探索以圓為背景的綜合題解法

雪年志

[摘要]圓是初中幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)，圓的考查往往與三角形、三角函數(shù)和平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合，這類問題具有一定的綜合性.研究這類問題的解法具有一定實(shí)際意義.

[關(guān)鍵詞]圓；三角函數(shù)；綜合題；解法

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）08002102

作為初中幾何中的重要內(nèi)容，圓的考查在中考中是不可或缺的，與圓相關(guān)的考題在近年的中考中也是層出不窮.因此，對(duì)以圓為背景，與三角形相結(jié)合的問題，有必要做一個(gè)專題總結(jié).筆者在這方面做了一些研究.

一、聯(lián)系中考，原題再現(xiàn)

【例1】（2017年蘇州市中考第27題）如圖1，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點(diǎn)D在⊙O上，OD∥BC，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，連接CD，CD與OE交于點(diǎn)F.

（1）求證：△DOE∽△ABC；

（2）求證：∠ODF=∠BDE；

（3）連接OC，設(shè)△DOE的面積為S1，四邊形BCOD的面積為S2，若S1∶S2=2∶7，求sinA的值.

分析：

（1）由于AB是圓的直徑，而∠ACB是直徑所對(duì)的圓周角，所以ACB=90°，而DE⊥AB，∠DEO=90°，∠DEO=∠ACB.根據(jù)OD∥BC，可知∠DOE=∠CBA，所以兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等，所以△DOE∽△ABC.

（2）因?yàn)椤鱀OE∽△ABC，所以∠CAB=∠ODE=∠ODF+∠FDE，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，所以∠CAB=∠BDC，所以∠ODF+∠FDE=∠BDE+∠FDE，等式兩邊同時(shí)消去∠FDE，所以∠ODF=∠BDE.

本題主要考查以圓為背景的平面幾何知識(shí)，通過證明兩個(gè)三角形相似引出接下來的問題.第2問主要考查圓的相關(guān)性質(zhì).最后一問則具有一定的難度，但是只要認(rèn)真分析，也能夠很好地解決問題.通過圓與三角形的結(jié)合，深化了對(duì)初中數(shù)學(xué)中知識(shí)的考查效果，對(duì)學(xué)生的綜合能力提出了比較高的要求.

二、結(jié)合條件，巧添輔助線

由于圓的特殊性質(zhì)，許多條件都比較隱蔽，需要通過添加輔助線才能更好地利用這些條件.輔助線的添加能夠讓問題的解決變得更加簡(jiǎn)單，能夠起到事半功倍的效果.接下來的例題就是通過添加輔助線來解決.

【例2】（2017年甘肅省中考模擬題）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，ED、AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，EF是⊙O的切線.請(qǐng)問如果EB=32，且sin∠CFD=35，⊙O的半徑以及線段AE的長(zhǎng)各是多少？.

分析：

已知sin∠CFD和EB，求圓的半徑及AE，可以利用△ODF和∠AEF均為直角三角形的特殊性，用邊長(zhǎng)比值表示sin∠CFD的值.即

上述解題過程充分利用三角函數(shù)的定義建立圓內(nèi)線段的關(guān)系，并結(jié)合幾何性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)了問題的解答.通過結(jié)合題目中的已知條件，巧妙地添加輔助線，再利用同角直角三角形，通過三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，解決了問題.

三、結(jié)合坐標(biāo)軸，問題再深化

以圓為背景的問題也常常與平面直角坐標(biāo)軸相結(jié)

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本題根據(jù)單位圓的性質(zhì)，巧妙地將P點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)的形式表達(dá)出來，通過三角函數(shù)與圓的有機(jī)結(jié)合，通過點(diǎn)的坐標(biāo)將三角形的邊長(zhǎng)表示出來，再利用三角形的面積公式列出式子，巧妙地解決了問題，簡(jiǎn)化了解題過程，大大地提高解題效率.

對(duì)于以圓為載體的幾何題要充分利用圓的幾何性質(zhì)，通過添加輔助線，提取特殊圖形，利用坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，從而快速地解決.這類問題一般都具有一定難度，需要學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)才能解決問題.所以，學(xué)生在平時(shí)的復(fù)習(xí)中也要多做這類問題的練習(xí)，建立相應(yīng)的知識(shí)體系，才能做到以不變應(yīng)萬變.

[參考文獻(xiàn)]

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（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）