基于動態(tài)性能的坐標(biāo)機橋框立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

0 引言

移動橋式三坐標(biāo)測量機，以簡單、緊湊、較好的剛度等優(yōu)點而具有比其它結(jié)構(gòu)形式更為廣泛的應(yīng)用。其中橋框是測量機中最為關(guān)鍵的受力構(gòu)件，它的強度和剛度直接影響了測量機的精度以及壽命。以往的基于強度的設(shè)計計算難以得到最佳的動態(tài)性能，無法確保測量機具有最佳的工作性能，在整體重量上以及動態(tài)性能上還具有很大的優(yōu)化空間。因此，對橋框中的部件進行精確、合理、科學(xué)的計算對測量機結(jié)構(gòu)設(shè)計而言具有十分重要的意義。

在眾多的機床與測量設(shè)備的結(jié)構(gòu)件性能優(yōu)化的研究中，多數(shù)學(xué)者只停留在對結(jié)構(gòu)的單件進行優(yōu)化，并且優(yōu)化的方式多是通過類似結(jié)構(gòu)的比對、經(jīng)驗設(shè)計等，這樣的方式不僅缺乏詳細的結(jié)構(gòu)設(shè)計流程以及理論依據(jù)支撐，而且缺乏對動態(tài)性能的分析和優(yōu)化[1～4]。

現(xiàn)代設(shè)計方法中，基于有限元仿真的動態(tài)設(shè)計方法得到了廣泛的認(rèn)可。它不僅能在設(shè)計初期對結(jié)構(gòu)的動靜態(tài)性能進行分析，還能通過一系列優(yōu)化算法求解得到設(shè)計人員的設(shè)計優(yōu)化目標(biāo)，大大減少了設(shè)計周期，不僅如此，得到的設(shè)計結(jié)果比傳統(tǒng)的靜態(tài)設(shè)計具有更好的動靜態(tài)特性，結(jié)構(gòu)更加可靠。

1 坐標(biāo)機橋框動力學(xué)分析

1.1 坐標(biāo)機橋框模型簡化

如圖1所示為移動橋式坐標(biāo)機的結(jié)構(gòu)示意圖，移動橋框主要由左立柱、右立柱、橫梁構(gòu)成，左右立柱與橫梁之間用螺栓連接，立柱與工作臺之間采用空氣靜壓軸承潤滑。

將坐標(biāo)機的框架看作為由質(zhì)量m、彈簧k和阻尼c組成的振動系統(tǒng)，如圖2所示，其運動方程為：

其中，[M]為橋框結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；[C]為橋框結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣；[K]為橋框結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；x為橋框結(jié)構(gòu)的位移；為橋框結(jié)構(gòu)的加速度陣；為橋框結(jié)構(gòu)的速度向量。

忽略阻尼的影響，即式(1)中的第二項為0，其特征方程為：

對式(2)進行求解，得到n個ω的互異正根ωi（i=1，2，…，n），將其從小到大依次排列分別為系統(tǒng)的各階固有頻率，其值為：

由式(3)中可以看出，各階固有頻率與質(zhì)量和剛度有十分密切的關(guān)系，固有頻率可通過改變結(jié)構(gòu)的靜剛度與質(zhì)量來決定。一般而言，固有頻率常作為評價結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的重要參數(shù)，固有頻率越高，結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能越好，越不容易發(fā)生共振現(xiàn)象，結(jié)構(gòu)也就越穩(wěn)定。因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計時往往盡可能將系統(tǒng)的第一階固有頻率值高于環(huán)境的激勵頻率，即ωi可以作為結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計一個優(yōu)化目標(biāo)，改善結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能。

圖1 移動橋式坐標(biāo)機結(jié)構(gòu)圖

圖2 橋框振動系統(tǒng)簡圖

1.2 坐標(biāo)機橋框動力學(xué)分析

坐標(biāo)機的實際機構(gòu)模型中，存在許多微小零件和結(jié)構(gòu)，比如倒角、小孔、圓角、凸臺、凹槽和過渡面等，這些結(jié)構(gòu)在網(wǎng)格劃分時加大了網(wǎng)格劃分難度和工作量，因此將這一部分零件和結(jié)構(gòu)簡化處理，減少有限元模型網(wǎng)格劃分工作量。而根據(jù)圣維南原理，局部結(jié)構(gòu)差異對整體力學(xué)性能影響較小，對有限元分析而言影響可以忽略。

坐標(biāo)機橫梁與左右立柱之間采用螺栓連接，立柱與工作臺之間采用空氣靜壓軸承潤滑，這兩個結(jié)合面處存在著接觸剛度和接觸阻尼，它和機械結(jié)構(gòu)的靜特性、振動與振動控制及其動態(tài)特性都存在著十分密切的關(guān)系[5]。因此為了更準(zhǔn)確的獲得坐標(biāo)機橋框的動力學(xué)分析結(jié)果，必須考慮這兩個結(jié)合面對模態(tài)分析的影響。

橫梁與立柱之間采用螺栓的固定連接形式，對于螺栓結(jié)合面處采用彈簧-阻尼單元進行等效處理，等效剛度采用經(jīng)驗公式計算得到[6]。其結(jié)合面動力學(xué)模型如圖3(a)所示。如圖所示，螺栓固定結(jié)合面間的采用彈簧-阻尼模型等效模擬螺栓的連接剛度與阻尼。用Kx、Ky、Kz分別表示三個方向的連接剛度，Cx、Cy、Cz分別表示三個方向上的阻尼。如表1所示為根據(jù)所選材料與3kN預(yù)緊力下的等效模型參數(shù)[7]。導(dǎo)軌結(jié)合面之間采用空氣靜壓軸承支承，其結(jié)合面動力學(xué)模型如圖3(b)所示。

圖3 坐標(biāo)機橋框結(jié)合面動力學(xué)模型示意圖

表1 螺栓結(jié)合面彈簧單元等效模型參數(shù)

坐標(biāo)機空氣靜壓導(dǎo)軌結(jié)合面處主要由氣膜提供剛度和阻尼，而阻尼在模態(tài)分析時對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型不產(chǎn)生影響。因此在對坐標(biāo)機靜壓導(dǎo)軌進行有限元建模時，將導(dǎo)軌上的每個滑塊與底座之間用彈簧單元代替而不考慮氣膜的阻尼影響，彈簧剛度設(shè)為靜壓滑塊的承載剛度，從而將靜壓導(dǎo)軌結(jié)合面的剛度等效為彈簧單元剛度[8]。

如表2所示為靜壓導(dǎo)軌結(jié)合面的等效模型參數(shù)。

表2 靜壓導(dǎo)軌結(jié)合面彈簧單元等效模型參數(shù)

除以上的螺栓固定結(jié)合面和靜壓導(dǎo)軌結(jié)合面外，其他結(jié)合面采用默認(rèn)的固結(jié)形式，且將相互之間無相對運動的零部件設(shè)為多體部件，減少運算量。利用ANSYS Workbench軟件對坐標(biāo)機整機橋框進行模態(tài)分析，得到其前六階固有頻率如表3所示，其相應(yīng)振型如圖4所示。

表3 整機前六階固有頻率及振型

由模態(tài)分析結(jié)果可以看出，坐標(biāo)機橋框在低階振動時立柱所表現(xiàn)出的振型變化最為明顯，當(dāng)坐標(biāo)機與外界激振頻率發(fā)生共振時，立柱結(jié)構(gòu)的變形對坐標(biāo)機的整體性能影響最大，因此，對立柱的優(yōu)化設(shè)計對改善整機橋框的動態(tài)性能而言至關(guān)重要。

圖4 整機前三階振型

2 橋框立柱的優(yōu)化設(shè)計

對橋框立柱的優(yōu)化設(shè)計分為兩個步驟，先對立柱結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，確定立柱的基本結(jié)構(gòu)和相關(guān)尺寸，再對立柱的尺寸進行參數(shù)優(yōu)化，最終得到最優(yōu)的設(shè)計方案。

2.1 橋框立柱的拓撲優(yōu)化

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是在給定的優(yōu)化設(shè)計區(qū)域，將結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，施加邊界條件，結(jié)合優(yōu)化算法，搜尋在設(shè)計中材料的最優(yōu)分布方案[9]。主要的拓撲優(yōu)化算法有變密度法、均勻化方法、ESO（漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法）和水平集方法等[10]。而對于計算機優(yōu)化而言，仿真軟件使用的算法主要為變密度法和均勻化法，本文將采用變密度法對立柱結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，將立柱材料的密度作為設(shè)計變量，優(yōu)化目標(biāo)設(shè)為立柱的剛度最大，用立柱結(jié)構(gòu)的變形表述，約束條件設(shè)為立柱的體積分?jǐn)?shù)與第一階固有頻率。其拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為[11]：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

式中，CW(x)表示立柱對應(yīng)工況下的總變形；wi為對應(yīng)工況下的靜態(tài)應(yīng)變能；ui(x)為對應(yīng)工況下節(jié)點的位移；K是立柱結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；Vi(x)是結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的設(shè)計區(qū)域體積；V0是結(jié)構(gòu)優(yōu)化前的設(shè)計區(qū)域體積；ω1是結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的第一階固有頻率，ω2是結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的第二階固有頻率；xk是第k個單元的密度。

圖5為原始模型立柱結(jié)構(gòu)，截面形式為田字型。在進行拓撲優(yōu)化時將其處理為實心結(jié)構(gòu)，并保持原始尺寸不變。

圖5 原始設(shè)計立柱機構(gòu)

在對立柱進行拓撲優(yōu)化之前，應(yīng)當(dāng)對模型的設(shè)計區(qū)域與非設(shè)計區(qū)域進行劃分。如圖6所示為已劃分好的網(wǎng)格模型。圖6中綠色網(wǎng)格部分為拓撲優(yōu)化設(shè)計區(qū)域，其他部分為非優(yōu)化區(qū)域。在使用Hyperworks軟件中的OptiStruct模塊進行優(yōu)化設(shè)計時，軟件將根據(jù)所設(shè)定的優(yōu)化目標(biāo)與約束條件對優(yōu)化區(qū)域進行拓撲優(yōu)化計算。

圖6 拓撲優(yōu)化區(qū)域劃分示意圖

OptiStruct模塊優(yōu)化計算完成后，在HyperView中查看優(yōu)化結(jié)果，設(shè)置相關(guān)顯示參數(shù)，只顯示偽密度0.3以上的單元，繪制結(jié)果如圖7所示。

圖7 HyperView優(yōu)化結(jié)果等值圖

從圖7的優(yōu)化結(jié)果可知，實心立柱經(jīng)優(yōu)化后形成了明顯的C字狀，且立柱根部存在兩個明顯的空洞，右立柱氣足連接處的材料分布相對復(fù)雜，存在不規(guī)則的筋和壁面，內(nèi)部形成空腔。

2.2 立柱結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)所得到的拓撲優(yōu)化結(jié)果，將新立柱結(jié)構(gòu)的整體框架設(shè)計為中空的C字狀，壁厚暫定為10mm，由于橫梁與立柱間存在螺栓連接，因此保留連接處的實體。在左右立柱根部分別設(shè)計一個圓形孔，直徑暫定為50mm。右立柱氣足處根據(jù)拓撲形貌設(shè)計成類似的形狀。擬定的新立柱設(shè)計結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 擬定新立柱設(shè)計結(jié)構(gòu)

圖8中，t1為左立柱拔模厚度，t2是右立柱拔模厚度，r1為左立柱圓孔半徑，r2為右立柱圓孔半徑。

各尺寸設(shè)計參數(shù)范圍如表4所示。

表4 尺寸設(shè)計參數(shù)取值范圍表

運用ANSYS workbench軟件對表中各參數(shù)進行立柱結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，得到各參數(shù)下橋框立柱結(jié)構(gòu)的一階固有頻率，結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知，隨著壁厚的增加，橋框立柱結(jié)構(gòu)的一階固有頻率呈小幅度的上升趨勢，同時，立柱的質(zhì)量也在不斷上升，然而氣浮軸承剛度隨著負載變化而發(fā)生變化，所選取尺寸應(yīng)考慮到氣浮軸承承載因素。對圖9(a)中的一階固有頻率與拔模厚度曲線進行求導(dǎo)，可知，拔模厚度在12mm時取得最佳綜合性能。因此，取t1=t2=12mm。r1與r2尺寸對橋框立柱結(jié)構(gòu)的一階固有頻率影響不明顯，由圖9(b)可知，當(dāng)r1與r2都取25mm時存在小幅度的突降，一階固有頻率隨r2從22.5mm處起明顯低于平均值，r1變化對橋框立柱的一階固有頻率影響較小?？紤]立柱開孔的加工工藝性與對固有頻率的影響，選擇開孔尺寸為r1=r2=22.5mm。

圖9 各尺寸參數(shù)對一階固有頻率影響圖

3 優(yōu)化結(jié)果驗證

下文對優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的性能進行對比驗證。優(yōu)化結(jié)果從質(zhì)量、橫梁中間位置負載情況下形變量、立柱固有頻率三個方面進行驗證。結(jié)果如表5所示。

表5 橋框立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后性能對比表

從表5所示的結(jié)果可以看出，橋框立柱結(jié)構(gòu)在優(yōu)化之后其總質(zhì)量得到了明顯的減少，總質(zhì)量相對減少了20.5%。然而優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)由于去除了原結(jié)構(gòu)中的加強筋，使得其在負載靜力下的形變量對比原結(jié)構(gòu)略微有所上升，但是對于整體而言基本可以忽略不計。優(yōu)化前后立柱性能變化最為明顯的是其一階固有頻率，從原來的42.372Hz提升到了68.13Hz，相比提高了60.79%；橋框立柱結(jié)構(gòu)的二階固有頻率也從原來的85.343Hz提升到了114.38Hz。

因此，從對比結(jié)果上來看，優(yōu)化后的橋框立柱結(jié)構(gòu)相比較原結(jié)構(gòu)而言具有明顯的性能提升，一方面大大減少了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，減少了材料成本；另一方面明顯提升了結(jié)構(gòu)的固有頻率，提高了橋框整體的抗干擾能力。

4 結(jié)論

1）通過對坐標(biāo)機橋框結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，其中考慮到了橋框結(jié)構(gòu)各部件間的結(jié)合面剛度對整機模態(tài)的影響，使得模態(tài)分析結(jié)果盡可能接近真實情況。模態(tài)分析結(jié)果顯示立柱結(jié)構(gòu)振型變化對坐標(biāo)機橋框的整體性能影響最大，因此將立柱結(jié)構(gòu)確定為優(yōu)化對象。

2）通過對立柱結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，得到了立柱的概念模型和傳力路徑，根據(jù)對概念模型的單元化處理得到了立柱結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計方案。

3）根據(jù)拓撲優(yōu)化得到的立柱初步設(shè)計方案對立柱結(jié)構(gòu)進行詳細的尺寸優(yōu)化設(shè)計，主要設(shè)計參數(shù)為立柱拔模厚度與立柱根部開孔半徑，通過分析各設(shè)計參數(shù)對橋框模態(tài)的影響，綜合考慮了負載對氣浮軸承的承載特性，得出了合理的設(shè)計參數(shù)。對尺寸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計后的橋框結(jié)構(gòu)進行靜力學(xué)分析與模態(tài)分析，將其與原結(jié)構(gòu)各性能指標(biāo)進行對比，結(jié)果顯示，立柱結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量下降了20.5%，一階固有頻率上升了60.79%，二階固有頻率上升了34.02%，表明此次結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計明顯地提升了橋框結(jié)構(gòu)的整體性能，也表明先對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化再進行尺寸參數(shù)優(yōu)化的設(shè)計方法比傳統(tǒng)的經(jīng)驗設(shè)計方法具有明顯的優(yōu)勢。

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