基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的初中拓展性課程的構(gòu)建與實(shí)施研究*

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(富陽(yáng)區(qū)永興學(xué)校初中部，浙江 杭州 311400)

1 問(wèn)題提出：陳述現(xiàn)狀之“困”

新課標(biāo)浙教版初中數(shù)學(xué)教材對(duì)舊教材知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了調(diào)整，設(shè)置了“探究活動(dòng)”“設(shè)計(jì)題”和“課題學(xué)習(xí)”等欄目，其意圖在于讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，給他們提供探索、實(shí)踐和創(chuàng)新的機(jī)會(huì).教材中還引入了“閱讀材料”，旨在讓學(xué)生接觸有趣的數(shù)學(xué)史，開(kāi)闊他們的數(shù)學(xué)視野.但在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，這些具有特定教學(xué)功能的內(nèi)容卻陷入了“高價(jià)值低使用”的尷尬境地.對(duì)于“閱讀材料”(約24篇)，教師們?cè)谡n堂上往往說(shuō)得最多的一句話是：“有興趣的同學(xué)可以課后自己閱讀”，這樣“一言以蔽之”；對(duì)于“課題學(xué)習(xí)”或“設(shè)計(jì)題”(約28處)，這些與考試不直接相關(guān)的內(nèi)容似乎沒(méi)有進(jìn)入教師的教學(xué)視野，難以“引起關(guān)注”；對(duì)于“探究活動(dòng)”或類似探究的“習(xí)題”(約37處)，教師在教授這些具有一定趣味性又帶有較高研究?jī)r(jià)值的內(nèi)容時(shí)，往往“簡(jiǎn)單化”處理，“匆匆走過(guò)場(chǎng)”；對(duì)于涉及生活內(nèi)容的表述、圖片等(達(dá)174處)，少有教師對(duì)其進(jìn)行充分利用并予以深度教學(xué)，這些生活元素他們似乎“無(wú)心挖掘”.

基于上述“不太樂(lè)觀”的教學(xué)事實(shí)，課題組與校內(nèi)外不同層面的數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了訪談與交流，他們認(rèn)為“閱讀材料”是重要知識(shí)，但不在考試檢測(cè)范圍內(nèi)；“探究活動(dòng)”雖能培養(yǎng)學(xué)生的思維過(guò)程，但開(kāi)展起來(lái)太費(fèi)時(shí)間；“課題學(xué)習(xí)”會(huì)增加學(xué)生負(fù)擔(dān)而擠壓他們的作業(yè)時(shí)間；教師們一致認(rèn)為應(yīng)該把“生活素材”融入教學(xué)中但操作起來(lái)“力不從心”.

分析了教師們的教學(xué)之“困”后，如何幫助他們解決這些困難與困惑呢？如何發(fā)揮新課標(biāo)教材中“閱讀材料”“探究活動(dòng)”“課題學(xué)習(xí)”“生活元素”的重要價(jià)值？課題組的視野落到了將新教材改編的理念與數(shù)學(xué)校本課程構(gòu)建的結(jié)合點(diǎn)上.在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程的基礎(chǔ)上，圍繞“閱讀材料”“探究活動(dòng)”“課題學(xué)習(xí)”“生活元素”開(kāi)展了數(shù)學(xué)拓展性課程的構(gòu)建與實(shí)施研究.

2 研究設(shè)計(jì)：尋求解決之“法”

2.1 理性思考——統(tǒng)整、拓展、補(bǔ)充基礎(chǔ)性課程

如何構(gòu)建拓展性課程？課題組認(rèn)為，應(yīng)對(duì)基礎(chǔ)性課程中的“閱讀材料”“課題學(xué)習(xí)”“探究活動(dòng)”等內(nèi)容進(jìn)行3步操作：1)統(tǒng)整，即同類合并、異類分項(xiàng)；2)拓展，即對(duì)同質(zhì)的材料予以知識(shí)、方法以及思想上的延伸；3)補(bǔ)充，即結(jié)合初中生的學(xué)習(xí)能力和現(xiàn)實(shí)生活需求予以內(nèi)容上的完善.經(jīng)過(guò)“統(tǒng)整”“拓展”和“補(bǔ)充”過(guò)的材料就分別形成了一個(gè)較為完整的知識(shí)系，即各類拓展性課程.

2.2 概念界定——嘗試構(gòu)建數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本內(nèi)涵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組提出了6種核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[1].數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論專家喻平對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心成分進(jìn)行了析取的實(shí)證研究，數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)(分析)處理、空間(想象)能力、問(wèn)題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格等[2-3].課題組借鑒、融合上述觀點(diǎn)認(rèn)為：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)內(nèi)涵的思維、能力與態(tài)度，具體包括數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.其中，數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)傳承和理性精神，數(shù)學(xué)抽象包含概括能力和表征能力，數(shù)學(xué)推理包含邏輯推理和類比推理，數(shù)學(xué)建模包含轉(zhuǎn)化能力和構(gòu)造能力，直觀想象包含幾何直觀能力和空間感知能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算包含法則運(yùn)用能力和計(jì)算能力，數(shù)據(jù)分析包含數(shù)據(jù)理解能力和數(shù)據(jù)處理能力.

2.3 課程架構(gòu)——著眼素養(yǎng)發(fā)展構(gòu)建拓展性課程

基礎(chǔ)性課程是拓展性課程的“活水源”.從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)出發(fā)，課題組梳理、拓展、補(bǔ)充教材中的“閱讀材料”“探究活動(dòng)”“設(shè)計(jì)題”“課題學(xué)習(xí)”“生活素材”等內(nèi)容，構(gòu)建了“數(shù)學(xué)史拾趣”“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”“數(shù)學(xué)思想與方法”“生活中的數(shù)學(xué)”這4門拓展性課程的核心內(nèi)容(詳見(jiàn)表1).

表1 拓展性課程內(nèi)容來(lái)源表

篇幅所限部分內(nèi)容省略.

基于以上內(nèi)容線索，課題組圍繞“基礎(chǔ)性課程”“拓展性課程”與“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”之間的關(guān)系搭建了一個(gè)邏輯框架，如圖1所示.

圖1

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，拓展性課程從基礎(chǔ)性課程中“獨(dú)立”出來(lái)并“發(fā)展壯大”，以便更有力地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，這兩類課程在本質(zhì)上是互融互補(bǔ)的.

3 實(shí)踐操作：探索實(shí)施之“道”

如何讓開(kāi)發(fā)的拓展性課程轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？課題組認(rèn)為應(yīng)在“學(xué)生探究體驗(yàn)、動(dòng)腦動(dòng)手的理念下”圍繞每門課程的特性構(gòu)建與之相應(yīng)的實(shí)施模型與方式，具體可以從以下4個(gè)方面展開(kāi).

3.1 “史料加工”塑造文化品格

“數(shù)學(xué)史拾趣”是一門融數(shù)學(xué)史上重要事件、人物與成果于一體的“數(shù)學(xué)文化性”課程.學(xué)生通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)可以獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)精神等重要素養(yǎng).

1)實(shí)施模型.

根據(jù)數(shù)學(xué)史科學(xué)性與人文性的特點(diǎn)，課程實(shí)施的核心是閱讀、演繹和轉(zhuǎn)化.閱讀即讓學(xué)生自主閱讀數(shù)學(xué)史料，了解某一重要?dú)v史事件所滲透的數(shù)學(xué)知識(shí)及其發(fā)生發(fā)展的歷程，感悟數(shù)學(xué)家為真理孜孜以求的高貴品質(zhì)以及嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神等；演繹即讓學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷程進(jìn)行模擬式的再現(xiàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)家”的發(fā)現(xiàn)軌跡，習(xí)得特定的數(shù)學(xué)方法；轉(zhuǎn)化即讓學(xué)生將所學(xué)到的知識(shí)自覺(jué)應(yīng)用到相關(guān)的生活情境之中，將感受到的“數(shù)學(xué)精神”內(nèi)化為自身的學(xué)習(xí)品質(zhì)，不斷追求成功、創(chuàng)造卓越.具體的實(shí)施模型如圖2所示，這一模型指向?qū)W生“數(shù)學(xué)文化”“數(shù)學(xué)推理”等素養(yǎng)的發(fā)展.

圖2

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，從“數(shù)學(xué)史實(shí)”到“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的形成要經(jīng)歷學(xué)生的“自主閱讀”“自覺(jué)演繹”以及“自我轉(zhuǎn)化”.值得一提的是，有些“介紹性”的數(shù)學(xué)史料經(jīng)過(guò)學(xué)生閱讀后可以“無(wú)形”地內(nèi)化為自身的學(xué)習(xí)素養(yǎng)，但有些“過(guò)程性”的數(shù)學(xué)史料經(jīng)過(guò)學(xué)生閱讀后還需輔以“探究性”的理解和“遷移式”的應(yīng)用才能真正轉(zhuǎn)化為自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2)實(shí)施方式.

基于以上實(shí)施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開(kāi)展教學(xué)呢？課題組認(rèn)為要把握好4個(gè)環(huán)節(jié)：一是“引入故事”，即學(xué)生講述或閱讀某一數(shù)學(xué)歷史故事；二是“理解概念”，即師生共同抽取“故事”中的核心概念并加以吸收；三是“再現(xiàn)原理”，學(xué)生用工具或“模型”解讀“故事”所闡述的數(shù)學(xué)原理；四是“遷移應(yīng)用”，即學(xué)生能把“原理”與生活中的實(shí)例予以關(guān)聯(lián)并能合理應(yīng)用.

現(xiàn)以“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”為例予以闡釋.首先，學(xué)生圖文并茂地講述18世紀(jì)哥尼斯堡七橋問(wèn)題的故事，拋出問(wèn)題——一個(gè)游人怎樣才能不重復(fù)地一次走遍七座橋，最后又回到出發(fā)點(diǎn).然后，師生共同討論，將哥尼斯堡七橋的情景轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖——把生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)圖形.再次，學(xué)生用“畫(huà)圖”的形式結(jié)合七橋問(wèn)題呈現(xiàn)與解釋歐拉定理.最后，教師拋出物流業(yè)中“如何節(jié)省成本”的問(wèn)題，讓學(xué)生利用歐拉定理科學(xué)設(shè)計(jì)物流路線，不走或盡量少走回頭路.

3.2 “實(shí)驗(yàn)行動(dòng)”織造思維過(guò)程

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程是一門融數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程與結(jié)果、操作與思維、實(shí)驗(yàn)與論證于一體的“動(dòng)態(tài)性”課程.學(xué)生通過(guò)手腦并用“做”數(shù)學(xué)的過(guò)程獲得豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)歷和體驗(yàn)，形成直觀的數(shù)學(xué)理解等.

1)實(shí)施模型.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生運(yùn)用一系列常規(guī)工具(如三角板等)與媒體工具(如幾何畫(huà)板軟件等)，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的以實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng).課程實(shí)施的核心是合理選擇工具、操作探究、發(fā)現(xiàn)結(jié)論和驗(yàn)證真?zhèn)?合理選擇工具即讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的類型選擇合適的探索工具；操作探究即學(xué)生在教師的指導(dǎo)下動(dòng)手操作，用“形”的方式還原或探索某一命題的發(fā)生發(fā)展過(guò)程；發(fā)現(xiàn)結(jié)論即學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐獲得直觀感知和形象思維，再通過(guò)感性與理性的結(jié)合抽象出數(shù)學(xué)原理與方法，從而獲得數(shù)學(xué)結(jié)論.驗(yàn)證真?zhèn)渭磳W(xué)生通過(guò)操作實(shí)物模型或技術(shù)工具，對(duì)結(jié)論或命題進(jìn)行證實(shí)或證偽.具體的實(shí)施模型如圖3所示，這一模型指向?qū)W生“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”等素養(yǎng)的發(fā)展.

圖3

從圖3可以發(fā)現(xiàn)，“操作探究”是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中最重要的環(huán)節(jié).它需要學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦、觀察分析、思考判斷，在一系列的思維過(guò)程與操作體驗(yàn)中獲得探索、推理、理解、概括抽象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2)實(shí)施方式.

基于以上實(shí)施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開(kāi)展教學(xué)呢？課題組認(rèn)為要把握好4個(gè)環(huán)節(jié)：一是理解命題，即學(xué)生要充分理解某一命題所表達(dá)的要求或意義；二是探索方案，即學(xué)生要將命題的內(nèi)容進(jìn)行“可視化”的探索，這里的探索容納著“嘗試、改正與改進(jìn)的過(guò)程”；三是實(shí)驗(yàn)分析，即學(xué)生在實(shí)踐探索后要進(jìn)行計(jì)算、推理和驗(yàn)證；四是歸納(判斷)結(jié)論，即學(xué)生在實(shí)驗(yàn)分析的基礎(chǔ)上形成命題的原理性知識(shí)或判斷出命題的真與假.

現(xiàn)以“正方形紙片剪拼”為例予以闡釋.首先，學(xué)生觀察與思考：把一張8×8的正方形紙片剪成4塊(如圖4所示)，按圖5重新拼合，這4塊紙片是否能拼成一個(gè)長(zhǎng)是13、寬為5的長(zhǎng)方形？然后，學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，做一張如圖4所示的正方形紙片，按圖示的虛線分割，再按圖5的方式拼合，發(fā)現(xiàn)4塊圖形拼合時(shí)，中間出現(xiàn)“縫隙”，兩個(gè)大直角三角形的斜邊并不重合.再次，學(xué)生分析不能拼合的原因是圖4的面積是64，圖5的面積是65.最后，學(xué)生作出判斷：“縫隙”是一個(gè)面積為1的細(xì)小的平行四邊形，肉眼難以觀察到；“數(shù)學(xué)不能簡(jiǎn)單相信觀察，可以用實(shí)驗(yàn)來(lái)證偽或證實(shí)”.

圖4 圖5

3.3 “項(xiàng)目學(xué)習(xí)”鍛造思想方法

“數(shù)學(xué)思想與方法”是一門用蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想與方法的經(jīng)典問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的課程.學(xué)生通過(guò)某一“項(xiàng)目”的學(xué)習(xí)，深度理解特定數(shù)學(xué)思想和方法的內(nèi)涵及其可能的應(yīng)用“環(huán)境”.

1)實(shí)施模型.

項(xiàng)目學(xué)習(xí)是讓學(xué)生主動(dòng)探索某一“問(wèn)題”，并通過(guò)問(wèn)題的解決與反思對(duì)“成果”進(jìn)行展示與評(píng)價(jià)，從而構(gòu)建起一系列解決問(wèn)題的“思想與方法”的活動(dòng).課程實(shí)施的核心是具象分析、方法探索與思想提煉.具象分析即讓學(xué)生分析“項(xiàng)目”的目標(biāo)與條件，也就是所要解決問(wèn)題的目標(biāo)指向與現(xiàn)實(shí)條件；方法探索即讓學(xué)生探索達(dá)成“項(xiàng)目”目標(biāo)的可能性方案并付諸實(shí)施予以檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)；思想提煉即讓學(xué)生集中大家的智慧，對(duì)所有可行的方案進(jìn)行歸納總結(jié)、抽象概括，從而形成特定的數(shù)學(xué)思想與方法.具體的操作模型如圖6所示，這一模型指向?qū)W生“直觀想象”“數(shù)學(xué)建?！钡人仞B(yǎng)的發(fā)展.

圖6

從圖6可以發(fā)現(xiàn)，“數(shù)學(xué)思想與方法”既是解決問(wèn)題的工具又是項(xiàng)目學(xué)習(xí)的結(jié)果.其實(shí)，學(xué)生“數(shù)學(xué)思想與方法”的形成要經(jīng)歷從“無(wú)意識(shí)”的嘗試到“有意識(shí)”的抽象兩個(gè)階段.一旦學(xué)生掌握了“思想與方法”并形成了相關(guān)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，他們就會(huì)進(jìn)入到“合理”運(yùn)用的階段.

2)實(shí)施方式.

基于以上實(shí)施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開(kāi)展教學(xué)呢？課題組認(rèn)為要把握好4個(gè)環(huán)節(jié)：一是分析問(wèn)題，即學(xué)生全面把握問(wèn)題特征；二是制定策略，即學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探求解決問(wèn)題的思路以及可能用到的“工具”；三是實(shí)施評(píng)價(jià)，即學(xué)生用所設(shè)計(jì)的策略嘗試解決問(wèn)題并評(píng)估“過(guò)程”效率與“結(jié)果”質(zhì)量；四是挖掘提升，即學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程中的關(guān)鍵“要素”進(jìn)行挖掘，將其提煉為一種數(shù)學(xué)思想或程序方法.

現(xiàn)以“勾股定理探究”為例予以闡釋.首先，教師讓學(xué)生思考：勾股定理反映的是直角三角形3條邊的關(guān)系，現(xiàn)有的證法對(duì)你有什么啟示？然后，學(xué)生根據(jù)課堂提供的思路、文獻(xiàn)檢索、利用幾何畫(huà)板工具等途徑進(jìn)行探究，探索出多種不同的證明方法，比如無(wú)字證法等.再次，教師讓學(xué)生反思：這種方法利用了什么數(shù)學(xué)知識(shí)以及簡(jiǎn)便性如何等.最后，師生綜合所有的探究結(jié)果，歸納“各種證法”背后的數(shù)學(xué)思想與方法，比如數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及“等積法”“相似法”等.

3.4 “生活實(shí)踐”打造應(yīng)用理性

“生活中的數(shù)學(xué)”課程是一門利用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象或運(yùn)用數(shù)學(xué)技能、方法與思想解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的課程.學(xué)生通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)可以增強(qiáng)“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和能力.

1)實(shí)施模型.

“生活中的數(shù)學(xué)”是學(xué)生把生活中某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行轉(zhuǎn)化、分析或解釋，合理設(shè)計(jì)解決方案并達(dá)成特定目標(biāo)的學(xué)習(xí)活動(dòng).課程實(shí)施的核心是情境轉(zhuǎn)化、(合理解釋)問(wèn)題分析和數(shù)學(xué)建模.情境轉(zhuǎn)化即讓學(xué)生對(duì)生活現(xiàn)象進(jìn)行分析并將其轉(zhuǎn)化為具體的“事件”或問(wèn)題；合理解釋即讓學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋某一事實(shí)，陳述其存在的合理性，這是一種“解釋型”解決方法；問(wèn)題分析即讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行條件與目標(biāo)之間“差距”的判斷與思考；數(shù)學(xué)“建?！奔醋寣W(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題解決的操作思路、步驟與方法.具體的實(shí)施模型如圖7所示，這一模型指向?qū)W生“數(shù)據(jù)分析”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”等素養(yǎng)的發(fā)展.

圖7

從圖7可以發(fā)現(xiàn)，“生活中的數(shù)學(xué)”課程主要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解釋生活和解決生活問(wèn)題的能力，遵循“從生活中來(lái)到生活中去”的理念.亦即從生活事例中挖掘、提煉具有豐富內(nèi)涵的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生從問(wèn)題的解釋與解決中習(xí)得數(shù)學(xué)素養(yǎng)后又回歸到現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用之中，真正做到“學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”.

2)實(shí)施方式.

基于以上實(shí)施模型的內(nèi)涵，如何在具體的課程內(nèi)容上開(kāi)展教學(xué)呢？課題組認(rèn)為要把握好4個(gè)環(huán)節(jié)：一是獲取信息，即學(xué)生從生活“事件”中獲取關(guān)鍵信息；二是抽取問(wèn)題，即學(xué)生將獲得的重要信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；三是分析建模，即學(xué)生利用原有認(rèn)知分析問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，建立解決問(wèn)題的策略與方法；四是嘗試解決，即學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法解決問(wèn)題.

現(xiàn)以“平面圖形的密鋪”為例予以闡釋.首先，學(xué)生感知生活中一些神奇的圖案，并獲取圖案構(gòu)造的相似性信息，如圖案中的幾何圖形不僅形狀相同、大小也一樣，這些幾何圖形之間既沒(méi)有縫隙也沒(méi)有重疊等.然后，師生將以上“信息”轉(zhuǎn)化成“四邊形拼接時(shí)，拼接處有幾個(gè)角，與四邊形內(nèi)角有什么關(guān)系”等問(wèn)題.再次，學(xué)生根據(jù)一系列問(wèn)題尋找多邊形密鋪的條件與“原理”，如“正多邊形在一個(gè)鑲嵌頂點(diǎn)處的各內(nèi)角之和為360°”“任意形狀的三角形和任意形狀的四邊形都可以密鋪”等.最后，學(xué)生根據(jù)所得到的結(jié)論與建立的“模型”，進(jìn)行不同條件的密鋪嘗試活動(dòng)，設(shè)計(jì)出了有創(chuàng)意的精美圖案.

4 研究成效：催生教育之“長(zhǎng)”

4.1 課程與教學(xué)相長(zhǎng)

1)突破了教學(xué)瓶頸.

拓展性課程的構(gòu)建與實(shí)施，有效化解了基礎(chǔ)性課程教材中重要欄目的落實(shí)與教學(xué)課時(shí)限制之間的矛盾，是對(duì)基礎(chǔ)性課程實(shí)施瓶頸的有效突破，達(dá)成了新課程所要求的深層次目標(biāo).

2)豐富了課程資源.

本研究形成了較為完善的數(shù)學(xué)拓展課程體系.該體系從內(nèi)容上廣泛吸收基礎(chǔ)性課程以外的數(shù)學(xué)教材之長(zhǎng)，編寫(xiě)了4本拓展性教材以及配套的校本作業(yè)；在實(shí)施上構(gòu)建出了4種操作模型與方式；在教學(xué)實(shí)踐中積累了大量的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與案例.

3)引領(lǐng)了課改方向.

筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)拓展性課程的構(gòu)建與實(shí)施，得到了浙江省教育廳教研室的高度肯定與重視.在浙江省“義務(wù)教育拓展性課程開(kāi)發(fā)與實(shí)施”專題研討會(huì)議上，課題組作了“初中數(shù)學(xué)拓展性課程開(kāi)發(fā)的實(shí)踐與思考”的主題發(fā)言，介紹成功的經(jīng)驗(yàn)與做法.

4.2 學(xué)生與教師并進(jìn)

1)激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣.

從學(xué)校微信公眾號(hào)選課平臺(tái)的統(tǒng)計(jì)來(lái)看，學(xué)生非常喜歡數(shù)學(xué)拓展性課程，本學(xué)期還出現(xiàn)了網(wǎng)上“搶課”的現(xiàn)象.課程的“受歡迎度”直接表明拓展性課程與教學(xué)深層次地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.相應(yīng)地，興趣的激發(fā)對(duì)學(xué)生潛力的挖掘也有著助推作用.

2)發(fā)展了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

實(shí)踐表明，學(xué)生通過(guò)拓展性課程的學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)推理、抽象能力等素養(yǎng)得到了一定程度的提升.拓展性課程的“閱讀”“實(shí)驗(yàn)”“探究”“實(shí)踐”讓學(xué)生形成了主動(dòng)學(xué)習(xí)，自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).在校內(nèi)數(shù)學(xué)節(jié)“數(shù)學(xué)DIY”活動(dòng)中，據(jù)調(diào)查，選修過(guò)“生活中的數(shù)學(xué)”的學(xué)生所提供的解決方案或作品質(zhì)量明顯高于沒(méi)有參與選修的學(xué)生.再如，在“橋梁建模大賽”中，一位一等獎(jiǎng)獲得者在談成功的體會(huì)時(shí)說(shuō)道：“我的很多想法都是在‘?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)’課上學(xué)到的！”簡(jiǎn)言之，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上得到了不同程度的發(fā)展.

3)提升了教師能力.

拓展性課程的構(gòu)建與實(shí)施對(duì)教師的影響主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是轉(zhuǎn)變了教師的教學(xué)觀，改變了相應(yīng)的教學(xué)模式.教師充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓他們?cè)诤献髦惺占牧?、制定方案、備課上課、制作作品、撰寫(xiě)論文等.二是促進(jìn)了教師教科研水平的提高.數(shù)學(xué)拓展性課程的構(gòu)建與實(shí)施在學(xué)校中營(yíng)造了濃厚的教學(xué)和科研氛圍，激發(fā)了教師的動(dòng)力，切實(shí)提升了教師的教學(xué)和科研水平.課題組兩年的研究積累了許多拓展性課程實(shí)施的經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)方法，撰寫(xiě)了13項(xiàng)關(guān)于數(shù)學(xué)拓展性課程的成果，如研究報(bào)告、論文與案例等.

參考文獻(xiàn)

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[3] 董林偉,喻平.基于學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)的初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r調(diào)查[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2017,26(1):7-11.