為什么會錯？

沈毅

[摘 要] 分析學(xué)生數(shù)學(xué)解題出錯的原因，是有針對性教學(xué)的前提，學(xué)生為什么會錯呢？不能簡單地認為學(xué)生不聰明、馬虎，其背后有科學(xué)的成分，分析成因就是要找到癥結(jié)之所在.

[關(guān)鍵詞] 解題錯因；概念；思維方法；解題能力

如何提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，很多時候我們教師在“教”和“考”上下功夫，但是當(dāng)學(xué)生出錯后，卻往往是灌輸正確的解題方法，然后讓學(xué)生訂正，而這些錯誤在下次考試或作業(yè)中又出現(xiàn)了，為什么會這樣？筆者認為我們對待學(xué)生的錯誤，只看到“錯”，卻沒有去分析學(xué)生為什么出錯，即沒有找到病根，如果我們每次都能去尋找學(xué)生出錯的原因，就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生出錯的原因是很多的，不能簡單地認為“我一樣教的，為什么有同學(xué)能做對，這部分做錯的學(xué)生就是差.” 不可否認，出錯是“差”引起的，但是錯誤與正確到底有多少距離，差距在哪里呢？筆者認為這個錯因有必要幫助學(xué)生寫出來，借此來影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

學(xué)生雙基不牢

1. 不重視概念定義的學(xué)習(xí)

有相當(dāng)一部分學(xué)生雙基不牢根本原因就是不夠重視概念本身的學(xué)習(xí)，由于不重視導(dǎo)致對概念的理解一知半解，不能很好地把握基本概念的本質(zhì)屬性，這樣一旦遇到要運用概念的“定義”、“本質(zhì)”來解決問題時，低級錯誤就馬上出現(xiàn)了.

例1：a=0是復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的________條件.

很多學(xué)生會錯誤地認為是“充要條件”，為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤？筆者認為這是由于這部分學(xué)生沒有重視純虛數(shù)概念的定義導(dǎo)致的，純虛數(shù)a=0，b≠0，這類錯誤“頑疾”，一點就通，但往往因為對概念本身認識不全面導(dǎo)致錯誤反復(fù)出現(xiàn).

2. 抽象概括能力不強

我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的意蘊是通過多種方式表征和抽象出來的，尤其是符號與圖像表征，需要我們學(xué)生有一定的概括、抽象能力，而且需要能夠?qū)追N表征方式互譯，如若不然，很容易遇到不認識的符號，或理解錯誤，導(dǎo)致解題失敗.

例2：設(shè)α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，試判斷下面幾個命題的正誤.

命題1：若m⊥α，nα，則m⊥n；

命題2：若mα，nα，m∥β，則α∥β；

命題3：若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，則n⊥β；

命題4：m⊥α，α⊥β，m∥n，則n∥β.

從學(xué)生判斷的結(jié)果來看，五花八門，說明了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理的理解還不到位，抽象概括能力還有所欠缺.從本題的能力要求來看，學(xué)生要想正確解答，需要能夠從多角度認識“數(shù)學(xué)語言”，尤其是要重視數(shù)學(xué)符號語言與文字語言之間的互譯，如果不能將題目中給定的數(shù)學(xué)符號與學(xué)生大腦中的數(shù)學(xué)概念、定理的多重表征想聯(lián)系并完成轉(zhuǎn)化，則往往會出現(xiàn)判斷錯誤.

此外，我們的數(shù)學(xué)知識具有整體性和系統(tǒng)性，在高中階段學(xué)習(xí)的知識之間大多是相互聯(lián)系著的，從新教材的編排來看，也特別注重概念、規(guī)律、方法間的聯(lián)系，教材中的例題、習(xí)題就有這方面的滲透，對于學(xué)生而言如果沒有建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系的意識，則往往在解決有一定綜合能力要求的數(shù)學(xué)問題時，出錯就在所難免了.

解題思維受阻

除了知識缺失外，學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的思維障礙和受阻也是導(dǎo)致解題出錯的重要原因，思維受阻勢必導(dǎo)致解題失敗. 解決數(shù)學(xué)問題需要學(xué)生有連貫的數(shù)學(xué)思維，有時甚至需要“頓悟”，什么是頓悟？就是學(xué)生在思考和解決問題時，本來較為迷茫，或按部就班，或原地打轉(zhuǎn)，突然有了一種靈感，而且這種靈感背后的思維指向正確的解決途徑，這種現(xiàn)象看似很神奇且具有偶然性，其實是學(xué)生知識、方法積累到一定程度后解題思維通暢的外在表現(xiàn)，而與之相反則是解題思維受阻.

例3：已知a≥2，求橢圓+=1離心率的取值范圍.

學(xué)生在解決“例3”時，往往會由于在解題過程中缺乏“頓悟”，導(dǎo)致解題中斷無法向前，這道題學(xué)生的思維容易堵在如下兩個位置：（1）當(dāng)學(xué)生得到e2=后，不知道該如何求值域了；（2）做到e2==-后沒有及時將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，導(dǎo)致解題進程受阻.

例4：動點M（x，y）滿足=2x+y+2，求動點M的軌跡方程，并分析其軌跡是什么曲線？

這道題有相當(dāng)一部分學(xué)生出錯，筆者在統(tǒng)計學(xué)生出錯答案并與學(xué)生訪談后發(fā)現(xiàn)大多是這部分學(xué)生思維品質(zhì)不佳導(dǎo)致的，有部分學(xué)生不能看出表示的是（x，y）與（1，1）之間的距離，有部分學(xué)生則是沒有將x+y+2轉(zhuǎn)變?yōu)椤み@一形式導(dǎo)致思維受阻.

當(dāng)然，如果我們細致地分析導(dǎo)致學(xué)生解題過程中思維受阻的因素則是多方面的：（1）學(xué)生大腦在記憶方面，短時間記憶容量是有限的，而當(dāng)前的教學(xué)模式下，學(xué)生每天接收到信息要遠大于這個容量上限，對于擅長學(xué)習(xí)的學(xué)生往往能夠通過合適的方式把大腦這一“容器”順一順，便于存儲更多的信息與知識，在解題過程中借助于讀題、審題的過程將題干信息與大腦中存貯的相關(guān)知識相匹配，銜接思維，促進問題解決，而對于“不擅長”學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，則往往短時間記憶的內(nèi)容雜，缺乏條理性，導(dǎo)致在數(shù)學(xué)習(xí)題解答過程中難以找到與問題相對應(yīng)的知識、方法，思路受阻；（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、方法時，不同的學(xué)生掌握程度各異，有些學(xué)生的學(xué)習(xí)存在較大的缺陷，對同一個班級的學(xué)生而言，知識的廣度是差不多的，但是單個知識掌握的缺陷越大，那么知識體系的漏洞就越大，相對而言，學(xué)生積累的知識越完整、豐富，其在數(shù)學(xué)解題過程中思維會越順暢；（3）除了記憶力和知識掌握程度上的差異外，筆者認為思維品質(zhì)的差異也是導(dǎo)致解題出現(xiàn)差異的原因之一，有些學(xué)生思維品質(zhì)低下，表現(xiàn)在思維不夠靈活性，不具有批判意識，容易思維定式等等，這些情況只要題目的情境稍微有所變化，則往往會因為找不到先前組織者而導(dǎo)致解題思維受阻.

解題的習(xí)慣不佳

與知識、能力相比，筆者認為解題的習(xí)慣也很重要，習(xí)慣差的學(xué)生思維也好不到哪里去，而且丟三落四，解題過程中錯誤不少，學(xué)生的解題習(xí)慣不佳表現(xiàn)在如下幾個方面：

1. 缺乏解題后反思的意識

很多時候我們學(xué)生出錯，只要回到思維的原點想一下就可以自我發(fā)現(xiàn)錯誤，并找到正確的解題方法，但是由于當(dāng)前學(xué)生解題習(xí)慣比較差，盲目地應(yīng)付作業(yè)，答題后根本不注重回頭望，缺乏反思的意識導(dǎo)致即使某一類數(shù)學(xué)問題當(dāng)時做得對，但是稍微變化一下就不會了，為什么會出現(xiàn)這樣的情況？解題后反思，是對題干信息的再審讀與思考，通過反思學(xué)生會主動地搜索有沒有其他解決問題的方法，拓寬解決問題的思路，保證思維通暢.

2. 計算能力不強

與“想不到”，或思維受阻導(dǎo)致解題失敗相比，還有一種情況讓人感到遺憾，即由于學(xué)生計算能力不強，導(dǎo)致出現(xiàn)了“想得到卻做不對、做不全”的現(xiàn)象，計算能力偏弱是當(dāng)下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的通病，為什么？因為相當(dāng)一部分學(xué)生片面地認為計算能力不重要，認為計算僅僅是機械的勞動，不具有創(chuàng)新性和技術(shù)含量，“對而不全”的遺憾之錯. 許多學(xué)生包括部分老師對計算都有一種錯誤的認識，認為計算是機械的并沒有多大價值，在平時的訓(xùn)練中，有部分學(xué)生就理了理思路，然后就不繼續(xù)做下去了，缺失很多計算訓(xùn)練的機會，其實計算是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，而且計算并非是機械的勞動，尤其是在作業(yè)和考試中，有些習(xí)題需要計算出關(guān)鍵量才能銜接思維.

3. 缺乏對解題具體過程的重視

平時，我們教師經(jīng)常能夠聽到學(xué)生問：“這道題的答案是什么？”尤其是考試時，似乎學(xué)生僅僅只關(guān)心答案，其實這種習(xí)慣是不對的，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注重解題過程，強調(diào)過程意識才能得到正確的結(jié)果，解題習(xí)慣不佳導(dǎo)致解題錯誤率居高不下的一個重要方面就是學(xué)生只對解題的結(jié)果特別關(guān)心，而不太注重對解題過程的理解.

例5：若函數(shù)f（x）=（k為常數(shù)）在定義域上為奇函數(shù)，求k的值.

筆者在作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)了這道題兩種錯解.

錯解1：因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，即f（0）===0，得k=1.

錯解2：因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1），即=-，得k=±1.

這兩種錯誤都是學(xué)生思維習(xí)慣不佳導(dǎo)致的，一味地追求結(jié)果，而忽視了對概念本身含義的理解，錯解1從奇函數(shù)的特性f（0）=0出發(fā)，但是學(xué)生在應(yīng)用時卻忽視定義域中是否一定含有0，錯解2最終的答案是正確的，但是過程是有問題的，和錯解1一樣仍然沒有考慮選擇的特殊值是否在定義域之中，其實只要在解題過程中稍微反思即可避免這兩種錯誤.

當(dāng)然，學(xué)生數(shù)學(xué)解題出錯的原因遠不止本文所述，筆者撰寫本文僅僅是為了提醒我們每一個數(shù)學(xué)教師要關(guān)注學(xué)生的解題過程，幫助學(xué)生找到出錯的病因，讓我們的例題講解、作業(yè)布置、試卷講評更高效.