抓住特征突破圓錐曲線常見問題探討

曹燁

摘 要：圓錐曲線有中點弦問題、焦點三角形問題以及對于直線與圓錐曲線位置和圓錐曲線的最值問題等幾種特定的題型。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可根據(jù)幾何圖形、曲線方程和韋達定理等作為突破口，抓住特征突破圓錐曲線的常見問題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；常見問題；解決策略

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）08-0078-01

圓錐曲線有中點弦問題、焦點三角形問題以及直線與圓錐曲線位置和圓錐曲線的最值問題等幾種特定的題型，教師可以將幾何圖形、曲線方程和韋達定理等作為突破口，抓住特征突破一部分圓錐曲線的常見問題。通常針對圓錐曲線的這些問題，可以有以下三種解題思路。

一、借用圖像，理解最值問題

在解決圓錐曲線的一些常見問題時，如果能把握題目的特點，充分利用好幾何圖形的一些特點和性質(zhì)，把握好在學(xué)習(xí)幾何圖形時所運用的一些規(guī)律和結(jié)論，往往能夠很大程度地節(jié)省運算量，減少解題時間。在圓錐曲線解析幾何中，所要進行的研究對象大多是幾何圖形或是幾何圖形的一些性質(zhì)，所以教師在引導(dǎo)學(xué)生處理這一類型題目的時候，除了要他們把握和運用好代數(shù)方程之外，還要充分挖掘數(shù)學(xué)圓錐曲線中所學(xué)習(xí)的幾何圖形的性質(zhì)和特點。在關(guān)于圓錐曲線中借助幾何圖形來解決最值問題的教學(xué)設(shè)計中，可以給出這樣一道題：所給拋物線y2=2px（p>0），如果說過M（a，0）且斜率為1的直線l與拋物線交于A點和B點，兩點不重合，|AB|≤2p，求解a的取值范圍；假設(shè)線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值。這種題型往往在高考解答題中出現(xiàn)，在引導(dǎo)學(xué)生解答的時候，要給他們講解同種類型題目的解題思路。對于這種題目，首先要設(shè)法得到一個所需要的不等式，然后對于不等式去求解范圍，總結(jié)起來就是“求范圍，找不等式”。另一種方法就是將其表示為另一個變量的函數(shù)，利用函數(shù)問題算出所求的范圍，接著將△NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，進一步求它的最大值。

二、待定系數(shù)，解決方程問題

在求曲線方程的時候，有的時候?qū)W生可以根據(jù)所給已知條件很直觀地就判斷出所描述的是圓錐曲線中的哪一種圖形。對于這種學(xué)生能夠判斷曲線的形狀的方程式，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用待定系數(shù)的方法進行解決。這樣基礎(chǔ)的解決圓錐曲線系列問題的解決方法，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中掌握好每一種類型幾何圖形的基本概念和基本公式，對于一些基礎(chǔ)的題型能夠有入手的解題思路，能夠掌握圓錐曲線相關(guān)的軌跡方程的解題方法和解決直線與圓錐曲線兩者之間的位置關(guān)系等一些常見的問題。在解關(guān)于圓錐曲線中方程問題時要運用待定系數(shù)的方法，可以給出這樣的例題：已知直線l過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。如果說點A（-1，0）和點B（0，8）關(guān)于l的對稱點都在C上，求解直線l和拋物線C的方程。在解答的時候，要先引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的方程，又因為A'、B'分別是A、B關(guān)于l的對稱點，所以能得到A'A⊥l，從而設(shè)出直線A'A的方程，利用兩直線方程聯(lián)立求得交點M的坐標(biāo)。因為M為AA'的中點，求得A'點的坐標(biāo)和B'的坐標(biāo)，將它們代入拋物線方程求得p的表達式，接著聯(lián)立方程，可以得到斜率k，進一步求得p，直線和拋物線的方程也就呼之欲出。這樣就巧妙地得到了所求的圓錐曲線的方程式，這種方法同理也適用于同類型的其他題目。

三、韋達定理，判定對稱問題

解決圓錐曲線相關(guān)問題的時候，學(xué)生往往最頭疼的就是如果解題方法使用不正確或者沒有選用較為簡便的解題思路，常常計算量特別大，雖然說有的時候能夠?qū)㈩}目解出來，但是在考試中這種方式并不可取，費時費力。因此，在圓錐曲線的解題策略中可以巧妙地使用韋達定理來減少計算量。教師在引導(dǎo)學(xué)生充分使用韋達定理的時候，需要注意這種方法一般適用的情況，對于利用韋達定理解題的策略就是在題目中滿足可以設(shè)出弦的兩個端點但是并不要求來求解它，這樣就可以結(jié)合以前學(xué)過的韋達定理。韋達定理在圓錐曲線的應(yīng)用一般是判斷幾何圖形對稱性的問題，此外還常常用于求解斜率和中點等問題中。在給學(xué)生講解這種類型題目時，可以給出這樣的題目來幫助他們更好地理解和掌握這部分知識點：已知中心在原點O，焦點在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=， 那么求解這個橢圓的方程。這道題目主要是針對學(xué)生們對于橢圓的性質(zhì)、兩點的距離公式、兩條直線垂直條件、二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的掌握。在設(shè)出橢圓方程后，整理方程組能夠得出（x1+x2）+2x1x2+1=0和4（x1+x2）2-16x1x2-5=0，然后利用韋達定理進行方程組的化解和求解能夠得到a2=2，b2=或a2=，b2=2，這樣就巧妙地得到了所求的圓錐曲線的方程。

四、結(jié)束語

綜上所述，在處理高中所學(xué)習(xí)的圓錐曲線問題時，通常可以用這三種解題方式：對于如何解決圓錐曲線中的最值問題，可以借助圖像來進行解決；對于圓錐曲線中方程的問題，可以使用待定系數(shù)法；對于判斷對稱性問題時，韋達定理是很好的解題手段。

參考文獻：

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[2]屠新躍.直線與圓錐曲線問題中韋達定理的應(yīng)用策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2015（03）.