基于優(yōu)效課堂的數(shù)學(xué)概念課的課堂評價*
——以“函數(shù)的單調(diào)性”新授課的評價為例

☉廣東省廣州市第八十六中學(xué) 胡革新

如何評價課堂教學(xué)質(zhì)量，是值得研究的問題.高中數(shù)學(xué)概念課的課堂評價，基于高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的基本觀點、基本特征、教學(xué)策略、好課味道和好課標準［1-5］，旨在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念課的課堂評價量表.

筆者認為，高中數(shù)學(xué)概念課的課堂評價，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念課的課型特點，既要關(guān)注教師的課堂教學(xué)行為，又要重視學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)過程；通過課堂評價，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，幫助教師改進教學(xué).下面以“函數(shù)的單調(diào)性”的課堂評價為例，與同行分享.

一、高中數(shù)學(xué)概念課的評價依據(jù)

1.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的基本觀點

高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”要“為核心素養(yǎng)而教”、“以理性思維育人”，要彰顯數(shù)學(xué)的思維方式、洋溢數(shù)學(xué)的味道.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”追求“負擔輕、效率高、效益佳、質(zhì)量優(yōu)”，要求教師在遵循教學(xué)規(guī)律與學(xué)生認知規(guī)律的基礎(chǔ)上，實施“優(yōu)效教學(xué)”，促進學(xué)生“優(yōu)效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”，在適度的時間和精力投入后實現(xiàn)課堂教學(xué)目標，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的基本特征

基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的基本特征是：核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的教學(xué)目標設(shè)置，教學(xué)策略的適切化，教學(xué)過程的最優(yōu)化，課堂評價的多元化.

3.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的教學(xué)策略

高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的教學(xué)策略有：目標定向、面向全體、問題驅(qū)動、過程展示、變式探究、方法提煉、文化熏陶.

4.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的好課味道

高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的好課有三種味道：數(shù)學(xué)味、文化味和藝術(shù)味.數(shù)學(xué)味是指數(shù)學(xué)課要展現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”過程、以數(shù)學(xué)的方式育人，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)化.文化味是指數(shù)學(xué)課要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，以數(shù)學(xué)的理性思維育人，其本質(zhì)是理性思維.藝術(shù)味是指數(shù)學(xué)課要講究教學(xué)藝術(shù)，既要獲得數(shù)學(xué)“四基”又要展現(xiàn)“再創(chuàng)造”過程，形成情感體驗，其本質(zhì)在于創(chuàng)新.

5.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的好課標準

（1）教學(xué)目標明確具體、動態(tài)生成、適宜測評.

（2）教學(xué)策略能有效促進學(xué)生的優(yōu)效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

（3）教學(xué)活動合理有序、關(guān)注個性、講究效率.

（4）學(xué)習(xí)活動狀態(tài)優(yōu)良、參與充分、注重創(chuàng)新.

二、高中數(shù)學(xué)概念課的評價量表

1.高中數(shù)學(xué)概念課的課型特征

數(shù)學(xué)概念課是以獲得概念為主的課型.數(shù)學(xué)概念因客觀現(xiàn)實或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要而產(chǎn)生，是數(shù)學(xué)思維的基本形式，是反映空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的理性認識.從概念學(xué)習(xí)的心理角度來看，數(shù)學(xué)概念具有抽象性、多元性、層次性和系統(tǒng)性等基本特征.從教學(xué)過程來看，數(shù)學(xué)概念教學(xué)包括概念的引入、概念的明確與理解、概念的鞏固和運用等三個階段，因此數(shù)學(xué)概念課的一般教學(xué)結(jié)構(gòu)是：引入概念—理解概念—運用概念—反思提煉.

（1）教學(xué)目標.數(shù)學(xué)概念課的主要教學(xué)目標是幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念，并在概念學(xué)習(xí)過程中形成抽象概括能力、理解數(shù)學(xué)方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、感受數(shù)學(xué)文化.

（2）教學(xué)要求.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念學(xué)習(xí)過程，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，把握概念中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般要求是：通過概念的引入，讓學(xué)生認識概念的來龍去脈；通過概念的明確，讓學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延，掌握概念的名稱、定義、示例、屬性、符號表示等；通過概念的運用，讓學(xué)生建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要注重變式，在變式中掌握概念的本質(zhì).［6］

（3）教學(xué)策略.概念形成與概念同化是掌握概念的兩種基本教學(xué)策略.概念形成是由概念原型概括出新概念.概念同化是由已有概念獲得新概念，直接用數(shù)學(xué)語言給出數(shù)學(xué)概念.也可用概念形成與概念同化相結(jié)合的方式獲得數(shù)學(xué)概念.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，宜將概念形成與概念同化相結(jié)合，以促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解.

2.高中數(shù)學(xué)概念課的課堂評價量表

依據(jù)高中數(shù)學(xué)概念課的課型特征，基于高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的基本觀點、基本特征、教學(xué)策略、好課味道和好課標準，我們構(gòu)建出如下高中數(shù)學(xué)概念課的課堂評價表（表1）.

表1 高中數(shù)學(xué)概念課的課堂評價表

說明：從教師行為、學(xué)生行為兩個維度進行量化評價（各50分，滿分100分），每個維度又分三個一級指標（目標占5分、過程占30分、效果占15分），每個一級指標又分為幾個二級指標（評價要點），共17個二級指標，每個二級指標占3分（其中第2個二級指標占2分），評價要點中優(yōu)秀、良好、一般所賦分值均為該等級上限.

三、高中數(shù)學(xué)概念課的評價案例

下面以“函數(shù)的單調(diào)性”新授課為例，呈現(xiàn)高中數(shù)學(xué)概念課的評價實踐.

1.課堂實錄

上課伊始，教師導(dǎo)入新授概念（問題1）.

問題1：觀察函數(shù)f（x）=x+1、f（x）=-x+1、f（x）=x2+1的圖像，從左到右看，函數(shù)f（x）有何圖像特征？函數(shù)f（x）隨x增大如何的變化？

學(xué)生1：從左到右看，函數(shù)f（x）=x+1的圖像呈“上升”趨勢，函數(shù)f（x）隨x增大而增大.

學(xué)生2：從左到右看，函數(shù)f（x）=-x+1的圖像呈“下降”趨勢，函數(shù)f（x）隨x增大而減小.

學(xué)生3：從左到右看，函數(shù)f（x）=x2+1的圖像在區(qū)間（-∞，0）上呈“下降”趨勢，函數(shù)f（x）隨x增大而減小；在區(qū)間（0，+∞）上呈“上升”趨勢，函數(shù)f（x）隨x增大而增大.

在學(xué)生回答基礎(chǔ)上，教師給出增函數(shù)、減函數(shù)的名稱（圖形語言）：

在數(shù)學(xué)中，通常把“圖像從左向右呈上升趨勢”的函數(shù)稱為增函數(shù)，而把“圖像從左向右呈下降趨勢”的函數(shù)稱為減函數(shù).

接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念定義（問題2）.

問題2：依據(jù)函數(shù)圖像的“上升”“下降”趨勢，如何定義增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學(xué)生4：若函數(shù)f（x）隨x的增大而增大，則稱f（x）為增函數(shù).

學(xué)生5：若函數(shù)f（x）隨x的增大而減小，則稱f（x）為減函數(shù).

緊接著，教師呈現(xiàn)問題3.

問題3：如果將“f（x）隨x的增大而增大”作為增函數(shù)的定義，能用定義證明函數(shù)f（x）=x2+1在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)嗎？

學(xué)生：這樣的定義，沒法運算與推理.

接下來，教師呈現(xiàn)問題4.

問題4：如何定量刻畫二次函數(shù)f（x）=x2+1“在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）隨x的增大而增大”？能列舉一些具體數(shù)據(jù)嗎？

學(xué)生6：f（1）=2，f（2）=5，f（1）＜f（2）.

學(xué)生7：f（2）=5，f（3）=10，f（2）＜f（3）.

教師追問：這樣的列舉能刻畫增函數(shù)的本質(zhì)嗎？用什么辦法來定量刻畫呢？

眾生：不知道如何定量刻畫f（x）隨x的增大而增大.

教師引導(dǎo)：

①“增大”意味著比較，需要建立兩個量的大小關(guān)系；

②“x的增大”的符號化：用兩個自變量的大小關(guān)系表述為x1＜x2；

③“f（x）增大”的符號化：f（x1）＜f（x2）；

④“隨”字的符號化：當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2）；

⑤“在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）隨x的增大而增大”的符號化：對任意的兩個自變量x1，x2∈（0，+∞），當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）.

這樣的定量刻畫方式就可進行運算與推理了.

接下來，教師呈現(xiàn)問題5.

問題5：若函數(shù)f（x）在定義域I內(nèi)某個區(qū)間的圖像如圖1所示，能用符號語言來表示函數(shù)f（x）的變化趨勢嗎？

圖1

在學(xué)生嘗試基礎(chǔ)上，教師給出函數(shù)單調(diào)性的形式化定義：

一般地，如果函數(shù)f（x）對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù).

如果函數(shù)f（x）對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù).

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

教師強調(diào)：上述定義中包含區(qū)間、任意、增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間等5個關(guān)鍵詞.

在獲得增函數(shù)、減函數(shù)的概念后，教師組織變式訓(xùn)練（問題6）.問題6：證明函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù).

生眾：運用減函數(shù)定義解題（過程從略）.

教師規(guī)范推理過程后，引導(dǎo)學(xué)生變式訓(xùn)練：

變式1：證明函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù).

變式2：函數(shù)在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論.

變式3：證明函數(shù)（f x）=x2+1在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù).

變式4：證明函數(shù)在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù).

接下來，教師呈現(xiàn)問題7.

問題7：函數(shù)y=（x-1）2在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)嗎？請說明理由.

學(xué)生積極思考，合作交流，得出問題7的答案.

接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生探究概念變式（問題8和問題9）.

問題8：如果函數(shù)f（x）對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）-f（x2）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)嗎？

問題9：如果函數(shù)f（x）對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）-f（x2）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)嗎？

生眾：思考問題8和問題9的答案.

學(xué)生8：如果函數(shù)f（x）對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2∈D，當x1≠x2時，（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù).

學(xué)生9：如果函數(shù)f（x）對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2∈D，當x1≠x2時函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù).

教師：很好！這兩位同學(xué)善于創(chuàng)新.

下課時間臨近，教師引導(dǎo)學(xué)生反思（問題10）.

問題10：回顧上述學(xué)習(xí)過程，有何感悟？

學(xué)生反思函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)過程，概括出定義法證明單調(diào)性的操作步驟：取值定序—作差變形—判斷符號—給出結(jié)論.

教師布置課外作業(yè)后，結(jié)束了本節(jié)課.

2.評價記錄

（1）對教學(xué)目標與學(xué)習(xí)目標的量化評價.

通過查閱教學(xué)設(shè)計、觀察課堂表現(xiàn)，教學(xué)目標定位準確，學(xué)習(xí)目標清晰，評定為10分.

（2）對教學(xué)過程與學(xué)習(xí)過程的量化評價.

從教學(xué)過程來看，教師提供概念背景、引導(dǎo)觀察歸納、揭示內(nèi)涵外延、探究概念變式、組織變式訓(xùn)練、提供教學(xué)反饋；從學(xué)習(xí)過程來看，學(xué)生提取關(guān)鍵屬性、明確概念定義、表征數(shù)學(xué)概念、運用概念解題、舉出正反實例.問題1引導(dǎo)學(xué)生觀察三個具體函數(shù)的圖像“上升”“下降”特征，學(xué)生明白不同函數(shù)有不同的圖像特征；問題2引領(lǐng)學(xué)生描述函數(shù)圖像“上升”“下降”的變化趨勢，學(xué)生給出增函數(shù)、減函數(shù)的描述性定義；問題3引起認知沖突，學(xué)生體驗到形式化定義的必要性；問題4從定量刻畫入手，學(xué)生感悟到定量刻畫函數(shù)f（x）=x2+1在區(qū)間（0，+∞）上隨x的增大而增大的方法；問題5搭建腳手架，引領(lǐng)學(xué)生獲得增函數(shù)、減函數(shù)的形式化定義；問題6提供運用增函數(shù)和減函數(shù)定義的教學(xué)情境，通過4個變式來強化定義的正向運用，學(xué)生理解單調(diào)性概念，培養(yǎng)了邏輯推理素養(yǎng)；問題7通過反例變式，深化學(xué)生的概念理解，培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維品質(zhì)；問題8、問題9創(chuàng)設(shè)探究概念變式的教學(xué)情境，引領(lǐng)學(xué)生提出新觀點、新命題，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識；問題10關(guān)注數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，有利于培養(yǎng)學(xué)生的元認知能力.

總之，教師著力于問題驅(qū)動、建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性概念，學(xué)生經(jīng)歷圖形語言、文字語言向符號語言轉(zhuǎn)換的過程，體會到從具體到抽象、從定性到定量的研究方法.但教學(xué)媒體運用不夠，學(xué)習(xí)方式較為單一，因此，教學(xué)過程與學(xué)習(xí)過程的量化評價為54分.

（3）對教學(xué)效果與學(xué)習(xí)效果的量化評價.

從教學(xué)效果與學(xué)習(xí)效果來看，教學(xué)目標達成良好，獲得單調(diào)性概念.教師注重培養(yǎng)抽象素養(yǎng)和創(chuàng)新意識，變式練習(xí)適度，注重激勵評價；學(xué)生形成抽象意識，感悟思想方法，作業(yè)正確率較高，發(fā)表個人見解.因此，在教學(xué)效果與學(xué)習(xí)效果的量化評價中，評定為28分.

綜上所述，總分評定為92分，評定等級為優(yōu)秀.

課堂評價，難度較大.不同的教學(xué)理念，有不同的課堂評價標準.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引領(lǐng)下，高中數(shù)學(xué)概念課的課堂評價值得深入探究.

1.肖凌戇.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”的理論建構(gòu)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2015（12）.

2.肖凌戇.數(shù)學(xué)教學(xué)要“為思維而教”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（1/2）.

3.肖凌戇.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)優(yōu)效課堂的基本特征［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2017（12）.

4.胡革新，肖凌戇.高中數(shù)學(xué)優(yōu)效課堂的好課味道［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2018（3）.

5.肖凌戇，張先龍.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”研究［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2017.

6.肖凌戇.從被動接受學(xué)習(xí)走向變式創(chuàng)新學(xué)習(xí)——中學(xué)數(shù)學(xué)變式創(chuàng)新學(xué)習(xí)模式的探索［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2003（10）.F