善待錯誤，有效生成

杭麗華

[摘 要] 教學要注重教學資源的整合，尤其是對于學生的錯誤和意外生成，變廢為寶、以錯為鏡，可以引導學生更為深入地理解數(shù)學知識，體會數(shù)學思維方法，獲得數(shù)學核心素養(yǎng)的有效提升.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；錯誤；生成

高中學生在數(shù)學學習中往往會出現(xiàn)一些教師預設之外的反復性錯誤，這些反復性錯誤往往令教師產(chǎn)生學生腦袋為“榆木疙瘩”的指責，教師在指責學生的同時對于自身教學方面的審視卻很少，事實上，教師面對學生這些一而再再而三的錯誤應該經(jīng)常性地向內(nèi)歸因：我的教學設計、教學組織有沒有出現(xiàn)導致這些錯誤產(chǎn)生的問題呢？學生出現(xiàn)的這些錯誤我能不能對其妥善利用進行資源的最大拓展呢？這些已經(jīng)發(fā)生的錯誤能否成為我?guī)椭鷮W生“悟錯”的基點呢？教師將學生的錯誤進行科學而藝術的變?nèi)睘楹猛苁箤W生的深度學習更好地實現(xiàn).

將錯誤作為學生興趣激發(fā)的生成點

典型案例的設計是我每一節(jié)新課開課前必須要做的功課，有時候是根據(jù)學生前面作業(yè)中的典型錯誤進行的案例設計，有時候是依據(jù)自己教學經(jīng)驗與教材分析特意設計的錯誤以導入新課題.不管案例設計的內(nèi)容怎樣，這些案例都是利用學生糾錯的天性來激發(fā)他們探究興趣的.很多的材料因為來自于學生又貼近學生也就更加能夠促使學生對概念與規(guī)律的理解，新知識的學習也因此在學生心中早早形成重要的鋪墊.

案例一：已知一直線與拋物線y2=2x有一個交點，且其經(jīng)過點（0，1），試求該直線方程.

分析：學生易犯錯誤一般有以下三種情況：

第一，學生首先會設直線為y=kx+1，但k=0和斜率不存在的情形學生卻往往會疏漏，實際上就形成該直線斜率存在的本質(zhì)變化，且k≠0，這是思維不夠嚴密所導致的錯誤.

第二，根據(jù)題意，此交點產(chǎn)生的情況有相交與相切兩種，第一種的錯誤解法中并沒有將相切的情況做出考慮.這是對題意中已知條件關系理解上的不夠透徹.

第三，對直線方程與拋物線方程聯(lián)系整合后所得的一元二次方程的判別式應做考慮，也就是說，k≠0，但上述的解法中根本沒有考慮這些，考慮問題有疏漏.

正確解答：（1）所求直線斜率不存在即表現(xiàn)為直線與x軸垂直的狀態(tài)，根據(jù)題意，該直線過點（0，1），因此，x=0，即y軸，與拋物線y2=2x相切.

（2）所求直線斜率為零時直線為y=1，平行于x軸，與拋物線y2=2x只有一個交點.

（3）根據(jù)題意設直線為y=kx+1（k≠0），則y=kx+1，y2=2x，所以k2x2+（2k-2）x+1=0. 令Δ=0，得k=，所以所求直線為y=x+1. 綜上，滿足條件的直線為y=1，x=0，y=x+1.

分析與反思：基礎知識理解不清、思維定式、注意失調(diào)、記憶不深刻等令錯誤產(chǎn)生的各個原因都在題目的錯解中一一被折射了出來. 因此，學生自身所存在的這些錯誤資源怎樣進行開發(fā)與利用是教師應該仔細思考的問題，教師只有將這些錯誤作為復習鞏固的突破口才能取得較好的教學效果.

將錯誤作為學生思維創(chuàng)新的突觸

新知識接納之前學生已經(jīng)形成的前科概念中也會有很多的錯誤觀點或者認識存在，這些觀念或認識如果得不到及時的糾正與完善將會對后期重點知識的學習產(chǎn)生極大的負面影響. 因此，教師在教學中應科學進行設疑自探、解疑合探、質(zhì)疑再探的設計、引導與推進，將學生在認知過程中產(chǎn)生的錯誤徹底暴露出來并及時進行點撥與指導性的糾正，使得學生盡早將眼前的思維障礙徹底突破，盡早進入創(chuàng)新求異的新境界和新層面，學生一旦體驗到思維所產(chǎn)生的價值便會尤為感受到思維的快樂.

案例二：已知一數(shù)列前n項的和為Sn=n2+2n+4，求其通項公式.

正確答案：an=7，n=1，2n+1，n≥2.

錯因分析：n=1這一情況的考慮容易遺漏導致解題時以偏概全，產(chǎn)生任何情況下都有an=Sn-Sn-1的錯誤認識.

分析與反思：學生的糾錯是對自身錯誤認知進行糾正與完善的有意義行為，學生所有的錯誤都可能成為他們認知起航的新坐標，并且能使他們在錯誤中產(chǎn)生新的學習所需的能力與有意義的存在.

將錯誤作為教師調(diào)整教學方案的依據(jù)

課堂教學中尤其是重難點的學習活動過程中有時候會出現(xiàn)很多學習的變數(shù)與錯誤. 一些具備較高生成價值的錯誤是教師及時、科學調(diào)整自身教學方案的重要依據(jù)和導向，教學活動往往會因為這些有價值的生成生出別樣的精彩.

案例三：已知有x和y兩個正數(shù)，滿足條件x+y=1，試求z=x+y+的最小值.

錯解一：若a>0，則a+≥2，則z=x+y+≥4，所以z最小值為4.

錯解二：z==+xy-2≥2-2=2（-1）.

錯因分析：錯解一等號成立必須滿足x=且y=，即x=1且y=1，與x+y=1矛盾；錯解二等號成立必須滿足=xy，即xy=，與0

正確解析：z=x+y+=xy+++=xy++=+xy-2，令t=xy，則0

分析與反思：題目列出以后首先是放手給學生自主解題，讓學生在自己解題的思維海洋中徜徉，不管學生是對還是錯都鼓勵學生將自己的思維仔細地表達出來，即使看到學生錯誤也不急于扭轉(zhuǎn)他們思維的方向，用自己的語言、眼神鼓勵他們呈現(xiàn)出自己的所思所想，然后再根據(jù)學生解題的情況有針對性地引導他們進行正誤的判別，給予學生充裕的時間進行錯誤的反思與糾正，在保護好學生自尊心的同時用學生可以接受的方法引領他們進行錯誤的探尋和糾正.

將糾錯作為學生反思能力鍛煉的良機

教師根據(jù)學生暴露的問題和錯誤可以巧妙而科學地設置一些“陷阱”讓學生練習，學生的認知會在這個過程中達到撥亂反正的效果，“吃一塹長一智”的經(jīng)驗也會因此而積累.

案例四：已知數(shù)列{an}，an=n2-kn（n∈N*），且{an}單調(diào)遞增，試求k的取值范圍.正確答案：（-∞，3）.

錯因分析：{an}是關于n的二次函數(shù)，因此，若{an}遞增，則≤1，所以k≤2.

正確解析：由于an+1-an=（n+1）2-k（n+1）-n2+kn=2n+1-k，且{an}遞單調(diào)增，故an+1-an>0，即2n+1-k>0恒成立，分離變量，得k<2n+1，故k<3.

分析與反思：學生會運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行題目的思考與解決，但也往往會將定義域為正整數(shù)集忽略從而使得錯誤產(chǎn)生. 這是他們掉進自己思維陷阱而產(chǎn)生的，因此，教師應該引導學生重新思考并擺脫思維陷阱的束縛，使數(shù)學方法論逐步形成與發(fā)展的意識在學生腦海中萌芽，并因此能注意到形似質(zhì)異這類題目的本質(zhì)區(qū)別.

將錯誤作為學生質(zhì)疑意識培養(yǎng)的平臺

教師可以有意識地設置一些學生之前的錯誤隱含于自己的教學設計中，很多學生會毫不懷疑教師所呈現(xiàn)的一些習題或者思想，教師引領他們順著自己的思維發(fā)展去發(fā)現(xiàn)過程中的矛盾或者結(jié)果的反差，這時候適時介入學生的思維使其進行反思，這能有效培養(yǎng)出學生質(zhì)疑教師、質(zhì)疑“真理”的意識，學生學習中自我展示的成就感很多時候也在這個時候產(chǎn)生.

案例五：設f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍.

錯因分析：此題的解決中學生比較容易通過a，b的求解進行f（-2）范圍的求解，已知不等式中等號成立的條件不一定相同在這樣的解題中容易被疏忽而導致出錯.

正確解析：令f（-2）=mf（-1）+nf（1），則4a-2b=m（a-b）+n（a+b），所以4a-2b=（m+n）a-（m-n）b，比較系數(shù)有m+n=4，m-n=2，所以m=3，n=1，所以f（-2）=3f（-1）+f（1），所以1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，所以5≤3f（-1）+f（1）≤10，即5≤f（-2）≤10.

分析與反思：教師巧妙人為地制造“錯誤”使得學生的認知在錯誤糾正過程中得到強化，比常規(guī)教學往往更令學生記憶深刻.

常規(guī)教學中固定的模式與思維往往使教師和學生都會產(chǎn)生一定的思維習慣與“路徑依賴”，教師外部強化與學生自發(fā)探索往往因為這些習慣與依賴而找不到有效突破的臨界點. 錯誤并不可怕也無法避免，錯誤探尋與糾正之后的喜悅才是學習中獲得的最大價值.

課程資源開發(fā)自然需要一定的技巧才能更有價值，不過，師生之間心靈的溝通與自發(fā)的情感交流也一樣重要.學生出現(xiàn)的錯誤可以作為后續(xù)探究學習的思考標本，教師也可以從這些錯誤出發(fā)重新審視自己的教學設計與組織，盡可能理解學生出錯的原因所在，從根本上去解決學生錯誤的本質(zhì)并扭轉(zhuǎn)他們的錯誤認識.

學生在錯誤的解決中積攢正確的認知與思想方法，在錯誤的糾正與完善中盡情拓展自身思維的寬廣度與靈活性，以錯誤為出發(fā)點將真知牢固掌握并獲得解題的規(guī)律與經(jīng)驗. 在題海戰(zhàn)術中無法獲得的認知在糾正錯誤的過程中得到了反思與提煉，解題時候的瞻前顧后不知不覺被杜絕，信心與實力在不停的反思與提煉中穩(wěn)步提升. 學生的學習不再停留于知識記憶與淺層理解的水平，在教師的著力指導與引領下逐步向深度學習過渡并徜徉其中. 教師對課堂活動的駕馭也更加具有目的性和針對性，課堂效率在不斷的錯誤生成與糾正完善中有力提高，教師也不用再充當“拉牛上樹”纖夫角色，更深層次的職業(yè)幸福感也因此慢慢升騰.