立足教材重點(diǎn)，開(kāi)展層次教學(xué)

李磊

[摘 要] 教育變革的深入開(kāi)展，對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)提出了新的要求，對(duì)數(shù)相關(guān)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，如何使學(xué)生深刻地理解教材內(nèi)容并在此基礎(chǔ)上拓展思路，則需要教師合理地編排教學(xué)設(shè)計(jì). 本文以對(duì)數(shù)相關(guān)知識(shí)為例，開(kāi)展多層次、多組合的教學(xué)，與同行進(jìn)行教學(xué)研討.

[關(guān)鍵詞] 對(duì)數(shù)；概念；習(xí)題；多層次

對(duì)數(shù)概念以及相關(guān)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)新的內(nèi)容，但它是指數(shù)及其函數(shù)的延伸，指數(shù)知識(shí)對(duì)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)有著重要的啟示作用，在深入挖掘?qū)?shù)概念的基礎(chǔ)上，需要教師結(jié)合習(xí)題開(kāi)展綜合性教學(xué)，通過(guò)多層次、多角度的學(xué)習(xí)加深學(xué)生對(duì)教材的理解，拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)流程設(shè)計(jì)

1. 情境創(chuàng)設(shè)，引入新課

情景1：公元前350年，阿基米德發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)特殊的數(shù)列：1，10，102，103，104，

…；0，1，2，3，4，5，…. 他研究發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)列的特征：上述數(shù)列存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，第二個(gè)數(shù)列的其中兩項(xiàng)之和與第一個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)的乘積相對(duì)應(yīng)，例如3+4=7對(duì)應(yīng)于103×104=107.

情景2：現(xiàn)有一種放射性物質(zhì)可以不斷地變化為另一種物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年，該物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)樵|(zhì)量的84%. 請(qǐng)寫(xiě)出該物質(zhì)的剩余質(zhì)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)公元前的規(guī)律發(fā)現(xiàn)以及生活中的數(shù)學(xué)實(shí)例可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生刻苦鉆研的精神以及科學(xué)探究的態(tài)度，同時(shí)通過(guò)情景2的問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的重要性.

2. 合作討論，初學(xué)對(duì)數(shù)

問(wèn)題1：0.84x=0.5關(guān)系式中的x是否存在？討論它的唯一性，借助之前的指數(shù)函數(shù)的知識(shí)加以說(shuō)明.

問(wèn)題2：可以由10x=1000解得x=3，由10x=10000解得x=4，那么10x=7中的未知數(shù)x又該如何表示？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小組討論引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)習(xí)的指數(shù)知識(shí)解決新的問(wèn)題，從中體會(huì)知識(shí)的聯(lián)系性以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為之后的課題深入學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

3. 引導(dǎo)探究，形成概念

問(wèn)題：對(duì)于對(duì)數(shù)式b=logaN中的a和N有什么約束條件？

要求：請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出一些指數(shù)式，然后將其改寫(xiě)為對(duì)數(shù)形式，最后討論發(fā)現(xiàn).

結(jié)論：發(fā)現(xiàn)logaN中的a>0且a≠1，同時(shí)因?qū)?shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化的，可在運(yùn)算中規(guī)定N>0.

定義：如果ab=N（a>0，且a≠1），則有b=logaN（a>0，且a≠1），b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，其中a為對(duì)數(shù)的底，N為真數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)數(shù)的定義過(guò)于抽象，而通過(guò)聯(lián)系學(xué)過(guò)的指數(shù)知識(shí)來(lái)對(duì)比學(xué)習(xí)可以使對(duì)數(shù)概念自然而然地被總結(jié)出來(lái)，使學(xué)生容易接受，另外通過(guò)討論底數(shù)的范圍，理解函數(shù)概念的合理性.

4. 實(shí)例學(xué)習(xí)，深入理解

問(wèn)題：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義以及對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，求解問(wèn)題：設(shè)logaM=m，logaN=n（a>0，且a≠1，M>0，N>0），試用m，n表示出log（M·N）和logaMn.

參考答案：設(shè)loga（M·N）=x，則ax=M·N，由已知logaM=m，logaN=n可得am=M，an=N，則ax=am+n，可得x=m+n.

設(shè)logaMn=x，則ax=Mn；由logaM=m可得am=M，所以amn=Mn，則x=mn.

設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題的形式學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去思考、分析、理解、最終解決問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，同時(shí)需要注意在設(shè)置問(wèn)題時(shí)必須難度適中，符合學(xué)生的思維發(fā)展，不挫傷學(xué)生的積極性.

5. 典例講評(píng)，變式拓展

考題：設(shè)函數(shù)f（x）=x-2ex-k（x-2lnx）（k為實(shí)常數(shù)，e=2.71828…），求解當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值.

分析：對(duì)含對(duì)數(shù)的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷ex-x2=0是否存在零點(diǎn)，分析函數(shù)的定義域，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的形式研究原函數(shù)的最小值.

參考答案：當(dāng)k=1時(shí)， f（x）=x-2ex-x+2lnx（x>0），對(duì)其求導(dǎo)得f′（x）=. 當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2，可變形為x>2lnx. 設(shè)φ（x）=x-2lnx，φ′（x）=1-=. 令φ′（x）=0，x=2. 當(dāng)02時(shí)，φ′（x）>0，因此φ（x）=x-2lnx在x=2處取得最小值φ（2）=2-2ln2>0，因此當(dāng)x>0時(shí)，x>2lnx，有ex>x2. 于是當(dāng)02時(shí)，f′（x）>0. 所以f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，在x=2處取得最小值f（2）=-2+2ln2.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教師對(duì)例題的示范講解，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)的定義以及性質(zhì)等，同時(shí)將對(duì)數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)相結(jié)合，讓學(xué)生感受知識(shí)間的聯(lián)系性，為以后解決綜合性問(wèn)題打下基礎(chǔ).

變式：已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1.

（1）如果xf′（x）≤x2+ax+1，求解a可以取到的值；

（2）證明（x-1）f（x）≥0.

分析：對(duì)于第（1）問(wèn)可以先對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，xf′（x）≤x2+ax+1等價(jià)于lnx-x≤a，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-x，在其定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論即可. 第（2）問(wèn)由基本的對(duì)數(shù)不等式ln（1+x）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求解不等式與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合性問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)習(xí)求解對(duì)數(shù)問(wèn)題的具體方法，體會(huì)對(duì)數(shù)定義以及性質(zhì)在求解實(shí)際問(wèn)題中的重要性，鞏固知識(shí)，拓展思維.

教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1. 重視概念，揭露本質(zhì)

新概念生成的過(guò)程必須是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)渡和發(fā)展，如何讓學(xué)生建立感性的認(rèn)識(shí)就需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)恰當(dāng)合理地創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生的思維在自然而然中完成過(guò)渡. 同時(shí)概念是對(duì)對(duì)象本質(zhì)的一種特定反映，學(xué)生通過(guò)探究獲得啟示從而在理解的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的定義，更有利于今后的深入學(xué)習(xí)，特別需要注意對(duì)概念中所包含的關(guān)鍵詞進(jìn)行深入解讀剖析. 圍繞對(duì)數(shù)的概念與指數(shù)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，通過(guò)討論、分析、發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程可以使學(xué)生深入地理解對(duì)數(shù)概念的重要內(nèi)涵. 知識(shí)的學(xué)習(xí)是相聯(lián)系的，掌握對(duì)象的本質(zhì)才可以實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的升華.

2. 精選習(xí)題，優(yōu)化教學(xué)

課堂教學(xué)要有計(jì)劃、形式多變、多層次、多角度的訓(xùn)練，提升學(xué)生的能力離不開(kāi)習(xí)題的講解，但習(xí)題的選取并不能簡(jiǎn)單隨意，需要教師認(rèn)真地研讀教材和大綱，準(zhǔn)確把握習(xí)題的層次和難度，然后根據(jù)學(xué)情加以靈活安排，力求做到習(xí)題的排設(shè)符合教學(xué)要求，將知識(shí)方法和變式運(yùn)用緊密結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)課堂的精講、精學(xué). 目前我們使用的教材倡導(dǎo)開(kāi)放、創(chuàng)新，所以在教學(xué)中在注重基礎(chǔ)教學(xué)時(shí)還應(yīng)該結(jié)合習(xí)題開(kāi)展變式，拓展思維. 教材是教學(xué)的基礎(chǔ)，教學(xué)中需要教師認(rèn)真研讀教材，將其轉(zhuǎn)化為利于學(xué)生吸收的知識(shí)，同時(shí)對(duì)教材進(jìn)行拓展，合理地利用習(xí)題教學(xué)，聯(lián)系生活實(shí)踐對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整，實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的提升.

寫(xiě)在最后

上述對(duì)對(duì)數(shù)相關(guān)知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，是多種形式、多組合的編排，融合了多種教學(xué)理念，是基于教材重點(diǎn)的追求知識(shí)系統(tǒng)性、整體性的設(shè)計(jì)，同時(shí)也特別注重知識(shí)間的相互聯(lián)系，綜合考慮了學(xué)情，符合學(xué)生的認(rèn)知，這樣的設(shè)計(jì)更有利于學(xué)生理解和接受新知. 習(xí)題的結(jié)合教學(xué)，對(duì)于學(xué)生的轉(zhuǎn)化使用、思維拓展也起到了良好的學(xué)習(xí)效果.