樣本量為2的極小樣本相容性檢驗(yàn)方法

徐穎強(qiáng)，陳仙亮，曹棟波

西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072

在評(píng)估機(jī)電產(chǎn)品疲勞壽命及可靠性過(guò)程中，根據(jù)抽樣理論，疲勞試驗(yàn)樣本量越大越能體現(xiàn)疲勞壽命的分布特征，疲勞壽命評(píng)估的準(zhǔn)確度越高[1-2]。然而在航空航天領(lǐng)域，許多高新且昂貴的機(jī)電系統(tǒng)疲勞壽命試驗(yàn)樣本量通常極少(m=1或2)，僅用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)疲勞壽命進(jìn)行評(píng)估結(jié)果可信度非常低。

當(dāng)樣本量大于10個(gè)時(shí)國(guó)內(nèi)外多采用Bayes和Bootstrap等方法進(jìn)行參數(shù)和分布評(píng)估[3-8]。而當(dāng)樣本量極少時(shí)(m=1或2)可以利用現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)進(jìn)行相容性檢驗(yàn)將樣本擴(kuò)充到小樣本(n≥10)后再進(jìn)行處理[9-10]。航空航天產(chǎn)品試驗(yàn)前往往能夠搜集到包括數(shù)字仿真、生物仿真、非全程試驗(yàn)結(jié)果、同系列產(chǎn)品試驗(yàn)結(jié)果等數(shù)據(jù)，利用灰色關(guān)聯(lián)度理論等方法進(jìn)行多源信息融合后方可作為先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)使用[11]。常見的相容性檢驗(yàn)方法如Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和K-S(Kolmogorov-Smirnov)檢驗(yàn)多適用于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為小樣本的情況[12-19]。當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為極小樣本時(shí)，若按照小樣本檢驗(yàn)過(guò)程將先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)混合在一起檢驗(yàn)，由于先驗(yàn)數(shù)據(jù)大量信息容易湮沒現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息，往往檢驗(yàn)結(jié)果是接受假設(shè)，體現(xiàn)不了差異。因此使用傳統(tǒng)小樣本相容性檢驗(yàn)方法處理極小樣本問(wèn)題并不妥當(dāng)。文獻(xiàn)[20-21]針對(duì)總體服從正態(tài)分布的情形分別提出一種適用于樣本量為2的變尺度相容性檢驗(yàn)方法；文獻(xiàn)[22]提出現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本量或先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量為l的條件下非參數(shù)檢驗(yàn)方法，并對(duì)其原理和步驟進(jìn)行了闡述。

綜合上述文獻(xiàn)的研究?jī)?nèi)容，小樣本相容性檢驗(yàn)方法并不適用于極小樣本情況，而極小樣本相容性檢驗(yàn)方法研究較少，且大多數(shù)文獻(xiàn)只是直接采用某種方法進(jìn)行檢驗(yàn)，缺乏對(duì)方法合理性的詳細(xì)說(shuō)明和對(duì)不同方法檢驗(yàn)功效優(yōu)劣的比較。航空航天產(chǎn)品疲勞壽命多服從正態(tài)分布，因此本文以正態(tài)分布作為研究對(duì)象，結(jié)合Monte Carlo方法，利用兩個(gè)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本對(duì)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，提出一種適用于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本量為2的相容性檢驗(yàn)方法。并就Monte Carlo仿真次數(shù)對(duì)檢驗(yàn)功效的影響、先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量對(duì)檢驗(yàn)功效的影響以及兩個(gè)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布對(duì)檢驗(yàn)功效的影響與兩種文獻(xiàn)方法進(jìn)行了詳細(xì)對(duì)比和研究分析。對(duì)于樣本服從威布爾分布等其他情況，也可以參考本文思路進(jìn)行研究，由于篇幅所限，在此不再展開。

1 兩種經(jīng)典的極小樣本相容性檢驗(yàn)方法

文獻(xiàn)[20]是一種變尺度的檢驗(yàn)方法，以兩個(gè)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本和一個(gè)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)為例進(jìn)行說(shuō)明。將兩個(gè)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本x1、x2和一個(gè)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)x3混合排序得到次序統(tǒng)計(jì)量x(1)、x(2)、x(3)，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

(1)

(2)

給定顯著度水平α，當(dāng)S>α?xí)r則以1-α的概率認(rèn)為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和先驗(yàn)分布數(shù)據(jù)相容。

文獻(xiàn)[22]是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，以兩個(gè)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本和一個(gè)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)為例進(jìn)行說(shuō)明。將兩個(gè)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本x1、x2和一個(gè)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)x3混合排序得到次序統(tǒng)計(jì)量x(1)、x(2)、x(3)，其中x3在次序統(tǒng)計(jì)量中的位置為j，則在3個(gè)數(shù)據(jù)相容的情況下x(j)的分布函數(shù)為

(3)

式中：F(x)為總體分布函數(shù)，當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本量較少時(shí)可利用自助法進(jìn)行估計(jì)得到，具體方法和步驟見文獻(xiàn)[22]。給定顯著度水平α，計(jì)算滿足以下條件的邊界值L1、L2。

P{xj

(4)

P{xj>L2}=1-Fj(L2)=α/2

(5)

當(dāng)L1

2 基于3σ原則極小樣本相容性檢驗(yàn)方法

假設(shè)某個(gè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，根據(jù)3σ原則可知樣本值分布在±σ范圍內(nèi)的概率為68.26%；分布在±2σ范圍內(nèi)的概率為95.44%；分布在±3σ范圍內(nèi)的概率為99.74%；圖1為3σ范圍示意圖。

圖1 3σ示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3σ

2.1 檢驗(yàn)原理

從而可以得到以下推論：

圖的±σ1范圍在N(μ,σ2)中位置示意圖Fig.2 Schematic diagram of ±σ1 range of shown in N(μ,σ2)

圖的±2σ1范圍在N(μ,σ2)中位置示意圖Fig.3 Schematic diagram of ±2σ1 range of shown in N(μ,σ2)

圖的±3σ1范圍在N(μ,σ2)中位置示意圖Fig.4 Schematic diagram of ±3σ1 range of shown in N(μ,σ2)

2.2 檢驗(yàn)步驟

在上述推論基礎(chǔ)上，提出一種具備“自主優(yōu)化”能力的相容性檢驗(yàn)策略，檢驗(yàn)流程圖如圖5所示：

步驟1初始化篩選次數(shù)i=1。

步驟3以(μi-σi,μi+σi)為范圍篩選剩余的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)(第一次篩選時(shí)剩余的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)即為所有先驗(yàn)信息數(shù)據(jù))。

步驟4判斷本次篩選出來(lái)的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)是否為空，如果不為空令i=i+1并返回步驟2；若為空則進(jìn)入步驟5。

步驟5以(μi-2σi,μi+2σi)為范圍篩選剩余的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)。

步驟6判斷本次篩選出來(lái)的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)是否為空，如果不為空令i=i+1并返回步驟2；若為空則進(jìn)入步驟7。

步驟7以(μi-3σi,μi+3σi)為范圍篩選剩余的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)。

步驟8判斷本次篩選出來(lái)的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)是否為空，如果不為空令i=i+1并返回步驟2；若為空則進(jìn)入步驟9。

步驟9顯示全部被篩選出的先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)，程序結(jié)束。

圖5 相容性檢驗(yàn)策略示意圖Fig.5 Schematic diagram of strategy for compatibility test

圖6 篩選函數(shù)自主優(yōu)化示意圖Fig.6 Schematic diagram of independent optimization of filter function

3 基于3σ原則相容性檢驗(yàn)方法性能研究

為驗(yàn)證本文提出的基于3σ原則的極小樣本相容性檢驗(yàn)方法(下文簡(jiǎn)稱為3σ方法)的實(shí)際效果，將3σ方法與文獻(xiàn)[19]提出的變尺度檢驗(yàn)方法(下文簡(jiǎn)稱為文獻(xiàn)方法1)和文獻(xiàn)[21]提出的非參數(shù)檢驗(yàn)方法(下文簡(jiǎn)稱為文獻(xiàn)方法2)進(jìn)行對(duì)比研究。從正態(tài)分布N(μ,σ2)中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)x1、x2作為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，再?gòu)闹须S機(jī)抽取t1個(gè)數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)中的“真值”，在正態(tài)分布N(μ,σ2)兩側(cè)3σ范圍以外一定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)抽取t2個(gè)數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)中的“假值”，將t1、t2混合后分別利用3σ方法和兩種文獻(xiàn)方法對(duì)t1+t2個(gè)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)進(jìn)行相容性檢驗(yàn)(設(shè)定兩種文獻(xiàn)方法的顯著度水平α=0.1)。定義變量“誤差率R”作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中R等于棄真概率和采偽概率之和。

3.1 Monte Carlo仿真次數(shù)對(duì)檢驗(yàn)效果的影響

以某飛行器壽命為例進(jìn)行說(shuō)明，已知該飛行器壽命服從正態(tài)分布N(17 000,2 0002)，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)樣本x1、x2作為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，隨機(jī)抽取t1=20個(gè)樣本作為先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)中“真值”，在N(17 000,2 0002)3σ范圍外兩個(gè)區(qū)間[9 000,11 000]和[23 000,25 000]按照均勻分布隨機(jī)抽取t2=4個(gè)樣本作為先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)“假值”，因此先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)總數(shù)n=t1+t2=24，其中假值所占比例為16.7%。利用Monte Carlo方法對(duì)x1、x2進(jìn)行Nr次重復(fù)抽樣，分別計(jì)算不同仿真次數(shù)下上述3種方法的誤差率R，結(jié)果如圖7所示。

當(dāng)仿真次數(shù)少于400次時(shí)3種方法的誤差率波動(dòng)較大，而當(dāng)仿真次數(shù)超過(guò)400次后誤差率逐漸趨于穩(wěn)定，在上述設(shè)定的初始條件下3σ方法誤差率最終穩(wěn)定在14.02%，文獻(xiàn)方法1為20.40%，文獻(xiàn)方法2為41.76%。因此利用Monte Carlo方法仿真時(shí)仿真次數(shù)不應(yīng)低于400次。

圖7 仿真次數(shù)與誤差率關(guān)系示意圖Fig.7 Schematic diagram of relationship between simulation times and error rate

3.2 先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量對(duì)檢驗(yàn)效果的影響

在3.1節(jié)基礎(chǔ)上，研究先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量對(duì)誤差率的影響。為了保證精度，給定仿真次數(shù)為1 000次。先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量n由10逐次遞增到100，保持其中“假值”所占比例16.7%不變，分別計(jì)算不同先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量下3種檢驗(yàn)方法的誤差率R，結(jié)果如圖8所示。

如圖8所示，隨著先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量的不斷增加，文獻(xiàn)方法1誤差率在25%上下浮動(dòng)，基本保持穩(wěn)定；文獻(xiàn)方法2誤差率在40%上下浮動(dòng)，也基本保持穩(wěn)定；而3σ方法呈現(xiàn)出誤差率隨先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量增加而不斷下降的趨勢(shì)，原因在于3σ方法利用相對(duì)保守的策略分批次甄別“真值”的同時(shí)利用已經(jīng)確認(rèn)的“真值”不斷修正自身分布函數(shù)，使其不斷向總體分布函數(shù)逼近。由此說(shuō)明3σ方法具備良好的“自主優(yōu)化”的能力。

圖8 先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)樣本量與誤差率關(guān)系示意圖Fig.8 Schematic diagram of relationship between prior information data sample size and error rate

3.3 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布對(duì)檢驗(yàn)效果的影響

由于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本量只有兩個(gè)，因此樣本的分布對(duì)檢驗(yàn)效果有較大影響。為了方便描述，將正態(tài)分布區(qū)域以±σ、±2σ、±3σ為邊界劃分成6個(gè)區(qū)域，如圖9所示。

將兩個(gè)樣本中的任意一個(gè)抽樣范圍固定在1～6區(qū)間的某個(gè)區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)樣本抽樣范圍根據(jù)上述正態(tài)分布區(qū)間劃分依次取5、3、1、2、4、6，分別計(jì)算每?jī)蓚€(gè)區(qū)間組合下3種檢驗(yàn)方法的平均誤差率，仿真次數(shù)定為1 000次。(x,y)代表第一個(gè)樣本抽樣區(qū)間為x區(qū)間，第二個(gè)樣本抽樣區(qū)間為y區(qū)間。仿真結(jié)果如圖10所示。

從仿真結(jié)果可以看出，由于正態(tài)分布中1區(qū)間和2區(qū)間左右對(duì)稱，因此x=1和x=2情況下誤差率R變化圖也呈現(xiàn)左右對(duì)稱的趨勢(shì)。同理3、4區(qū)間和5、6區(qū)間也是如此。當(dāng)兩個(gè)樣本抽樣范圍位于同一個(gè)區(qū)間，即x=y時(shí)，3種檢驗(yàn)方法的誤差率R都達(dá)到峰值。具體而言，對(duì)于3σ方法，當(dāng)x=y時(shí)誤差率R達(dá)到最大，且最大值兩側(cè)隨著兩個(gè)樣本抽樣區(qū)間距離的不斷增加，誤差率R快速下降并隨后呈現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定的趨勢(shì)；文獻(xiàn)方法一誤差率R峰值比3σ方法略低，且隨樣本抽樣區(qū)間變化波動(dòng)更小，但是總體上高于3σ方法誤差率R；文獻(xiàn)方法3當(dāng)兩個(gè)樣本位于同一個(gè)區(qū)間時(shí)誤差率R高達(dá)80%，并且誤差率R隨樣本抽樣區(qū)間變化呈現(xiàn)出較大的波動(dòng)性。

圖9 正態(tài)分布區(qū)域劃分示意圖Fig.9 Schematic diagram of division of normal distribution areas

圖10 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布與誤差率的關(guān)系圖Fig.10 Schematic diagram of relationship between experimental data distribution and error rate

4 結(jié) 論

1) 當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本量等于2時(shí),僅根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果很難作出有實(shí)際意義的壽命評(píng)估。在已知壽命服從正態(tài)分布情況下，利用本文提出的基于3σ原則的極小樣本相容性檢驗(yàn)方法可以有效地對(duì)先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)篩選，對(duì)樣本進(jìn)行擴(kuò)充。若樣本服從威布爾等其他分布也可以參考本文思路進(jìn)行研究。

2) 基于3σ原則的極小樣本相容性檢驗(yàn)方法與兩種文獻(xiàn)方法相比誤差率R總體上更低，檢驗(yàn)性能良好。

3) 基于3σ原則的極小樣本相容性檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)誤差率R隨著先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)的增加而不斷下降，具備“自主優(yōu)化”的特性，因此使用該方法時(shí)應(yīng)該盡可能多地收集先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)，當(dāng)然前提是保證先驗(yàn)信息數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

4) 當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本量為2時(shí)，兩個(gè)樣本所在區(qū)間以及樣本之間的相對(duì)距離對(duì)檢驗(yàn)誤差率R都會(huì)產(chǎn)生一定的影響，因此可以考慮利用專家意見、先驗(yàn)信息等對(duì)試驗(yàn)樣本分布進(jìn)行合理估計(jì)，并針對(duì)不同分布組合采用不同的檢驗(yàn)策略。

參 考 文 獻(xiàn)

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