有限單元法在彎曲內(nèi)力和彎曲應(yīng)力教學(xué)中的應(yīng)用

陳俊旗 白楊 咸慶軍

摘要：材料力學(xué)課程是工科專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，力學(xué)概念比較多，有些內(nèi)容較為抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候有一定的畏難情緒。在課堂教學(xué)中引入有限單元法，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。以梁的彎曲內(nèi)力和彎曲應(yīng)力的教學(xué)為例，介紹有限單元法輔助教學(xué)的過程，學(xué)生可以更好地理解梁彎曲時(shí)的內(nèi)力和應(yīng)力，尤其對彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力有一個(gè)更為直觀的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué)：有限單元法：彎曲內(nèi)力：彎曲應(yīng)力

材料力學(xué)課程是土木工程、機(jī)械工程等工科專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是學(xué)生由高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理等基礎(chǔ)課向?qū)I(yè)課過渡的重要課程。通過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生對桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題等有了明確的認(rèn)識(shí)，學(xué)生能更快地掌握必要的基礎(chǔ)理論知識(shí)與計(jì)算能力、分析能力、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ取?/p>

傳統(tǒng)的教學(xué)方法是教師在課堂上講授基本概念、推導(dǎo)公式、講解習(xí)題等。材料力學(xué)課程概念多、公式多、計(jì)算多，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候有一定的畏難情緒，有時(shí)概念可能比較抽象，如應(yīng)力、應(yīng)變等概念，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣就會(huì)下降。現(xiàn)在大型有限元軟件的圖形界面很豐富，教師可以用各種云圖形象展示桿件受力后的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、變形等，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的材料力學(xué)概念。

一、彎曲教學(xué)

在整個(gè)材料力學(xué)課程中，梁的彎曲是學(xué)生需要熟練掌握的重要內(nèi)容。在外力作用下，梁要有足夠的強(qiáng)度和剛度。比如，在鋼結(jié)構(gòu)建筑中，梁的正應(yīng)力不能超過屈服強(qiáng)度，否則將引起結(jié)構(gòu)的破壞，梁的變形也不宜過大，不然將使人員產(chǎn)生心理不適，或者導(dǎo)致粉刷層的開裂。又如，機(jī)械結(jié)構(gòu)中的軸承等構(gòu)件要保證有足夠的精度，不能變形過大。

在傳統(tǒng)教學(xué)中教師首先引入梁彎曲的工程實(shí)例，然后講解彎曲變形的特點(diǎn)，引入對稱彎曲的概念和梁的計(jì)算簡圖，接著進(jìn)行梁內(nèi)力計(jì)算和彎矩圖的繪制，再從幾何方面、物理方面、靜力學(xué)方面推導(dǎo)梁彎曲的正應(yīng)力公式以及切應(yīng)力公式，最后講解積分法和疊加法求解彎曲變形的方法。整個(gè)過程涉及許多抽象的概念，學(xué)生往往注意力不夠集中，缺乏興趣，教師教學(xué)效果不太理想。有限單元法的引入，可以幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更好地掌握相關(guān)知識(shí)，提前接觸相關(guān)專業(yè)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力。

二、彎曲內(nèi)力分析

彎曲內(nèi)力是梁彎曲教學(xué)的重要內(nèi)容，課堂講解一般首先介紹截面法求內(nèi)力，給出剪力和彎矩的正負(fù)規(guī)定，然后講解利用剪力方程和彎矩方程的方法來繪制內(nèi)力圖，給出簡支梁、懸臂梁受到簡單荷載作用時(shí)內(nèi)力圖的繪制方法，接著講解利用微分關(guān)系和積分關(guān)系進(jìn)行內(nèi)力圖的繪制。學(xué)生雖然進(jìn)行了較多的練習(xí)，但往往對內(nèi)力還沒有直觀認(rèn)識(shí)，感覺學(xué)習(xí)過程枯燥乏味。借助有限元軟件對懸臂梁、簡支梁等進(jìn)行受力分析，繪制內(nèi)力圖，可進(jìn)一步豐富課堂教學(xué)。

三、彎曲應(yīng)力分析

推導(dǎo)梁彎曲正應(yīng)力公式時(shí)，一般先推導(dǎo)純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式，然后推廣應(yīng)用到橫力彎曲中。純彎曲的正應(yīng)力推導(dǎo)，一般考慮幾何、物理、靜力學(xué)三個(gè)方面，先由梁的外部變形情況得到橫截面上任一點(diǎn)的應(yīng)變分布規(guī)律，然后根據(jù)胡克定律得到橫截面正應(yīng)力的分布規(guī)律，最后根據(jù)靜力學(xué)知識(shí)得到彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式。整個(gè)推導(dǎo)過程理論性比較強(qiáng).學(xué)生在聽課過程中容易分神，沒有學(xué)習(xí)積極性。借助有限單元法的輔助教學(xué)，利用商業(yè)軟件較為強(qiáng)大的后處理功能，把梁的應(yīng)力分布情況用色彩變化的應(yīng)力云圖表現(xiàn)出來，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、有限單元法輔助彎曲內(nèi)力教學(xué)過程

第一，對工程問題進(jìn)行描述，建立力學(xué)模型；第二，讓學(xué)生得出問題的解析解，繪制內(nèi)力圖；第三，利用有限單元法得到問題的數(shù)值解，繪制內(nèi)力圖；第四，對解析解和數(shù)值解進(jìn)行比較分析：第五，評估學(xué)生對本節(jié)課程的意見，改進(jìn)下一節(jié)課。

利用有限元軟件可以繪制出簡支梁受均布荷載下的剪力圖和彎矩圖，如圖4所示。利用豐富的色彩顯示，對內(nèi)力圖進(jìn)行后處理，清晰地顯示出剪力和彎矩的變化規(guī)律。剪力由左側(cè)的正值線性變化到左側(cè)的負(fù)值，彎矩在跨中位置處有最大值，靠近支座處彎矩趨近于零。

利用材料力學(xué)公式計(jì)算出彎矩值，并與有限單元法的結(jié)果進(jìn)行比較，如下表所示。兩者有一定的誤差，這是由于有限元計(jì)算結(jié)果是一種無限逼近的近似結(jié)果，隨著網(wǎng)格加密，誤差會(huì)進(jìn)一步減小。

五、有限單元法輔助彎曲應(yīng)力教學(xué)過程

根據(jù)彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式，簡支梁受到均布荷載作用時(shí)，最大正應(yīng)力應(yīng)該位于跨中橫截面上下邊緣位置，其值為：

利用有限元程序繪制出均布荷載作用下簡支梁的正應(yīng)力云圖，如圖5所示，顯示效果更為直觀，不同的顏色代表不同的應(yīng)力值，可以更直觀地看到正應(yīng)力的分布特征，幫助學(xué)生更清晰直觀地認(rèn)識(shí)彎曲應(yīng)力。

由圖5可見，梁彎曲正應(yīng)力最大值也在跨中橫截面邊緣處，與解析解所求出的值相一致。圖5所示的應(yīng)力云圖清晰地反映了應(yīng)力的變化趨勢，跨中位置橫截面從下部的拉應(yīng)力區(qū)域變化到上部的壓應(yīng)力區(qū)域，利用顏色的漸進(jìn)變化很好地表現(xiàn)了橫截面上應(yīng)力的變化趨勢，幫助學(xué)生理解橫截面正應(yīng)力的分布規(guī)律。

六、結(jié)論

通過在課堂上引入有限單元法輔助教學(xué)，學(xué)生可以更好地理解梁彎曲時(shí)的內(nèi)力和應(yīng)力，尤其對彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力有一個(gè)更為直觀的認(rèn)識(shí)。學(xué)生既學(xué)習(xí)了彎曲的基本理論，又學(xué)習(xí)了如何利用有限單元法得到近似結(jié)果，進(jìn)一步提高了學(xué)習(xí)力學(xué)課程的興趣。