高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)策略探究

何世燚

[摘 要] “導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”在研究函數(shù)單調(diào)性、極值和最值、不等式證明等問(wèn)題時(shí)具有重要的作用，不僅是解決該類問(wèn)題的核心，更是數(shù)形結(jié)合、以曲代直、微積分思想的充分體現(xiàn). 文章在分析高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，提出了“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)基本思路和策略.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；思路；策略

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是歷年高考的必考內(nèi)容，不僅所占分值較大，所占比重趨于上升趨勢(shì)，而且常常與壓軸題緊密相連，其涉及的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法在現(xiàn)實(shí)生活中具有廣泛的應(yīng)用. 然而，在當(dāng)前教學(xué)實(shí)踐中，相當(dāng)數(shù)量的教師將教學(xué)的重點(diǎn)集中在理論層面，學(xué)生對(duì)于具體問(wèn)題的理解較為模糊，僅停留在一個(gè)較低的層面上. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革中必須加強(qiáng)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)的研究.

高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)現(xiàn)狀

隨著年齡的增長(zhǎng)、多種學(xué)科知識(shí)的涉獵，高中學(xué)生的邏輯思維已經(jīng)發(fā)展到一定的水平，但在數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程及其理解運(yùn)用方面與成熟期相比存在著較大差距. 以人教版高中二年級(jí)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”章節(jié)知識(shí)為例，其學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)問(wèn)題：一是忽視概念知識(shí)的生成過(guò)程. 對(duì)于微積分基本定理是如何推導(dǎo)的，定積分的概念是怎樣得出的學(xué)生往往不夠重視. 二是概念模糊、混淆的問(wèn)題較為突出. 例如，y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率和y=f（x）自變量由x1到x2的平均變化率在概念上有什么區(qū)別和聯(lián)系，高中學(xué)生常?；煜瑏y套概念或公式進(jìn)行解題的現(xiàn)象較為突出. 三是知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系理解難度較大，對(duì)于曲邊圖形面積、變力做功、變速直線運(yùn)動(dòng)物體的位移、導(dǎo)數(shù)和積分之間的關(guān)系等問(wèn)題理解不清. 四是數(shù)學(xué)基本思想的領(lǐng)悟較為缺乏，對(duì)于“無(wú)限逼近”、“數(shù)形結(jié)合”、“以曲代直”等基本數(shù)學(xué)思想如何使用不能完全掌握，對(duì)于如何利用導(dǎo)數(shù)優(yōu)化實(shí)際問(wèn)題較為困惑，不能透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).

“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)基本思路

作為教學(xué)的主陣地，教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中倡導(dǎo)以生為本的教學(xué)理念，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的基礎(chǔ)上，通過(guò)合作和競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制促使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)，注重提出問(wèn)題的情境和知識(shí)生成的背景，按照由表及里、由淺入深的原則揭示出問(wèn)題的本質(zhì)，也就是在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)采用問(wèn)題引領(lǐng)的教學(xué)模式，促使學(xué)生打破思維困難的瓶頸，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)中，通過(guò)為什么、怎么辦、是什么等問(wèn)題幫助學(xué)生找出思維漏洞，從而有效提升“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量.

高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)實(shí)踐

1. 導(dǎo)數(shù)的概念.

在本節(jié)知識(shí)中，理解變化率的問(wèn)題至關(guān)重要，教師應(yīng)選擇背景簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)生活中的變化率問(wèn)題，幫助學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析. 例如，在講解平均變化率問(wèn)題時(shí)，筆者選擇了氣球膨脹率問(wèn)題，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度解釋隨著氣球內(nèi)部空氣不斷增多，為什么氣球半徑增加的速度反而減慢，并從以下幾個(gè)方面進(jìn)行引導(dǎo)：

一是引入變量的概念和變量之間的函數(shù)關(guān)系，幫助學(xué)生理解本問(wèn)題涉及兩個(gè)變量，即氣球的體積v和半徑r，并在回顧球體體積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)出這兩者之間的函數(shù)關(guān)系，即V=πr3.

二是從數(shù)學(xué)的角度理解“隨著氣球內(nèi)部空氣不斷增多，氣球半徑增加的速度越來(lái)越小”這句話的意思，即隨著空氣的增多，半徑與體積增加量之間的比值越來(lái)越小，即越來(lái)越小，從而引出氣球膨脹率的知識(shí).

三是將抽象的知識(shí)具體化，從一些具體的數(shù)值出發(fā)將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化.例如，從0增加到1，從1增加到2，從2增加到3，感受氣球膨脹率的變化，從而有效理解氣球半徑變化越來(lái)越小的實(shí)際原因，理解變化率是反應(yīng)某一時(shí)間內(nèi)物體變化快慢的概念.

同時(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的概括，闡述f（x）表示其中的函數(shù)關(guān)系，利用曲線上的割線將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，充分理解變化率的幾何意義，鼓勵(lì)學(xué)生從自己身邊出發(fā)，列舉出現(xiàn)實(shí)生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)例，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)概念和所表達(dá)幾何意義的理解.

此外，注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的滲透與引導(dǎo)，從高一年級(jí)已學(xué)物理知識(shí)求瞬時(shí)速度出發(fā)，闡述物理學(xué)中求平均速度的定義，假想當(dāng)Δt趨于無(wú)限小時(shí)，Δh近似于某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，并觀察該時(shí)間點(diǎn)附近數(shù)值的變化，得出當(dāng)Δt趨于0時(shí)，趨于定值，從而引出的概念，并結(jié)合該問(wèn)題的物理意義，將其抽化為表示x0處的變化率.

2. 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

（1）讓學(xué)生明白應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的必要性和重要性

例如，在課堂教學(xué)中，筆者要求學(xué)生回顧函數(shù)單調(diào)性的定義，明確函數(shù)在某段的平均變化率近似等于該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，也就近似等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，若x1≠x2，則可以通過(guò)符號(hào)的正負(fù)，得出f（x1）與f（x1）之間的大小，故可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性.并且，引入拉格朗日中值定理，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的形式讓學(xué)生明白的幾何意義就是（x1，f（x1）），（x2，f（x2））兩點(diǎn)直線的斜率，若x1，x2之間的距離無(wú)限小時(shí)，則近似等于函數(shù)y=f（x）在（x1，x2）區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

（2）進(jìn)一步幫助學(xué)生鞏固導(dǎo)數(shù)的概念及其借助幾何圖形研究函數(shù)的單調(diào)性，探究得出函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例如，在具體實(shí)踐中，筆者借助教材中的“觀察”欄目，通過(guò)直觀圖像形象地了解速度隨時(shí)間變化的變化圖像，要求學(xué)生通過(guò)小組探究的形式完成表1，并注重導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖像之間的轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考同一問(wèn)題.

（3）設(shè)計(jì)例題進(jìn)行提升

建議在具體例題求解過(guò)程中，要求學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的草圖，培養(yǎng)學(xué)生利用圖像和“列表”解題的習(xí)慣，加強(qiáng)解題規(guī)范性和思維嚴(yán)密性的訓(xùn)練. 并通過(guò)利用函數(shù)單調(diào)性定義和利用導(dǎo)數(shù)兩種求解函數(shù)單調(diào)性的方式，比較出這兩種解法的優(yōu)劣，深刻體會(huì)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的有力工具.

（4）有效突破知識(shí)難點(diǎn)

突破本節(jié)課程知識(shí)的重點(diǎn)，即利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值和最值問(wèn)題是本節(jié)課程知識(shí)的重點(diǎn)，讓學(xué)生結(jié)合教材中的例題總結(jié)概括出函數(shù)存在極值的條件：

①f′（a）=0；

②y=f（x）在x=a的函數(shù)值比x=a附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大或都?。?/p>

③x=a時(shí)，當(dāng)左側(cè)f′（x）<0，右側(cè)f′（x）>0，則點(diǎn)a為極小值，當(dāng)左側(cè)f′（x）>0，右側(cè)f′（x）<0，則點(diǎn)a為極大值.

同時(shí)，還應(yīng)提醒學(xué)生注意極值只反應(yīng)的是函數(shù)的局部性質(zhì)，通過(guò)圖像的形式解釋極大值并不一定大于極小值，而極小值并不小于極大值，并且讓學(xué)生充分理解f′（a）=0是函數(shù)y=f（x）在x=a處取得極值的一個(gè)必要不充分條件. 例如，筆者在講解必要不充分條件這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，設(shè)計(jì)了以下題目要求學(xué)生探討：

已知函數(shù)y=x3，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則有y′=3x3，當(dāng)y′=0時(shí)，無(wú)論x取何值，則y′≥0，因此，x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn).

綜上所述，“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”在研究函數(shù)單調(diào)性、極值和最值、不等式證明等解題中具有重要的作用，不僅是解決該類問(wèn)題的核心，更是數(shù)形結(jié)合、以曲代直、微積分思想的充分體現(xiàn)，在具體教學(xué)實(shí)踐中，只有教師樹(shù)立以生為本的教學(xué)理念，注重問(wèn)題情境的構(gòu)造和概念的生成過(guò)程，在具體情境和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中理解和體驗(yàn)數(shù)學(xué)，就一定能夠取得理想的教學(xué)效果.