2 Estimation results of two signals

表3 3個信源的估計結(jié)果Tab.3 Estimation results of three signals

從表2和表3可知，當(dāng)信源數(shù)個數(shù)為2時，AIC準(zhǔn)則、MDL準(zhǔn)則、GDE準(zhǔn)則和本文算法的估計正確概率分別為81%、85%、82.5%和92.5%；當(dāng)信源數(shù)個數(shù)為3時，四種算法的估計正確概率分別為65%、80%、58%和87%。由此可知，在不同信源數(shù)下，本文算法檢測的正確概率優(yōu)于其他三種算法。

5 結(jié)束語

本文針對現(xiàn)有信源數(shù)估計存在的問題，提出了一種改進(jìn)算法。該算法首先采用間隔抽樣法有效地解決了現(xiàn)有算法無法直接用于單通道信源數(shù)估計的問題，然后利用刀切法重構(gòu)多個協(xié)方差矩陣，并多次進(jìn)行酉變換，充分利用有限信息，避免了因舍去相關(guān)的信號分量造成誤差。仿真實驗表明，與原有算法相比，在低信噪比和低快拍數(shù)下，本文提出的改進(jìn)算法在白噪聲和色噪聲環(huán)境中的檢測性能得到了較大改善。本文算法的不足在于只研究了高斯噪聲下的單通道信源數(shù)估計問題，因此還需要對非高斯噪聲的情況進(jìn)一步探索。

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