立足能力考查 彰顯函數(shù)思想 蘊(yùn)含特色文化*
——北京、浙江近3年數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題(理)比較分析

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(臺(tái)州市第一中學(xué),浙江 臺(tái)州 318000)

2015—2017年北京市和浙江省的數(shù)學(xué)高考理科壓軸題(其中2017年浙江省不分文理科，以下簡(jiǎn)稱北京卷和浙江卷)都是數(shù)列綜合題.試題的設(shè)計(jì)具有一定的層次性，讓不同能力水平的學(xué)生有充分展示實(shí)力的機(jī)會(huì)，同時(shí)為滿足不同層次的高校選才提供依據(jù).兩地試題各有特色，差異明顯，筆者就近3年北京卷和浙江卷的6道壓軸題進(jìn)行分析,并對(duì)比北師大版和人教版兩種教材的特點(diǎn)，談?wù)剛€(gè)人的一些感想.

1 回顧試題

1.1 北京卷注重考查閱讀理解能力

北京卷3道題都是信息題，文字信息量比較大，需要考生認(rèn)真審題，篩選出重要信息.試題注重考查學(xué)生對(duì)新定義的閱讀理解能力、知識(shí)遷移能力.

2016年北京卷第20題的第2)小題要證G(A)≠φ ，只需在G(A)中找到一個(gè)元素.如何找？關(guān)鍵是對(duì)G(A)的理解，G(A)的元素特征為“若i∈G(A),則對(duì)一切自然數(shù)nan”.由條件知,數(shù)列A中至少存在一項(xiàng)ak使得ak>a1，可取離首項(xiàng)最近的一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的元素.

2015年北京卷第20題的第2)小題,只要將“若集合M中存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，求證M中所有元素都是3的倍數(shù)”轉(zhuǎn)譯為“k∈N*,若ak是3的倍數(shù)，則ak+1都是3的倍數(shù);反之也成立”，這樣拉近了結(jié)論與條件之間的距離.

這3道題都是在新背景下給出新定義，需要解題者耐心細(xì)致閱讀題目中抽象符號(hào)的表述，從中獲取有用信息，并進(jìn)行加工處理，獲得解題方向.試題側(cè)重考查閱讀理解能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰皩?duì)新定義的感知力和敏感度.解法上沒有高大上的技巧，正如李邦河院士所說：“數(shù)學(xué)玩概念，不是純粹的技巧.”北京近3年的試題文字雖然“長(zhǎng)”,但試題質(zhì)樸厚實(shí)，思維簡(jiǎn)約,充滿靈性.

1.2 浙江卷注重考查式子變換能力

浙江卷與北京卷相比，題中出現(xiàn)的文字和符號(hào)明顯減少，如2016年和2017年每道題只有10個(gè)文字，2015年也只有19個(gè)文字.試題敘述簡(jiǎn)約，通俗易懂，數(shù)學(xué)符號(hào)及式子結(jié)構(gòu)都比較熟悉，不需要考生在理解題意上花較多時(shí)間.命題意圖讓學(xué)生較快進(jìn)入解決問題的軌道上，重視對(duì)考生解題策略的檢測(cè)，尤其注重在式子變換上考查數(shù)學(xué)思維能力.

然后裂項(xiàng)求和.每次變換都是對(duì)式子進(jìn)行一次“裝飾”，使式子變得更美妙、更有用.此題的思維靈活性體現(xiàn)在不等式放縮上——何時(shí)放、何處放、怎樣放.

2016年浙江卷第22題的第1)小題,通過觀察

|an|≥2n-1(|a1|-2)，

2017年浙江卷第22題的第1)小題，移項(xiàng)得

xn-xn+1=ln(1+xn+1),

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤2xn+1,

和

這3道題的解題方法關(guān)鍵在式子的適當(dāng)變形.常用的變換手段有移項(xiàng)、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、取倒數(shù)，或適當(dāng)放縮讓式子顯露出成等差和等比，或利用解不等式組和方程思想進(jìn)行消元.每一步變換都需要考生對(duì)式子的結(jié)構(gòu)特征具有較強(qiáng)的洞察力和感知力，變換方法具有一定的靈活性和技巧性,以此檢測(cè)考生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

1.3 注重考查函數(shù)思想活用

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，考數(shù)列繞不過考函數(shù).北京卷側(cè)重函數(shù)思想的考查，浙江卷側(cè)重函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的考查.

如2017年北京卷第20題的第2)小題，在確定b1-na1+(k-1)(d1-nd2)(其中k=1,2,3,…,n)的最大值時(shí)，首先考慮自變量是哪個(gè)，再探究單調(diào)性情況.當(dāng)d1-nd2<0時(shí)，cn=b1-na1；當(dāng)d1-nd2≥0時(shí)，

cn=b1-na1+(n-1)(d1-nd2).

又如2016年北京卷第20題的第3)小題是研究G(A)元素個(gè)數(shù)與aN-a1的大小關(guān)系.對(duì)于aN>a1的情形,如何將G(A)中元素個(gè)數(shù)與數(shù)列A中各項(xiàng)建立聯(lián)系呢?將G(A)中各元素按n1

2015年北京卷第20題研究集合M的元素特征及個(gè)數(shù).若從函數(shù)角度審視，{an}的遞推式是一個(gè)分段函數(shù)，具有“返回”的特征,從第二項(xiàng)起各項(xiàng)是2的倍數(shù)，從第3項(xiàng)起是4的倍數(shù),M是函數(shù)的值域,且M隨首項(xiàng)的變化而變化.

北京卷這3道題強(qiáng)調(diào)了函數(shù)本質(zhì)“數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)”及數(shù)列與函數(shù)之間關(guān)系的應(yīng)用.

2017年浙江卷第22題第2)小題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為只證“4xn+1-[xn+1+ln(1+xn+1)](2+xn+1)≤0”，此時(shí)構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)得到解決.浙江卷強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

縱觀北京市和浙江省近3年的數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題，都以數(shù)列為背景.北京卷把數(shù)列與函數(shù)、集合綜合在一起，試題以知識(shí)橫向拓展，運(yùn)算量不大，重在考查閱讀理解能力、函數(shù)思想靈活運(yùn)用能力.每年題型新穎，沒有現(xiàn)成的解題套路，需要獨(dú)立思考，打破了套路化.浙江卷的試題都以遞推形式給出數(shù)列，研究數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系，或探究an,Sn的變化范圍，將數(shù)列與函數(shù)、不等式知識(shí)交織在一起,檢測(cè)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力，通過式子的變換技巧，考查邏輯推理能力和高層次理性思維.北京卷、浙江卷的第3)小題或第2)小題都以前面小題作為鋪墊，各個(gè)小題環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn),“觀察—探究—發(fā)現(xiàn)—驗(yàn)證”解題思維貫穿在每個(gè)問題解決過程之中，充分體現(xiàn)了高考把數(shù)學(xué)思維方法的考查作為重要任務(wù).

2 比較教材

目前北京市和浙江省的普通高中使用的是人教版教材，在編寫數(shù)列這章內(nèi)容上，北師大版教材與人教版教材(以下簡(jiǎn)稱為“北師大版”和“人教版”)存在一定差異：

1)對(duì)于章頭言，北師大版通過介紹科學(xué)史上一個(gè)真實(shí)故事，將一列數(shù)與天文知識(shí)聯(lián)系在一起，從它們的數(shù)量關(guān)系中，提出本章要學(xué)習(xí)等差和等比數(shù)列兩種模型，尤其是對(duì)第一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，得到新數(shù)列，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與大自然運(yùn)動(dòng)規(guī)律聯(lián)系十分緊密，更能激發(fā)學(xué)生探索各種數(shù)量關(guān)系的興趣.人教版在大自然植物和日常生活中利息購(gòu)房貸款等事例中提出本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

2)對(duì)于概念引入，北師大版通過6個(gè)事例抽象出數(shù)列概念，而人教版通過三角形點(diǎn)陣和正方形點(diǎn)陣引出數(shù)列概念.北師大版所涉及的知識(shí)面明顯比人教版更廣闊.

3)在章節(jié)內(nèi)容安排上,北師大版單獨(dú)設(shè)置了一節(jié)：數(shù)列的函數(shù)特性，給出遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列規(guī)范的定義，并用黑體字呈現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，這表明北師大版注重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng).這些要求在北京卷3道試題中都有充分體現(xiàn).而人教版沒有這一節(jié)，不過數(shù)列的遞推公式在例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題中都有出現(xiàn)，而且教材中將遞推數(shù)列名稱特地用藍(lán)字進(jìn)行標(biāo)注.北師大版不僅沒有出現(xiàn)遞推數(shù)列的名稱，而且在例題或習(xí)題中沒有一道題目涉及遞推數(shù)列.從浙江卷3道試題中也不難看出浙江省數(shù)學(xué)高考注重遞推數(shù)列相關(guān)內(nèi)容的考查.

4)等差數(shù)列概念，兩種教材分別從學(xué)生比較熟悉的3個(gè)或4個(gè)事例中抽象概括出定義，通過歸納猜想得出通項(xiàng)公式.對(duì)于通項(xiàng)公式與一次函數(shù)關(guān)系的處理，兩種教材存在差異，北師大版專門設(shè)置較長(zhǎng)篇幅從函數(shù)角度研究等差數(shù)列，提到公差是直線的斜率，以及兩點(diǎn)確定直線和兩項(xiàng)確定等差數(shù)列的聯(lián)系,突出了數(shù)列與函數(shù)的各種關(guān)系.人教版只是在探究欄目中通過數(shù)列{an}(其中an=3n-5),讓學(xué)生探究與一次函數(shù)y=3x-5的關(guān)系，并由此推廣到一般情況.

5)對(duì)于等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式的推導(dǎo)，兩種教材的處理方法基本相同，而對(duì)Sn的性質(zhì)要求存在一定差異，如對(duì)an=Sn-Sn-1(其中n≥2)，北師大版僅在習(xí)題1.2B組的第5題提出“由Sn=n2+1，求{an}的通項(xiàng)”.而人教版不僅安排了兩個(gè)例題研究等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)，并在探究欄目設(shè)置問題“探究Sn=pn2+qn+r(其中p≠0)與等差數(shù)列的關(guān)系”，并在等比數(shù)列和章小結(jié)中也都提到an與Sn之間的關(guān)系，這表明人教版比較重視數(shù)列性質(zhì)的縱向深度探究，邏輯推理上偏重于代數(shù)式之間的變換.這些思想在浙江卷中有明顯的體現(xiàn).

6)在章尾處理方式上，兩種教材也存在一定差別，人教版分為兩個(gè)部分進(jìn)行小結(jié)，首先以框圖形式直接給出本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，然后以問題形式進(jìn)行回顧與思考本章的主要內(nèi)容和重要的思想方法，重視以問題為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.而北師大版把本章小結(jié)的建議提供給學(xué)生，先告知本章的學(xué)習(xí)要求，然后列出5點(diǎn)復(fù)習(xí)建議，鼓勵(lì)學(xué)生自行完成,這表明北師大版比較重視學(xué)生閱讀思維能力的培養(yǎng)，倡導(dǎo)自我學(xué)習(xí)和合作交流相結(jié)合.分析表明，北京卷這3道題比較緊扣北師大版，浙江卷這3道題比較貼近人教版.同時(shí)，北京卷的試題散發(fā)出濃厚的政治文化，看得深、主張多、想得遠(yuǎn),浙江卷的試題散發(fā)出濃厚的海洋文化，體現(xiàn)了“變得快、膽子大、想得活”的地方文化氣息.

3 教學(xué)建議

3.1 重視數(shù)列與函數(shù)融合

由以上分析知，這6道壓軸題雖然以數(shù)列形式出現(xiàn)，但在處理問題時(shí)函數(shù)思想貫穿始終.從考生答題情況來看，暴露出學(xué)生函數(shù)思想與數(shù)列的融合能力較薄弱.在數(shù)列教學(xué)中，不僅在數(shù)列概念、等差和等比的通項(xiàng)公式教學(xué)時(shí)要聯(lián)系函數(shù)，函數(shù)思想還應(yīng)貫穿在數(shù)列教學(xué)的始終.如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)，多數(shù)教師認(rèn)為數(shù)列求和就是計(jì)算，把教學(xué)重點(diǎn)放在探索運(yùn)算技巧上，忽視了函數(shù)思想的作用.其實(shí)求和也可視為求“新”數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以用求通項(xiàng)公式的方法進(jìn)行思考，使用歸納猜想探究其和為二次函數(shù)形式，也可以從數(shù)形結(jié)合思想入手.又如一些不太常規(guī)數(shù)列的通項(xiàng)公式雖然不易求，或不存在，但它可用遞推公式的形式給出，這樣可以從函數(shù)的角度去分析、研究數(shù)列有關(guān)問題.函數(shù)思想是數(shù)列的靈魂，是學(xué)習(xí)數(shù)列的指路明燈，喚醒運(yùn)用函數(shù)思想的直覺，把數(shù)列根植于函數(shù)思想，讓數(shù)列如魚得水，別讓函數(shù)成為一種擺設(shè).

3.2 重視閱讀與問題融合

閱讀能力、思考能力和表達(dá)能力是學(xué)生的三大核心能力.反觀當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，脫離教材現(xiàn)象比較普遍，學(xué)生不用數(shù)學(xué)教科書是常事.主要原因是：上課時(shí)教師沒要求學(xué)生使用教科書，概念、定理由教師在黑板上抄一下(或放PPT)，學(xué)生看著、摘著，公式由教師推一遍，結(jié)論學(xué)生看著、背著，接下去的所有功夫就在題目上.學(xué)生手中只有練習(xí)冊(cè)、復(fù)習(xí)講義.即使少數(shù)學(xué)生讀教材，也只是停留在對(duì)本內(nèi)容的大概了解上，沒有全面去理解，更不會(huì)查閱這塊內(nèi)容的歷史發(fā)展過程，學(xué)生不僅對(duì)知識(shí)缺少整體的認(rèn)識(shí)和深度的理解，而且閱讀理解能力被削弱.面對(duì)類似北京卷這樣的試題，好多考生存在畏縮心理，或因讀不懂題意就直接放棄.數(shù)學(xué)的每個(gè)知識(shí)都有其產(chǎn)生的背景、形成和發(fā)展的過程.但在教材中表面上看處于一個(gè)靜態(tài),而其背后暗流涌動(dòng)，蘊(yùn)藏著人類文明和智慧.

如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力？主編劉紹學(xué)先生說：“問題使我們的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更生動(dòng)、更富探索性.要善于提問,學(xué)會(huì)提問,凡事問個(gè)為什么.”因此,學(xué)習(xí)概念要會(huì)問“為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)，它從哪里來，有無與它類似或相聯(lián)系的知識(shí)”;學(xué)習(xí)性質(zhì)、定理要會(huì)問“條件和結(jié)論是什么，結(jié)論和證法怎樣發(fā)現(xiàn)的，有無其他證法，能否推廣”;學(xué)習(xí)例題要會(huì)問“為什么要這樣做，怎樣想到這樣做，有無更好的方法，哪些條件可以改變，結(jié)論會(huì)怎樣改變”;做習(xí)題要會(huì)問“已知了什么，要我做什么，需要什么，還缺什么，有無其他做法，與熟悉的習(xí)題有何區(qū)別和聯(lián)系”;章小結(jié)要會(huì)問“整章的知識(shí)結(jié)構(gòu)怎樣，有哪些主要的數(shù)學(xué)思想方法，與各章有什么聯(lián)系，本章哪些題目是值得難忘的”.

總之,教師通過精心地組織教學(xué),讓學(xué)生主動(dòng)對(duì)知識(shí)進(jìn)行延伸和拓展，通過提、讀、查、議、辯等一系列活動(dòng)，不斷深入思辨，自己發(fā)現(xiàn)問題，尋找問題的答案.這樣不僅實(shí)現(xiàn)學(xué)會(huì)“問”，學(xué)會(huì)“思”，學(xué)會(huì)“用”,更有利于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)新精神.

3.3 重視高考與育人融合

高考是為高校選材育人提供重要依據(jù)之一，這6道題突出考查了數(shù)學(xué)思維能力、邏輯推理能力、分析問題和解決問題能力，這也是數(shù)學(xué)高考的重要任務(wù)之一.北京市和浙江省這3年都將數(shù)列作為高考?jí)狠S題，考生得分不易.當(dāng)下教育被功利化對(duì)待,勢(shì)必有一部分人高考時(shí)會(huì)放棄這道題，這樣必然導(dǎo)致平時(shí)的教學(xué)輕視數(shù)列.對(duì)于少數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生，他們會(huì)花較多時(shí)間去做一定難度的數(shù)列綜合題,如果高考試題的模式不改變，僅停留在式子變換技巧上，恐怕高考的指揮棒會(huì)對(duì)數(shù)列的教學(xué)產(chǎn)生誤導(dǎo)作用.良好的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是要教給學(xué)生各種解題技巧，去獲取高考好的分?jǐn)?shù)，更重要的是幫助學(xué)生建立科學(xué)思維的準(zhǔn)則和方法，以及培養(yǎng)邏輯分析問題的能力，讓數(shù)學(xué)被多數(shù)人所理解、所熟悉，而不是被少數(shù)人所掌握、所享用.

數(shù)列在現(xiàn)實(shí)世界中無處不在，與人們的生活息息相關(guān)，并且數(shù)列又有悠久的發(fā)展歷史,因此,數(shù)列教學(xué)必須做到高考與育人相融合.課堂上要增加時(shí)代氣息的素材，滲透數(shù)學(xué)人文精神,讓新課改的理念在課堂中落地生根.