“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”在解一類不等式最值中的妙用*

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(紹興市第一中學(xué),浙江 紹興 312000)

在各地各類試卷中，以不等式或函數(shù)為背景的最值問題經(jīng)常出現(xiàn)，不少學(xué)生對此類題型面露難色.以不等式或函數(shù)為背景的一般解法有：不等式法、三角換元、整體換元、判別式法等等，而化齊次法是一種通過構(gòu)造等式或不等式，使得兩邊各項的次數(shù)相等，即齊次式，從而實現(xiàn)解題目標(biāo)的一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略.此法對二元齊次求最值問題有通性，我們一起來探索其中的樂趣.

1 代數(shù)背景下的化齊次法

例1設(shè)實數(shù)x，y滿足4x2+y2-8=2xy，則4x2+y2的最小值為______.

(浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2017年11月高三數(shù)學(xué)期中考試第14題)

分析1本題看似普通，4x2+y2在等式中已經(jīng)出現(xiàn)，若能將2xy也用4x2+y2替換，則利用重要不等式即可解決.

由基本不等式可知

(1)

根據(jù)式(1)和已知式，可得

4x2+y2≤16，

發(fā)現(xiàn)求出了最大值并不是題目所需要的最小值.

可見不等號方向出現(xiàn)問題，那么問題究竟在哪里？

仔細(xì)觀察已知式，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)4x2+y2取到最小值時，實數(shù)x，y必然一正一負(fù)，而式(1)中的不等式更適用于同號的x，y，因而放縮方向出現(xiàn)了問題.只需將式(1)改寫成式(2)，

(2)

思考1本題看似普通實則暗藏玄機，若將4x2+y2改成求3x2+y2，似乎沒這么湊巧了！而在實數(shù)x，y的大前提之下，貿(mào)然使用基本不等式也會出現(xiàn)不必要的問題.那么這類題是否存在通解呢？

分析2觀察題干，易知題中給出的條件是一個二元二次方程，并且每項次數(shù)都為2，所求項次數(shù)也為2.

設(shè)t=4x2+y2≥0，則已知式可變形為

4x2+y2-2xy=8，

等號兩邊同時乘以t，得

(4x2+y2-2xy)·t=8·t=8(4x2+y2),

等號左右兩邊都是二元二次方程.當(dāng)y=0時，方程有解，求得t=8；當(dāng)y≠0時，變形得

(4t-32)x2-2txy+(t-8)y2=0，

即

Δ=(2t)2-4(4t-32)(t-8)≥0，

得

思考2本題中的4x2+y2-8=2xy，4x2+y2=t其實為非標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓讓很多學(xué)生望而生畏，更別說其他橢圓了.而“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”巧妙地避開了幾何圖形，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有解的問題，簡單易懂，它適用于各項次數(shù)一樣的式子.當(dāng)然本題還可以采用二次整體換元法、三角換元法等.

筆者本以為例1中的各項次數(shù)都是2是湊巧，卻在無意間發(fā)現(xiàn)此類題目早已出現(xiàn)在各自主招生考試中，也有同行通過拉格朗日乘數(shù)法、構(gòu)造齊次分式等方法解決此類問題.但“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”更簡單易懂.

變式1已知實數(shù)x，y，滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是______.

(2017年清華大學(xué)自主招生試題第12題)

解設(shè)t=2x2+y2≥0，在方程5x2-y2-4xy=5的兩邊同時乘以t，得

(5x2-y2-4xy)·t=5(2x2+y2)，

等號左右兩邊都是二元二次方程.當(dāng)y=0時，方程有解，求得t=2；當(dāng)y≠0時，變形得

(5t-10)x2-4txy-(t+5)y2=0，

即

Δ=(4t)2+4(5t-10)(t+5)≥0，

得

思考3從題目到解答，例1和變式1幾乎一模一樣.但對于變式1，不等式法顯然無法直接配湊出來，體現(xiàn)了“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”在此類問題中的優(yōu)越性，只需各項次數(shù)一樣，其他沒有任何要求.

變式2[1]若x2+2xy-y2=7(其中x,y∈R)，則x2+y2的最大值為______.

變式3若6x2+4y2+6xy=1，其中x,y∈R，則x2-y2的最大值為______.

(2017年浙江省寧波市數(shù)學(xué)高考模擬試題第17題)

筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)此類題型受到了很多命題教師的青睞，拋開幾何背景直接代數(shù)法求解，也成為了配齊次的一類題型.

2 幾何背景下的化齊次法

例2[2]設(shè)P為曲線2x2-5xy+2y2=1上的動點，求點P到原點的距離最小值.

解設(shè)t=x2+y2≥0，在方程2x2-5xy+2y2=1的左右兩邊同時乘以t，得

(2x2-5xy+2y2)·t=1·(x2+y2)，

Δ=(5t)2-4(2t-1)2≥0，

得

3 解不等式最值中的工具：化齊次法

事實上，“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”要求各項次數(shù)一樣，可以減弱成已知等式齊次，所求項齊次，方法仍然適用.

例3設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+xy+y2=1，則2x+y的最大值為______.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

分析本題短小精巧，可以從多個角度進(jìn)行研究，解法較多，不等式法也比較簡單．易知題中給出的條件是一個二元二次方程，并且每項次數(shù)都為2，問題中所求式2x+y每項次數(shù)都是1，能否用“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”呢？其實只要平方后即可實現(xiàn)問題和條件的齊次化形式．

解設(shè)t=(2x+y)2=4x2+4xy+y2≥0，在方程4x2+xy+y2=1的兩邊同時乘以t，得

(4x2+xy+y2)·t=1·(4x2+4xy+y2),

等號左右兩邊都是二元二次方程.當(dāng)y=0時，方程有解，求得t=1；當(dāng)y≠0時，變形得

Δ=(t-4)2-4(4t-4)(t-1)≥0，

得

思考4本題直接用基本不等式更快捷，但這也不失為一種通法，齊次即可使用，關(guān)鍵也是配湊齊次.

(2016年金華十校高三數(shù)學(xué)調(diào)研試題第16題)

分析本題看似與“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”無關(guān)，實則緊密相連.若對于向量的模長采用代數(shù)法，則可得一個各項次數(shù)為2的不等式和一個各項次數(shù)為2的等式，符合適用范圍，不妨嘗試一下.

設(shè)向量a,b的夾角為θ，由|xa+yb|=1可知

x2+2xycosθ+y2=1(其中xy≥0).

(3)

不等式兩邊同時乘以等式(3)，可化成齊次不等式，即

15(x2+4xy+4y2)≤64·1=64(x2+2xycosθ+y2)

對xy≥0恒成立.當(dāng)x=0時，方程有解，求得cosθ為任意值；當(dāng)x≠0時，等號左右兩邊都是二元二次不等式，變形得

綜上所述，以上高考試題、自主招生試題或模擬考試題，都是以不等式或函數(shù)為背景命制的最值問題.要順利地解決此類問題，需要選擇合適的解題途徑，利用積累歸納迅速形成方法，而不是考試期間一一嘗試.筆者給出“化齊次構(gòu)造二次函數(shù)法”的通法，其優(yōu)點在于通過對題目的“模式識別”，自助構(gòu)建合理恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，加強了學(xué)生對數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的理解和認(rèn)識，舉一反三，會看題，看懂題，會做題，化同題.

參考文獻(xiàn)

[1] 王耀．例談“化齊次法”在解高考題中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2014(Z3)：52-54．

[2] 王芳,李光?。P(guān)于拉格朗日乘數(shù)法的兩點注記[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017(7):39-40．