飛機主饋線單相交流電阻解析計算方法

張瑤佳，王莉,*，王曉慧，劉偉，阮立剛

1.南京航空航天大學 自動化學院，南京 211100 2. 上海飛機設(shè)計研究院，上海 201210

主饋線是指從飛機主發(fā)電機的輸出端至發(fā)電機匯流條之間的導線，其性能與電源系統(tǒng)的重量、電能質(zhì)量和可靠性密切相關(guān)。主饋線是飛機交流電源系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)，發(fā)電系統(tǒng)調(diào)壓點的電壓等于發(fā)電機端電壓與主饋線的壓降之差，發(fā)電機除了要為負載提供功率，還需要提供主饋線消耗的有功和無功功率，主饋線上阻抗的存在增加了發(fā)電機的負擔；另外，主饋線阻抗對電能質(zhì)量也有明顯的影響，這種影響在大容量負載起動或切換過程、發(fā)電機或者配電線路故障等瞬態(tài)過程中更加嚴重，易導致電壓瞬變超出標準中規(guī)定的瞬態(tài)范圍極限，從而危害到負載設(shè)備[1-2]。所以，開展飛機主饋線的阻抗研究具有重要的意義。

目前大型飛機正朝著全電化和多電化的方向發(fā)展[3-4]，電源系統(tǒng)的容量也越來越大。變頻交流電源系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、效率高、費用低的優(yōu)點，因而適合作為大容量的飛機交流電源系統(tǒng)，是大型飛機的發(fā)展趨勢之一[5]。大型飛機變頻交流電源系統(tǒng)的顯著特點是容量大大提高，且主饋線的長度顯著增加。其穩(wěn)態(tài)電源頻率范圍是360～800 Hz，最高頻率相比傳統(tǒng)400 Hz恒頻交流電源系統(tǒng)提高了一倍。頻率的提高以及主饋線長度的增加引起主饋線阻抗增大，并且由于電源系統(tǒng)容量的提高，主饋線電流大大增加，因此主饋線電壓損失和損耗的問題非常突出。在變頻系統(tǒng)中，較高頻率時電壓不平衡度會更大，這主要是由于饋線阻抗的增大所引起的，并且主饋線阻抗將對系統(tǒng)帶不平衡負載能力、開關(guān)過程的瞬態(tài)電壓、電壓跌落及波形畸變等產(chǎn)生較大影響；因此，為了提高電源系統(tǒng)電能質(zhì)量，也必須開展主饋線阻抗的優(yōu)化方法研究。

在變頻交流電源系統(tǒng)中，主發(fā)電機的頻率范圍為360～800 Hz，在實際運行過程中有諧波輸出，其諧波電流頻率考慮在20 kHz以內(nèi)，集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)對主饋線阻抗值的影響不能忽略[6-7]。由于交流電阻是計算壓降和損耗的主要參量，所以在考慮諧波頻率后的寬頻帶范圍內(nèi)，對主饋線交流電阻值的計算顯得至關(guān)重要?？紤]到諧波的影響，需要計算0～20 kHz頻率范圍內(nèi)的交流電阻值，如果依舊使用傳統(tǒng)有限元仿真軟件ANSOFT的渦流場模塊求解集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)對電阻值的影響[8-9]，需要進行大量的重復工作，過程繁瑣，所以研究解析計算方法計算寬頻率范圍內(nèi)的交流電阻值有著重要意義。

1915年，Kennelly等采用實驗方法分析了不同形狀導體受集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)的不同影響，并且進一步驗證了基于貝塞爾函數(shù)的集膚因子計算方法的正確性[10]。2013年，加拿大多倫多大學電氣工程系的Patel等給出了一種將導納算子和矩量法相結(jié)合的數(shù)值計算方法，該方法能夠計算圓導體計及集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)的交流阻抗值，但仍是基于貝塞爾函數(shù)，公式復雜，不利于工程計算和進一步推廣[11]。2014年，英國電氣工程師Payne從等效導電面積的角度求取了單根導體交流電阻值，同時給出兩根導體間鄰近因子的計算方法，較傳統(tǒng)基于貝塞爾函數(shù)的方法更加簡單，易于推廣，但是該計算方法的適用范圍有一定的局限性，在導體間通有反相電流時交流電阻的計算誤差很大，達到16%[12]。

國內(nèi)針對集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)的計算也有一定的研究，文獻[13]提出一種準確性與有限元法相當，而計算要簡單得多的數(shù)值計算方法，通過損耗之比和漏磁場能量之比來計算異步電機雙籠轉(zhuǎn)子導條的集膚效應(yīng)系數(shù)；文獻[14]基于磁性元件繞組的一維模型，對平面磁性元件繞組中的渦流效應(yīng)進行分析，采用Dowell計算受集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)影響的繞組損耗；文獻[15]采用基于正弦時變電磁場的復數(shù)模型，推導了有限公式法二維渦流電磁場的計算公式，計算了鼠籠電機轉(zhuǎn)子導條的集膚效應(yīng)；文獻[16]采用雙轉(zhuǎn)子支路的等效模型對籠型感應(yīng)電機轉(zhuǎn)子參數(shù)的電阻校正系數(shù)和槽漏感校正系數(shù)進行計算；文獻[17]借助有限元仿真數(shù)據(jù)，建立空心繞組交流電阻系數(shù)的經(jīng)驗公式，將經(jīng)典Dowell解析計算公式拓展至空心繞組的交流電阻計算中。以上文獻在研究集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)的解析計算方法中具有一定的指導意義，但是研究對象大多針對電極轉(zhuǎn)子導條，無法對圓形導體適用；另一方面，解析計算方法普遍比較復雜，不利于工程應(yīng)用。

綜上，目前對集膚因子和鄰近因子的計算方法主要有以下幾種：基于有限元的數(shù)值計算方法、基于貝塞爾函數(shù)的計算方法、基于經(jīng)驗公式的計算方法以及基于等效導電面積的計算方法。① 基于有限元的數(shù)值計算方法需要借助有限元仿真軟件，進行大量的重復仿真工作，過程繁瑣；② 基于貝塞爾函數(shù)的計算方法公式復雜，不利于工程計算和進一步多根導體交流電阻的推廣研究；③ 采用經(jīng)驗公式計算交流電阻值的方法，具有物理含義不明確的缺點，修正系數(shù)隨著導體參數(shù)的變化需要重新推導計算，普適性不強；④ 基于等效導電面積計算交流電阻的方法，該方法具有公式簡單、物理意義明確的優(yōu)點，但是當兩根導體中心距離很小時，計算誤差較大，不適用于兩根導體相互靠近的情況。所以，現(xiàn)有的集膚因子和鄰近因子計算方法受公式復雜度、物理含義及適用范圍的限制很大，并不能快速準確地計算出兩根導體在任意條件下的交流電阻值。所以本文對兩根導體的交流電阻計算方法進行研究，使其具有通用性，擴大了適用范圍，公式簡單，易于推廣，便于工程計算，具有重要的應(yīng)用價值。

本文主要以大型飛機變頻交流電源系統(tǒng)為應(yīng)用背景，對兩根導體間交流電阻解析計算方法進行優(yōu)化推導，使其具有通用性，擴大適用范圍，即在電流頻率、導體本身的尺寸及兩根導體間的相對位置改變時，仍然可以保證較高的計算精度。取代耗時長、過程繁瑣的有限元仿真的方法，具有重要的工程應(yīng)用價值。

1 電阻受集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)影響原理

本文以大型飛機變頻交流電源系統(tǒng)為研究背景，主饋線上所通電流的頻率范圍為360～800 Hz，諧波電流頻率考慮在20 kHz以內(nèi)，所以在0～20 kHz范圍內(nèi)考慮集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)對電纜交流電阻值的影響[18-19]。

1.1 集膚效應(yīng)原理

當交變電流通過導體時，電流密度在導體橫截面上的分布是不均勻的，并隨著頻率的升高，電流越來越集中于導體的表面附近，導體內(nèi)部的電流密度越來越小，這被稱為集膚效應(yīng)。

集膚效應(yīng)會使導體交流電阻增加，這里引入集膚因子αR的概念:

(1)

式中：Risolated為單根導體考慮集膚效應(yīng)影響的交流電阻值；RDC為單根導體直流電阻值。

集膚因子的計算公式為[12]

(2)

式中：f為電流頻率；dw為單根導體直徑；δ為集膚深度；μ為磁導率；σ為電導率。

1.2 鄰近效應(yīng)原理

當相鄰導體流過交變電流時，由于電磁作用使電流偏向一邊的現(xiàn)象稱為鄰近效應(yīng)。在主饋線中通過交流電流時，導體內(nèi)電流會因鄰近效應(yīng)的作用偏向一側(cè)，導體材料、半徑、頻率對鄰近效應(yīng)的影響規(guī)律與集膚效應(yīng)相似。不同的是，鄰近效應(yīng)還受主饋線敷設(shè)方式和相互間敷設(shè)距離等因素的影響。

兩根導體間由于鄰近效應(yīng)會導致電阻值增加，這里引入電阻鄰近因子的概念:

(3)

式中：R為兩根導體間同時考慮集膚和鄰近效應(yīng)影響的交流電阻值。

鄰近因子的計算受多種因素影響，現(xiàn)有的計算方法大多推導過程繁瑣，英國電氣工程師Payne所提出的鄰近因子計算方法過程相對簡單，并且具有一定的物理含義，但是適用范圍有限。本文在Payne公式的基礎(chǔ)上，解決該計算方法存在的不足，得到兩根導體間交流電阻的通用解析計算方法。

Payne給出的鄰近因子的計算公式為

(4)

2 兩根導體交流電阻計算方法優(yōu)化

2.1 Payne計算方法存在的問題

由于鄰近效應(yīng)的影響和兩根導體的電流方向有密切的關(guān)系，所以在鄰近因子的計算中，需要分兩根導體所通電流同向和反向兩種不同情況討論。

1) 電流反向

當兩根導體通有反向電流時，電流密度J分布如圖1所示。

根據(jù)電軸法，設(shè)想將兩圓柱導體表面的電荷效應(yīng)用兩根很長的帶電細線代替[20]，由于鄰近效應(yīng)的影響，等效帶電細線的位置會偏離圓心，如圖2所示，A1、B1為實際的等效帶電點。

那么，導體A和導體B交流電阻的計算公式為

(5)

圖1 電流反向時電流密度分布Fig.1 Current density distribution in opposed current

圖2 兩根導體間等效間距(電流反向)Fig.2 Equivalent spacing between two conductors (opposed current)

為驗證式(5)的正確性，選用線規(guī)為AWG 0000#的電纜，結(jié)構(gòu)如圖3所示，導電部分的半徑r=5.842 mm，含絕緣層的外徑Rout=7.82 mm，改變導體A和導體B間的中心距離p，分別取16、20、25、32、50和100 mm。用式(5)計算得到兩根導體的交流電阻值和有限元仿真值進行對比，誤差曲線如圖4所示。

從圖4中的結(jié)果可以看出，當中心距離較小時，誤差較大，兩根導體緊密靠近時的誤差可達16%，中心距離為20 mm時誤差也有6%，當中心距離大于25 mm后，誤差較小，計算較精確，此時的最大誤差雖在5%左右，但只存在于個別的頻率點，多數(shù)點誤差在2%以內(nèi)。

圖3 兩根導體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of structure of two conductors

圖4 兩導體交流電阻計算誤差曲線(電流反向)Fig.4 Calculation error curves of AC resistance of two conductors (opposed current)

很明顯，當兩根導體中心距離較近時，Payne的計算方法并不能準確計算交流電阻值，這是目前無法解決的問題。

2) 電流同向

當兩根導體通有同向電流時，電流集中于相互遠離的一側(cè)，電流密度分布如圖5所示，此時分析和計算方法與電流反向時相同，在此不再贅述。

同樣的，對兩根導體電流同向時的計算結(jié)果進行驗證，驗證條件和反向時相同，此時的計算值和仿真值誤差曲線如圖6所示。

電流同向時，在任意中心距離下，交流電阻計算公式的最大誤差在5%左右，多數(shù)點誤差在1%以內(nèi)，計算結(jié)果較精確。

圖5 電流同向時電流密度分布Fig.5 Current density distribution in same current

圖6 兩導體交流電阻計算誤差曲線(電流同向)Fig.6 Calculation error curves of AC resistance of two conductors (same current)

2.2 交流電阻解析計算方法優(yōu)化

2.1節(jié)已經(jīng)提到，當兩根導體間所通電流方向相反時，在相互靠近時交流電阻公式計算誤差很大，為解決這個問題，從鄰近效應(yīng)的原理出發(fā)，對交流電阻計算方法重新進行優(yōu)化研究。

Payne在推導鄰近因子的計算方法中考慮了導體A產(chǎn)生的磁力線和磁場強度對導體B的影響，由于導體B存在于導體A的磁力線范圍內(nèi)，渦流損耗導致了導體A交流電阻值的增長，這就是鄰近效應(yīng)的表現(xiàn)。所以要解決誤差大的問題，首先需要研究導體A磁力線的分布情況。

在有限元仿真軟件ANSOFT中進行建模分析，仿真條件為：線規(guī)AWG 0000#(r=5.842 mm，Rout=7.82 mm)，導體材料為Cu，考慮諧波的頻率范圍為0～20 kHz，兩根導體中所通電流反向，IA=150 A，IB=0 A，中心距離分別取p=16,25,50 mm。仿真得到的磁力線A分布如圖7所示(圖中左邊為導體A，右邊為導體B)。

圖7 磁力線分布Fig.7 Distribution of magnetic field line

從圖7中明顯可以看出，導體A產(chǎn)生的磁力線并不是均勻分布的，而是在導體B內(nèi)部有一個比較嚴重的畸變，這種畸變隨著兩根導體中心距離的增大而變小。

對畸變產(chǎn)生的原因進行解釋：如圖8所示，由于導體A中通有交流電流iA，產(chǎn)生交變的磁場BA，交變的磁場通過導體B中的某一截面時會產(chǎn)生渦流iAB，這就是鄰近效應(yīng)在導體B中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流會在導體B中產(chǎn)生感應(yīng)磁場，感應(yīng)磁場與原有磁場相疊加所導致的磁力線畸變，在兩根導體距離較近的時候畸變比較嚴重，隨著兩根導體中心距離的增加，畸變減小，所以磁力線呈現(xiàn)圖7中的規(guī)律變化。

ANSOFT軟件中的電流密度分布云圖很好地印證了上面的解釋，如圖9所示。

接下來考慮磁力線畸變的影響，重新推導鄰近因子解析計算公式，具體過程為：

導體A中有交變的電流流過，會產(chǎn)生交變的磁場，而導體B存在于變化的磁場中，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，會產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而引起渦流損耗的發(fā)生。渦流損耗的計算公式結(jié)合麥克斯韋第一方程可以得到導體在距圓心為r處產(chǎn)生的磁力線的功率損耗[21]：

圖8 兩根導體鄰近效應(yīng)示意圖Fig.8 Schematic diagram of proximity effect of two conductors

圖9 電流密度分布云圖(p=16 mm)Fig.9 Distribution of current density contour (p=16 mm)

(6)

式中：K為常數(shù);Rr為由于導體A的渦流損耗在r處增加的交流電阻值。

Pr=I2Rr

(7)

Hr=I/(2πr)

(8)

Rr=K/(2πr)2

(9)

在r處產(chǎn)生的交流電阻Rr與單根交流電阻值R0的比值，即導體A磁力線在r處產(chǎn)生的電阻增量，即

Rr/R0=(aw/r)2

(10)

如圖10所示，導體B存在于導體A的磁場中，由于導體B的存在導致了交流電阻的增加，這部分增量是由于導體A的交變磁場在導體B上產(chǎn)生了渦流損耗所致，這里采用磁力線表征導體A對導體B的影響，那么對導體B上所有的磁力線進行積分即可求得由于鄰近效應(yīng)的存在電阻增加的部分。

以AWG 0000#為例，此時中心距離p=16 mm，由于畸變，導體A產(chǎn)生的磁力線在導體B內(nèi)部磁力線分布如圖11所示。

圖10 兩根導體磁力線分布示意圖Fig.10 Schematic diagram of magnetic line distribution of two conductors

圖11 磁力線分布圖(p=16 mm)Fig.11 Magnetic line distribution map (p=16 mm)

積分區(qū)間為[r1,r1+aw/2]和[r2-aw/2,r2]。

在新的區(qū)間范圍內(nèi)進行積分，鄰近因子計算公式為

(11)

考慮集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)對導體電流密度分布影響后，導體A的總電阻為

(12)

根據(jù)對稱性，導體B的交流電阻值與導體A相等。

用式(12)對兩根導體不同中心距離下的交流電阻進行計算，在單根導體線規(guī)為AWG 0000#條件下，誤差曲線如圖12所示。

圖12 兩導體交流電阻計算誤差曲線(AWG 0000#)Fig.12 Calculation error curves of AC resistance of two conductors (AWG 0000#)

從圖12中可以看出，最大誤差在5%左右，多數(shù)點誤差在2%左右，所以修正后的公式能夠很好地計算兩根導間的交流電阻值，解決了中心距離較近時誤差較大的問題。

2.3 交流電阻解析計算方法仿真驗證

為了驗證式(12)的普適性，改變導線半徑和中心距離進行驗證，驗證條件為：在AWG 0#線規(guī)下，依舊保持兩根導體間所通電流反向，求解兩根導體不同中心距離下的交流電阻值。導體參數(shù)：半徑為4.126 mm，中心距離分別取12、15、18、20、25、30、50、100 mm，考慮諧波的頻率范圍為0～200 kHz，通電電流為150 A，導體材料為Cu。計算得到的誤差曲線如圖13(a)所示。

在AWG 6#線規(guī)下，線徑較小，驗證此時交流電阻計算公式的準確性。依舊保持兩根導體間所通電流反向，求解兩根導體不同中心距離下的交流電阻值。導體參數(shù)：導體半徑為2.057 5 mm，導體外徑為2.94 mm，中心距離分別取6、8、9、10、15、50和100 mm，考慮諧波的頻率范圍為0～20 kHz，通電電流為150 A，導體材料為Cu。

從圖13(b)中的仿真驗證結(jié)果可以看出，在不同的導體半徑和中心距離下，優(yōu)化后的解析計算公式均能將計算誤差保證在5%以內(nèi)，能夠準確地計算兩根導體的交流電阻值。

圖13 兩導體交流電阻計算誤差曲線Fig.13 Calculation error curves of AC resistance of two conductors

2.4 交流電阻解析計算方法對比研究

本節(jié)對已有的Payne公式和優(yōu)化后的式(12)進行對比研究，證明本文推導的公式具有明顯優(yōu)勢。以AWG 0000#線規(guī)、中心距離p=16 mm為例，將優(yōu)化后的交流電阻計算式(12)的計算結(jié)果與Payne公式的計算結(jié)果進行對比，如圖14所示。從圖14中可以看出，優(yōu)化后的公式基本和仿真值相吻合，更能反映交流電阻值隨頻率變化的趨勢。

為了更好地說明式(12)的優(yōu)勢，將兩種公式在不同線規(guī)、不同中心距離、不同頻率下的計算誤差進行對比。所選用的線規(guī)分別為：AWG 0000#、AWG 0#、AWG 6#，考慮每種線規(guī)緊密靠近的情況，即中心距離分別為16、12、6 mm，頻率點在0～20 kHz范圍內(nèi)任取，誤差對比結(jié)果如表1所示。

很明顯，優(yōu)化后的計算更加準確，將誤差從16%降低到了2%左右，新計算方法不再受兩根導體間中心距離的制約，適用范圍更廣。

圖14 公式優(yōu)化前后計算值對比Fig.14 Comparison of calculation value before and after formula optimization

表1 兩種計算方法誤差分析Table 1 Error analysis of two calculation methods

注:式①代表式(12)計算結(jié)果，式②代表Payne公式計算結(jié)果。

3 交流電阻解析計算方法實驗驗證

借助已有的阻抗測量實驗平臺，驗證兩根導體交流電阻解析計算方法的正確性。測量用航空電纜導電面積為50 mm2，導體半徑約為r=3.989 4 mm，絕緣層厚度為1.51 mm，外徑為Rout=5.5 mm，導體間的中心距離為p=42 mm。使用可編程電源供電，所加電壓為115 V，電流反向，頻率在50～1 400 Hz內(nèi)取幾個典型測量點，線纜長為9.2 mm。實驗測量平臺如圖15所示。

圖15 阻抗測量實驗平臺Fig.15 Experiment platform for impedance measurement

實驗測量電纜兩端的電壓降ΔV和實際所通電流I，根據(jù)兩者的比值和相位差計算不同頻率下的交流電阻值，得到實驗測量值，記為R1；采用式(12)對實驗中兩根電纜的交流電阻進行理論計算，得到理論計算值，記為R2；借助有限元仿真軟件ANSOFT對實驗中的兩根電纜進行仿真計算，可以得到仿真計算值，記為R3；實驗測量值、理論計算值、仿真計算值的具體數(shù)值如表2所示。

將表2實驗測量值、理論計算值和仿真計算值進行對比，如圖16(a)所示。

從圖16(a)中結(jié)果可以看出，兩根電纜間交流電阻的實驗測量值、理論計算值和仿真計算值三者隨著頻率變化的規(guī)律一致，均隨著頻率的增大而增大，并且三者之間的數(shù)值相差較小。接下來對其誤差進行對比分析，對比結(jié)果如圖16(b)所示。虛線是5%誤差線。

表2 兩根電纜交流電阻值Table 2 AC resistance values of two cables

注：e1為仿真計算值和實驗測量值之間的誤差；e2為理論計算值和實驗測量值之間的誤差。

圖16 兩根電纜交流電阻值和誤差曲線Fig.16 Curves of AC resistance value and error of two cables

從圖16中的結(jié)果可以看出：① 仿真計算值與實驗測量值之間的誤差在4%以內(nèi)，平均誤差2.75%，證明了本文中所采用的有限元仿真建模方法的正確性，所求取的交流電阻值能夠作為評估理論計算值的標準；② 理論計算值與實驗測量值之間多數(shù)點誤差在4%以內(nèi)，平均誤差3%，通過與實驗測量值的對比，理論計算值的誤差較小，說明本文給出的交流電阻解析計算方法能夠很好地計算出兩根導體間的交流電阻值，證明了交流電阻解析計算方法的正確性。

4 結(jié) 論

1) 推導并優(yōu)化了兩根導體間鄰近因子的計算方法，將兩根導體間交流電阻計算誤差減小到5%以內(nèi)。

2) 優(yōu)化后的兩根導體交流電阻解析計算方法具有適用范圍廣、計算過程簡單、物理意義明確、計算精度高等優(yōu)點，簡化了繁瑣的有限元仿真計算過程。

3) 為推導多導體主饋線敷設(shè)方式的交流電阻解析計算方法提供理論指導。

參 考 文 獻

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