“算法”視角下解析幾何綜合題教學的嘗試與思考*

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(南京師范大學附屬揚子中學,江蘇 南京 210048)

針對解析幾何綜合題的教學，筆者所在備課組進行了一次集體備課，集思廣益.備課組成員暢所欲言，對目前學生解決解析幾何綜合題的現(xiàn)狀、困惑進行了梳理總結，同時提出了解析幾何綜合題的教學建議以待課堂實踐.作為備課組長的筆者率先垂范，首先開了一節(jié)課供大家進行研討，以求進一步優(yōu)化教學.通過這一階段的教學研討，大家一致認為在解析幾何綜合題的復習方面取得了良好的效果.本文就筆者開設的一節(jié)課談談“算法”視角下的解析幾何綜合題教學的實施策略,不妥之處還望廣大同行批評指正.

1 現(xiàn)狀與困惑

大多數(shù)學生對于解析幾何綜合題的認識比較片面，他們普遍認為解析幾何綜合題難度大、計算量大,即使考試時遇到會做的題目，考場上也沒時間算到底，最終還是拿不到分.因此,他們不愿意在這方面投入更多的復習時間.若遇到容易題，大家都能解出來，區(qū)分度不大，總之認為花費太多的時間不值.學生畏難情緒嚴重，不愿意深入思考，討厭復雜運算，這直接制約著解析幾何綜合題的復習效果.教師方面，對解析幾何綜合題教學也沒有好的方法，教師直接講(或?qū)Υ鸢?、學生板演(或投影學生的解題過程)教師點評、教師點撥解題思路后讓學生運算等等.一節(jié)課講不了幾道題(有時一道題也講不完),對學生掌握的情況也不甚了解，課堂乏味，效率低下.

2 問題與對策

問題出在哪里呢？

數(shù)學教育對于個人成長與社會進步的主要作用就是促進學生思維的發(fā)展.特別是，教師應當幫助學生通過數(shù)學學習逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，從而不斷提高自身的思維品質(zhì)，并能真正成為一個高度自覺的理性人[1].

教學生學會思考，發(fā)展學生的認知力，這是數(shù)學教學的根本目標.因此解析幾何綜合題教學的主要問題在于沒有把“教會學生思考”作為核心問題來抓，而是片面地認為繁瑣計算成了解題的攔路虎.引導學生深入思考、優(yōu)化計算理應成為解決解析幾何綜合題的突破口.針對這些問題，我們備課組提出了讓思考先行，從“算法”的視角優(yōu)選參變量的教學策略.如何操作呢，我們先來看一段課堂實錄.

3 課堂實錄

以下是筆者所開設的一節(jié)課的教學片段：

1)求橢圓C的方程.

2)如圖1，設A為橢圓的上頂點，過點A作兩條直線AM，AN，分別與橢圓C相交于點M，N，且直

線MN垂直于x軸．

①設直線AM，AN的斜率分別是k1，k2，求k1k2的值.

②過點M作直線l1⊥AM，過點N作直線l2⊥AN，l1與l2相交于點Q．試問：點Q是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由．

師：請同學們自主解決第2)小題第①問.

師：請一名同學敘說解題思路.

師(投影展示解題過程)：非常好！生1認為“動”的根源是兩直線的斜率在變化，因此可以選取斜率作為參變量進行解題，借助韋達定理及點M與N的對稱性建立關系式來解決.有沒有不同的解法？

師(投影展示解題過程)：非常棒！生2認為“動”的根源是點M的變動，因此選取點M的坐標作為參變量進行解題.結合點M在橢圓上可以得到相應的關系式，進而求解.

多數(shù)學生還是選擇了第一種做法，思路常規(guī)，容易想到，算法流暢，由于計算量不大，絕大多數(shù)學生都解出來了.

師：兩種方法都非常好，但從計算量的角度看孰優(yōu)孰劣一目了然.之所以出現(xiàn)計算量不同，歸根結底和我們選取的參變量有關.我們求解解析幾何綜合題的最大擔憂就是計算量，看來優(yōu)選參變量是優(yōu)化解題的突破口.

啟示1從教師的層面看，每個教師應該有個人教學特色的例題講解范式，針對不同類型不同難度的題目再作適當調(diào)整.本題啟示我們應引導學生進行多角度審題，基于題目條件進行多視角處理，預設解決本題的多種算法，比較不同算法的優(yōu)劣，選取最恰當?shù)牟呗試L試解題，如此思考會給解題帶來意想不到的效果.

師：有了剛才的總結，請思考第2)小題第②問的參變量選取，然后預設解題算法.

師：請一名同學敘說求解該題的算法.

師：還可以選擇其他變量解決嗎？

生3：感覺這種方法解題比較流暢，可能運算量要大一些.

師：非常棒！一會給大家時間去運算.有沒有其他選取變量的方法？

師：思路倒行得通，運算量不小.還有其他想法嗎？

生5：可以假設點Q的坐標，利用垂直關系建立關系式，用斜率和向量都可以.這樣做可以回避聯(lián)立方程組求點Q的坐標，從而減少計算量.

師：以上3位同學已經(jīng)提供了解決該題的3種算法，相信還有不同的求解算法，請你比較一下，選擇一個你認為最簡單的方法來解決.

教師巡視學生的解題情況并選擇幾種不同的方法投影展示，討論比較.通過聯(lián)立兩直線方程，求點Q的坐標，得到y(tǒng)Q=-1，只有2位學生算出，其他學生沒有算完，看來運算較繁.利用假設點Q坐標求解的學生，基本都求出了結果，沒得到結果的也化簡到了最后一步,運算量不大.

教師板書示范完整的解題過程，如下：

設M(x0，y0),Q(x1，y1)，則N(x0，-y0)，依題意可得A(0，1)．

因為l1⊥AM，所以

即

(y0-1)(y1-y0)=-x0(x1-x0).

又因為l2⊥AN，所以

即

(-y0-1)(y1+y0)=-x0(x1-x0),

故

(y0-1)(y1-y0)-(-y0-1)(y1+y0)=0,

化簡得

(y1+1)y0=0.

因為點M是動點，所以y0是變量，不可能恒為0,從而

y1+1=0，

即

y1=-1,

故點Q在定直線y=-1上．

師：本題的目標是點Q的坐標是否滿足一定直線方程，因此目標引導我們解題時要尋求點Q的坐標滿足的關系式.因此直接設坐標比求坐標要來得快.

啟示2從題目本身的層面看，解題首先要明確題目結論的本質(zhì).教師要引導學生養(yǎng)成“讓結論引導思考”的思考范式.本題啟示我們應引導學生先對題目的結論進行多角度分析，鎖定結論目標進行多視角處理，預設解決本題的多種算法，比較不同算法的優(yōu)劣，選取最恰當?shù)牟呗試L試解題.

4 教學反思

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》教學評價與建議部分指出：教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，引導學生總結出一些具有針對性的學習方式[2].解析幾何綜合題作為高中數(shù)學綜合題的典型代表，其教學范式也值得借鑒和遷移.

4.1 探尋條件中“動”的根源，優(yōu)選參變量

解析幾何綜合題的特點是離不開“動”，點動、線動或量動等等.認識“動”的根源，尋求解題突破口.點動或線動最終都要用變量來進行刻畫，選取不同的參變量就會有不同的思路、不同的計算量、不同的處理方法，孰優(yōu)孰劣能預先判斷為好.因此選取合適的參變量(解析幾何中常見的參變量有斜率、點坐標、角等)是優(yōu)化解題的根本所在.基于此，我們的處理策略是：先深入理解題意，結合題目條件，對可用參變量都預設解決本題的一個算法(即擬定一個解題方案)，從而預知哪一步可以出現(xiàn)哪些量、可以求出哪些量、可以消去哪些量、哪一步用到什么方法、出現(xiàn)什么式子及計算復雜程度等等，然后對每一個算法的復雜程度與運算量進行比較，選取最佳參變量嘗試解題.

4.2 鎖定結論中目標導向，優(yōu)選參變量

解題過程其實就是先認識“我在哪里”(題目條件)要“到哪里去”(結論)，其次是探尋“如何去”(解題策略)的問題，讓“要到哪里去”引導我們?nèi)ニ伎肌叭绾稳ァ钡膯栴}.因此解題要鎖定結論中的目標導向，然后去設計求解策略.基于此，我們的處理策略是：先深入理解題意，鎖定題目結論，明確要求什么量或式子，需要引入哪些參變量可以實現(xiàn)，對可用參變量都預設解決本題的一個算法(即擬定一個解題方案)，比較分析，嘗試解題.

高中數(shù)學綜合題的解題就是一個不斷探索、嘗試、調(diào)整、修正、優(yōu)化的過程.這個過程既有對條件的多角度轉化，同時也離不開結論的目標導向.解析幾何綜合題具有思考量大、邏輯性強、計算量大等特點，是從“算法”的角度來思考問題的典型素材.從“算法”的角度思考問題的方法也可以遷移到解決其他綜合題上，讓思考先行，少走彎路，事半功倍.其思考過程可以歸結如下所示：

波利亞的《怎樣解題》明確指出解題四部曲：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧[3].如果我們能從“算法”的角度預設幾個解題方案，先比較優(yōu)劣，再優(yōu)選方案，豈不更好？優(yōu)化解決一道題的同時發(fā)散了我們的思維，對題目的認識更深刻.堅持從“算法”的角度思考問題，養(yǎng)成良好的思考習慣和認知習慣，定能厚積薄發(fā).

參考文獻

[1] 鄭毓信.數(shù)學教育的“問題導向”[J].中學數(shù)學教學參考，2018(1/2):2-6.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 波利亞.怎樣解題[M].涂泓,馮承天，譯.上海：上?？茖W技術出版社，2016.