利用改進(jìn)PAST算法的直擴(kuò)信號(hào)PN碼盲估計(jì)*

盛世強(qiáng)**a,楊文革b,陳曉威

(航天工程大學(xué)a.研究生管理大隊(duì)；b.光電裝備系；c.研究生管理大隊(duì),北京101416)

1 引 言

直接序列擴(kuò)頻(Direct Sequence Spread Spectrum，DS-SS)技術(shù)因其良好的隱蔽性、抗干擾能力和碼分多址特性而被廣泛地應(yīng)用于衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)、航天測(cè)控、JTIDS等軍事和民用通信領(lǐng)域中。在通信對(duì)抗領(lǐng)域中，DS-SS信號(hào)的盲處理研究成為熱點(diǎn)問(wèn)題，其中最關(guān)鍵的是偽隨機(jī)(Pseudo Noise,PN)碼的盲估計(jì)問(wèn)題[1]。

PN碼盲估計(jì)方法目前主要包括基于特征分析估計(jì)方法[2]、基于特征多項(xiàng)式估計(jì)方法[3-4]和基于相關(guān)運(yùn)算估計(jì)方法[5-6]。與其他兩種方法相比，基于特征分析估計(jì)方法估計(jì)精度高，且不受PN碼類(lèi)型限制，是主要的PN碼盲估計(jì)方法。

根據(jù)主特征向量提取方式的不同，基于特征分析估計(jì)方法可以分為矩陣分解法、PAST方法[7-8]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[9-10]。矩陣分解法估計(jì)精度最高，但需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行批處理，計(jì)算復(fù)雜度高，且跟蹤環(huán)境變化的能力不強(qiáng)，難以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性處理的需要。針對(duì)該問(wèn)題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和投影逼近子空間(Projection Approximation Subspace Tracking,PAST)方法在犧牲一定精度前提下均可以實(shí)現(xiàn)主特征向量快速提取，且PAST方法幾乎不受初值設(shè)定、訓(xùn)練樣本等因素影響，穩(wěn)定性更好且估計(jì)精度更高。但PAST方法存在以下兩個(gè)問(wèn)題：一是固定遺忘因子無(wú)法兼顧收斂速度和精度，且不能跟蹤信噪比變化，從而影響估計(jì)精度；二是在迭代進(jìn)行時(shí)，依賴(lài)人工判讀而不能實(shí)現(xiàn)迭代是否收斂的自動(dòng)判斷，限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種基于改進(jìn)PAST算法的DS-SS信號(hào)PN碼盲估計(jì)方法。在傳統(tǒng)PAST算法的基礎(chǔ)上，利用遺忘因子與收斂速度和收斂精度的相關(guān)性，構(gòu)造了一種基于跟蹤誤差的自適應(yīng)遺忘因子，實(shí)現(xiàn)了收斂速度和收斂精度的同時(shí)優(yōu)化；基于收斂精度和估計(jì)精度的統(tǒng)計(jì)特性，確定了預(yù)期最低誤碼率下的迭代收斂門(mén)限，從而自動(dòng)判讀是否收斂，及時(shí)停止迭代運(yùn)算，有效降低了計(jì)算量，提高了算法的實(shí)際應(yīng)用能力。

2 DS-SS信號(hào)模型

DS-SS信號(hào)是用待傳輸?shù)男畔⒋a與高速率的PN碼波形相乘來(lái)實(shí)現(xiàn)頻譜擴(kuò)展。為簡(jiǎn)化分析，本文假設(shè)背景噪聲為理想高斯白噪聲，則接收機(jī)輸出的DS-SS信號(hào)為[11]

y(t)=s(t)+n(t) 。

(1)

式中：n(t)為零均值的高斯白噪聲；s(t)為DS-SS基帶信號(hào)，可以表示為

(2)

式中：{c(i)=±1,i=0,1,…,P-1}表示PN碼，P為PN碼長(zhǎng)度；Tc表示碼片寬度；T0=PTc表示PN碼周期；A表示信號(hào)幅度；t0表示失步時(shí)間；p(t)表示發(fā)射機(jī)濾波器與信道響應(yīng)、接收機(jī)濾波器的卷積，在理想信道中，p(t)為矩形函數(shù)(支撐區(qū)域?yàn)閇0,Tc))；{dk=±1,k∈}表示信息碼，是均值為0的均勻分布。

3 基于PAST算法的PN碼盲估計(jì)

基于PAST算法的DS-SS信號(hào)PN碼盲估計(jì)方法以信號(hào)的特征分析為理論基礎(chǔ)，其本質(zhì)上是隨機(jī)信號(hào)條件下的高斯極大似然估計(jì)，即信息碼元序列假定服從高斯分布條件下的極大似然估計(jì)[12]。

3.1 DS-SS信號(hào)特征結(jié)構(gòu)分析

基于上述信號(hào)模型，假設(shè)按PN碼碼片速率采樣，且失步時(shí)間t0≠0，DS-SS信號(hào)可以表示為數(shù)據(jù)向量x(k)：

x(k)=s(k)+n(k),
s(k)=dkc1+dk+1c2。

(3)

A=[x(1),x(2),…,x(M)] 。

(4)

得到相關(guān)矩陣R:

(5)

上式推導(dǎo)中，假設(shè)有用信號(hào)s(k)和噪聲n(k)相互獨(dú)立，信息碼{dk|k=1,2,…}均值為0且不相關(guān)。

當(dāng)M→時(shí)，得到

(6)

c=c1+c2=sgn(v1)+sgn(v2) 。

(7)

3.2 投影逼近子空間跟蹤(PAST)算法

矩陣的特征值分解或奇異值分解需要對(duì)批量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，跟蹤環(huán)境變化的能力不強(qiáng)，難以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性處理的需要。由德國(guó)學(xué)者 Yang Bin[13]提出的PAST算法能夠通過(guò)迭代逼近的方式實(shí)現(xiàn)特征向量的快速提取，跟蹤特征向量的實(shí)時(shí)變化。

在實(shí)際應(yīng)用中，相關(guān)矩陣R可能隨時(shí)間變化，從而特征值和特征向量也隨時(shí)間變化。因此，基于遞推最小二乘(Recursive Least Square,RLS)和自適應(yīng)濾波理論的PAST算法被提出，其中，為獲得更快收斂速度，在目標(biāo)函數(shù)中加入遺忘因子β(0<β≤1)。文獻(xiàn)[14]已有關(guān)于PAST算法的基本理論和具體推導(dǎo)過(guò)程，此處不再贅述。

在DS-SS信號(hào)PN碼盲估計(jì)的研究中時(shí)，假設(shè)接收信號(hào)x已實(shí)現(xiàn)同步，則僅需跟蹤到協(xié)方差矩陣的最大特征向量ω，則PAST算法具體步驟如下：

初始化d(0)和ω(0)，對(duì)t=1,2,…，計(jì)算

x1(t)=x(t),
y(t)=ωH(t-1)x1(t),
d(t)=βd(t-1)+|y(t)|2,
e(t)=x1(t)-ωH(t-1)y(t),
ω(t)=ω(t-1)+e(t)[y*(t)/d(t)] 。

4 PAST算法應(yīng)用改進(jìn)分析

3.2節(jié)從理論角度對(duì)于PAST算法在DS-SS信號(hào)PN碼盲估計(jì)中的應(yīng)用進(jìn)行了可行性分析，但在實(shí)際應(yīng)用中，還需要針對(duì)以下兩個(gè)方面進(jìn)行深入探討和研究：

(1)遺忘因子β的大小影響迭代收斂的速度和精度，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)如何確定β的取值，從而在保證收斂精度的前提下盡可能加快收斂速度；

(2)在迭代過(guò)程中，如何自動(dòng)判讀是否收斂，及時(shí)停止迭代運(yùn)算，即確定合適的迭代停止門(mén)限，從而有效降低計(jì)算量，并提高算法的實(shí)際應(yīng)用能力。

本節(jié)將主要基于以上問(wèn)題進(jìn)行理論分析，對(duì)PAST算法作適應(yīng)性改進(jìn)。

4.1 收斂速度和收斂精度

遺忘因子β的大小影響迭代收斂的速度和精度。收斂速度由從開(kāi)始到確定收斂所需要迭代運(yùn)算的次數(shù)表示，收斂精度由收斂后相鄰兩次迭代運(yùn)算結(jié)果之差表示，即Δω(t)=ω(t-1)-ω(t)。理論上，當(dāng)?shù)諗繒r(shí)，Δω→0，但是Δω為一向量，不便于量化表示，根據(jù)Δω→0?‖Δω‖2→0，以‖Δω‖2衡量迭代是否收斂。實(shí)際中，因?yàn)闊o(wú)法嚴(yán)格滿(mǎn)足正交性約束條件，所以‖Δω‖2最終收斂到取值區(qū)間[E‖Δω‖2±δ]，其中E‖Δω‖2為迭代收斂后‖Δω‖2的統(tǒng)計(jì)均值，δ為振蕩半徑，收斂精度越高，E‖Δω‖2越趨近于0值，波動(dòng)程度越小，即δ越小。

基于3.1節(jié)分析，在采樣樣本無(wú)限長(zhǎng)的理想化條件下，相關(guān)矩陣的主特征向量是原PN碼歸一化處理后的結(jié)果。因此，定義

R(t)=[ω(t-1)Hω(t)]1/2。

(8)

當(dāng)?shù)諗繒r(shí)，R→1。但在實(shí)際中，隨迭代進(jìn)行，R呈現(xiàn)出與‖Δω‖2相似的曲線(xiàn)特性，圍繞收斂統(tǒng)計(jì)均值ER>1上下波動(dòng)，方差隨ER減小而減小。

(9)

(10)

(11)

得到

(12)

(13)

(14)

(15)

所以，在迭代過(guò)程中，‖Δω‖2的變化是ω中所有變量數(shù)值變化累積的結(jié)果；對(duì)于變量R，因?yàn)棣艠O性隨機(jī)變化，所以R的變化是所有變量數(shù)值變化極性中和后的結(jié)果，且

(16)

基于上述分析，迭代收斂后，R的走勢(shì)比‖Δω‖2平緩，更適合作為衡量算法收斂精度的參數(shù)。

圖1和圖2分別是同一次迭代過(guò)程中‖Δω‖2和R的變化趨勢(shì)，可以看出，在迭代大約相同次數(shù)以后(即圖中標(biāo)紅區(qū)域)，R和‖Δω‖2均開(kāi)始收斂，但相比之下，R的收斂曲線(xiàn)走向更加明確，收斂后變化更加平穩(wěn)，方差更小。

圖1 ‖Δω‖2隨迭代變化趨勢(shì)Fig.1 ‖Δω‖2 changing with different iterations

圖2 R隨迭代變化趨勢(shì)Fig.2 R changing with different iterations

收斂精度和估計(jì)精度呈正相關(guān)，收斂精度越高，估計(jì)精度越高。估計(jì)精度通常由估計(jì)PN碼的誤碼率(Bit Error Rate,BER)來(lái)衡量。

圖3是誤碼率隨迭代運(yùn)算的變化趨勢(shì)，對(duì)比圖1和圖2，可以看到，‖Δω‖2和R開(kāi)始收斂后，誤碼率變化也趨于穩(wěn)定，圍繞某一定值作小范圍波動(dòng)，而不再呈明顯下降趨勢(shì)。因此，從估計(jì)精度的角度出發(fā)，選擇R作為衡量迭代是否收斂的參數(shù)是正確的。

圖3 BER隨迭代變化趨勢(shì)Fig.3 BER changing with different iterations

4.2 自適應(yīng)遺忘因子

遺忘因子β是PAST算法迭代開(kāi)始前人為設(shè)定的關(guān)鍵參數(shù)，β越小，收斂速度越快，但收斂精度越差；反之，β越大，收斂精度越高，但收斂速度越慢。圖4是在相同的初始向量、接收信號(hào)和信噪比環(huán)境下，基于不同的遺忘因子(β分別等于0.8、0.9、0.95、0.99)R隨迭代進(jìn)行的變化趨勢(shì)，標(biāo)紅區(qū)域表示迭代開(kāi)始收斂。

圖4 不同遺忘因子下R隨迭代變化趨勢(shì)Fig.4 R changing with different iterations under different forgetting factor

可以看出，在不同遺忘因子下，R的曲線(xiàn)走勢(shì)相差較大。隨著β的增大，R取值收斂所需的迭代次數(shù)增大，收斂速度更快；但R的收斂值更趨向于1，且波動(dòng)范圍更小，收斂精度更高，表明收斂速度或收斂精度的提高是以犧牲另一方為代價(jià)，所以β取定值時(shí)，只能兩者間折中處理。通常，在迭代開(kāi)始時(shí)，向量跟蹤誤差較大，ω需要快速收斂，此時(shí)β取值較??；隨著迭代進(jìn)行，向量跟蹤誤差逐漸變小，ω需要較高的收斂精度，此時(shí)β取值較大。

(17)

4.3 迭代停止門(mén)限

在缺乏具體應(yīng)用背景的前提下，PASTd算法并沒(méi)有設(shè)定迭代停止門(mén)限，意味著只能通過(guò)人工判讀迭代是否收斂以及迭代次數(shù)，極大限制了算法在實(shí)際中的應(yīng)用。結(jié)合DS-SS信號(hào)PN碼盲估計(jì)的應(yīng)用場(chǎng)景，在迭代過(guò)程中，需要實(shí)現(xiàn)自動(dòng)判讀是否收斂，及時(shí)停止迭代運(yùn)算，即確定合適的迭代停止門(mén)限，從而有效降低計(jì)算量，并提高算法的實(shí)際應(yīng)用能力。

對(duì)于非合作接收方，無(wú)法后驗(yàn)參數(shù)估計(jì)精度，但是，基于R與誤碼率良好的相關(guān)性，可以根據(jù)預(yù)期最低誤碼率約束參數(shù)R收斂后的取值區(qū)間，將其作為判斷是否收斂以及迭代停止的標(biāo)準(zhǔn)。隨著迭代進(jìn)行，實(shí)時(shí)計(jì)算R在一定迭代次數(shù)范圍內(nèi)的統(tǒng)計(jì)均值和極差，如果達(dá)到迭代收斂門(mén)限，則迭代停止；否則，迭代繼續(xù)進(jìn)行。

圖5和圖6分別為100次蒙特卡洛仿真后，估計(jì)PN碼的誤碼率和εR隨ER的變化情況。

圖5 BER隨ER變化Fig.5 BER changing with different ER

圖6 極差隨ER變化Fig.6 Range changing with different ER

可以看出，ER與誤碼率緊密相關(guān)，尤其在低誤碼率時(shí)，因此，根據(jù)預(yù)期最低誤碼率能夠準(zhǔn)確約束R收斂后的取值區(qū)間；εR雖然隨ER變化波動(dòng)較大，但在約束參數(shù)R收斂區(qū)間時(shí)，εR的作用主要是防止初期迭代時(shí)R變化劇烈但統(tǒng)計(jì)均值接近收斂，而導(dǎo)致迭代過(guò)早停止的情況，所以，對(duì)于εR與ER的相關(guān)性要求不高。

5 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

5.1 基于自適應(yīng)遺忘因子的PASTd算法性能分析

仿真對(duì)象：含噪基帶DS-SS信號(hào)。

仿真參數(shù)：采樣速率等于碼速率，失步時(shí)間t0=0，PN碼為1 023位的m碼，信噪比-10 dB，固定遺忘因子β=0.95，自適應(yīng)遺忘因子β′基礎(chǔ)值μ=0.6。

圖7顯示了基于自適應(yīng)遺忘因子和固定遺忘因子下R的迭代變化趨勢(shì)，標(biāo)黑區(qū)域表示迭代開(kāi)始收斂?？梢钥闯?，相比于固定遺忘因子，基于自適應(yīng)遺忘因子的PAST算法在達(dá)到更優(yōu)的收斂精度和估計(jì)精度的情況下，達(dá)到收斂所需的迭代次數(shù)降低了接近一半，收斂速度大幅提高，實(shí)現(xiàn)了收斂速度和收斂精度的同時(shí)優(yōu)化。

圖7 R隨迭代變化趨勢(shì)Fig.7 R changing with different iterations

5.2 迭代停止門(mén)限可行性分析

仿真對(duì)象及參數(shù)參考5.1節(jié)，估計(jì)PN碼的預(yù)期誤碼率不高于5%，取100次蒙特卡洛仿真的統(tǒng)計(jì)均值。

圖8中藍(lán)色曲線(xiàn)表示了基于4.3節(jié)中迭代停止門(mén)限的PAST算法在不同信噪比下估計(jì)得到的PN碼誤碼率情況，紅色曲線(xiàn)則表示了相同信噪比范圍下經(jīng)過(guò)500次迭代后(遠(yuǎn)大于收斂所需的迭代次數(shù))的誤碼率情況。圖9是對(duì)應(yīng)信噪比下自動(dòng)判別迭代停止時(shí)的迭代次數(shù)。

圖8 不同信噪比下的BERFig.8 BER under different SNR

圖9 不同信噪比下收斂所需的迭代次數(shù)Fig.9 The number of iterations under different SNR

可以看出，基于迭代停止門(mén)限自動(dòng)判別迭代停止得到的估計(jì)結(jié)果的誤碼率表現(xiàn)和理想狀態(tài)下(一定收斂)幾乎相等，說(shuō)明基于4.3節(jié)分析設(shè)定的迭代停止門(mén)限達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，即在不犧牲估計(jì)精度的前提下實(shí)現(xiàn)了迭代收斂的自動(dòng)判讀，而圖10中隨機(jī)抽取的信噪比-10 dB下的仿真情況表明，基于門(mén)限對(duì)于是否收斂的判讀精度甚至優(yōu)于人工判讀，幾乎沒(méi)有增加無(wú)謂的迭代次數(shù)，有效降低了計(jì)算量，提高了算法的實(shí)際應(yīng)用能力。

圖10 -10 dB信噪比下R隨迭代變化趨勢(shì)Fig.10 R changing with different iterations when SNR=-10 dB

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于改進(jìn)的PAST算法實(shí)現(xiàn)DS-SS信號(hào)PN碼盲估計(jì)的方法，一方面通過(guò)構(gòu)造基于跟蹤誤差的自適應(yīng)遺忘因子，與固定遺忘因子相比，實(shí)現(xiàn)了收斂速度和收斂精度的同時(shí)優(yōu)化；另一方面基于收斂精度和估計(jì)精度的統(tǒng)計(jì)特性，確定了預(yù)期最低誤碼率下的迭代收斂門(mén)限，從而在不犧牲估計(jì)精度的前提下實(shí)現(xiàn)了迭代收斂的自動(dòng)判讀，能夠及時(shí)停止迭代運(yùn)算。本文對(duì)于傳統(tǒng)基于PAST算法的PN碼盲估計(jì)方法的改進(jìn)提高了算法實(shí)時(shí)性數(shù)據(jù)處理的能力，并解決了算法依賴(lài)人工判斷收斂的固有限制，但對(duì)于擴(kuò)頻比大于1的DS-SS信號(hào)，該類(lèi)方法仍面臨因極性模糊導(dǎo)致的PN碼估計(jì)片段拼接錯(cuò)誤的現(xiàn)象。同時(shí)，追求更低的信噪比容限也是下一步研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

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