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    功率理論定義中的參考點(diǎn)選擇方法

    2018-05-18 03:56:23田銘興王江彬趙遠(yuǎn)鑫
    電力自動(dòng)化設(shè)備 2018年1期
    關(guān)鍵詞:參考點(diǎn)約束條件向量

    田銘興 ,王江彬 ,趙遠(yuǎn)鑫

    (1.蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;2.蘭州交通大學(xué) 甘肅省軌道交通電氣自動(dòng)化工程實(shí)驗(yàn)室,甘肅 蘭州 730070)

    0 引言

    功率理論定義中的參考點(diǎn)選擇問題是一個(gè)非?;A(chǔ)的問題,但一直沒有得到統(tǒng)一解決。眾多研究者選用電路中性點(diǎn)作為參考點(diǎn)[1-5],又有研究者選用大地作為參考點(diǎn)[6-9],還有研究者直接利用搭建虛擬中性點(diǎn)的方法來解決參考點(diǎn)選擇問題[10-13]。另外,現(xiàn)有的大多數(shù)功率理論定義方法[10,13-15]所定義的無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇的影響[13],這意味著在空間選擇不同的參考點(diǎn)應(yīng)用同一種功率理論定義方法計(jì)算所得的無功功率和視在功率完全不同,從而導(dǎo)致功率因數(shù)也會(huì)因參考點(diǎn)選擇的不同而不同。功率因數(shù)是用來衡量電路本身特性的,而參考點(diǎn)選擇則完全遵循功率理論研究者的人為意愿,因此功率因數(shù)受參考點(diǎn)選擇影響是不合理的。

    然而,參考點(diǎn)選擇時(shí)到底應(yīng)該遵守怎樣的依據(jù),很少有文獻(xiàn)對此做專門的分析。這導(dǎo)致人們沒有認(rèn)識(shí)到參考點(diǎn)選擇時(shí)受到的約束,認(rèn)為功率理論研究中的參考點(diǎn)可以任意選擇,從而導(dǎo)致現(xiàn)有功率理論定義時(shí)參考點(diǎn)選擇的方法多種多樣,這時(shí)無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響的本質(zhì)原因容易被忽略。實(shí)際上,除了少數(shù)情況[16-17]外,電路分析和電磁場分析問題求解過程中的參考點(diǎn)確實(shí)可以任意選擇,這是導(dǎo)致目前功率理論定義過程中參考點(diǎn)任意選擇的根源。

    針對這些問題,本文首先明確了功率理論定義中參考點(diǎn)選擇時(shí)應(yīng)該受到的約束,然后在此基礎(chǔ)上證明了所選擇參考點(diǎn)的唯一性,最后以廣義瞬時(shí)功率理論為例對本文參考點(diǎn)選擇方法進(jìn)行了說明,并使針對具體電路的功率量成為唯一確定值,這對視在功率和功率因數(shù)等量的計(jì)算都是有利的。

    1 參考點(diǎn)選擇的約束條件

    圖1為n端電路示意圖,該n端電路的n個(gè)端子可以接系統(tǒng)電源,也可以接補(bǔ)償器。選擇空間任意一點(diǎn)x(這里的x表示空間中所有可供選擇參考點(diǎn)構(gòu)成的集合X中的任意一個(gè)元素,即x∈X)作為參考點(diǎn)進(jìn)行分析。

    圖1 選擇任意參考點(diǎn)的多端電路Fig.1 Multi-terminal circuit with arbitrary point as reference point

    圖1 中的 u1x、u2x、u3x、…、un-1x、unx表示選擇任意參考點(diǎn)x后電路各個(gè)端子相對于參考點(diǎn)x的瞬時(shí)電壓,這些瞬時(shí)電壓構(gòu)成的向量稱為瞬時(shí)電壓向量,記作:

    i1、i2、i3、…、in-1、in表示電路各個(gè)端子上的瞬時(shí)電流,這些瞬時(shí)電流構(gòu)成的向量稱為瞬時(shí)電流向量,記作:

    針對圖1的n端電路,在已知式(1)與式(2)給出的瞬時(shí)電壓向量unx與瞬時(shí)電流向量in的基礎(chǔ)上,廣義瞬時(shí)功率理論[6-10]可以將電流分解為:

    其中,為電壓向量unx長度的平方;In為單位矩陣。

    其中,p為電路的瞬時(shí)有功功率;q為瞬時(shí)虛功率矩陣[6-10];為 p 的直流分量;為 p 的交流分量;為 q的各個(gè)元素取直流量構(gòu)成的矩陣;為q的各個(gè)元素取交流量構(gòu)成的矩陣。

    針對這4 個(gè)功率量,考慮到每個(gè)功率量等于0或者不等于0的情況,4個(gè)功率量構(gòu)成的組合數(shù)目為:

    由于,那么根據(jù)式(4)可以將這 16 種組合形式具體分為5種情況。

    a.4個(gè)功率量全部等于0的一種情況,具體為:

    對于一個(gè)實(shí)際電路,式(5)所示的這種情況并不存在,這里不予分析。

    b.4個(gè)功率量中有一個(gè)功率量不等于0的4種情況,具體為:

    將式(6)的 4個(gè)式子分別代入式(3),可以在這4個(gè)式子對應(yīng)的4種情況下各求解出一個(gè)電流量。無論所求解的這個(gè)電流量由系統(tǒng)電源提供還是由補(bǔ)償器提供,所供出的電流必須滿足電路的基爾霍夫電流定律(KCL),這就要求:

    比如,將式(6)的第一個(gè)式子代入式(3),可以得:

    無論怎樣選擇參考點(diǎn),式(8)中電壓向量unx長度的平方a都會(huì)滿足式(9):

    由式(6)中的第一個(gè)式子和式(9)可以得:

    無論是系統(tǒng)電源還是補(bǔ)償器提供式(8)的這部分電流,結(jié)合式(8)與式(10)可以看出,要使電路滿足KCL,那么式(7)就必須要成立。其他情況可作類似分析。

    c.4個(gè)功率量中有2個(gè)功率量不等于0的6種情況,具體為:

    將式(11)的6個(gè)式子代入式(3),可以在這6個(gè)式子對應(yīng)的6種情況下各求解2個(gè)電流量。無論這2個(gè)電流中的1個(gè)或2個(gè)電流量由系統(tǒng)電源(或補(bǔ)償器)進(jìn)行提供,要使提供的電流滿足KCL,則電壓向量unx的元素必須滿足式(7)。

    d.4個(gè)功率量中有3個(gè)功率量不等于0的4種情況,具體為:

    將式(12)的4個(gè)式子代入式(3),可以在這4個(gè)式子對應(yīng)的4種情況下各求解3個(gè)電流量。無論是這3個(gè)電流中的1個(gè)、2個(gè)或者3個(gè)電流量由系統(tǒng)電源(或補(bǔ)償器)進(jìn)行提供,要使提供的電流滿足KCL,則電壓向量unx的元素也必須滿足式(7)。

    e.4個(gè)功率量都不等于0的一種情況,具體為:

    將式(13)的式子代入式(3),可以在這種情況下求解4個(gè)電流量。無論是求解的電流中的1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或者4個(gè)電流量由系統(tǒng)電源(或補(bǔ)償器)進(jìn)行提供,電壓向量unx的元素也必須滿足式(7)。

    式(7)就是多端電路參考點(diǎn)選擇時(shí)的電壓固定約束條件。這個(gè)約束條件是所有功率理論定義所必須遵守的,否則定義出的電流分量就不滿足電路KCL,即不滿足電路的電荷守恒定律。這說明,如果參考點(diǎn)可以任意選擇,那么從數(shù)學(xué)上按照式(3)給出的電流分解將有無數(shù)種分解結(jié)果,但是只有滿足式(7)的參考點(diǎn)選擇約束條件才能夠使電流的數(shù)學(xué)分解與電路的物理定律對應(yīng)起來,否則電流的分解將只有數(shù)學(xué)意義。

    2 參考點(diǎn)選擇的唯一性證明

    考慮如圖2所示的n端電路,圖中標(biāo)出了該電路的端子與端子之間的n個(gè)瞬時(shí)電壓u12、u23、…、un-1n、un1,這些瞬時(shí)電壓都稱為瞬時(shí)端電壓。

    圖2 多端電路的瞬時(shí)端電壓分析Fig.2 Analysis of instantaneous terminal voltage for multi-terminal circuit

    結(jié)合圖1和圖2,可以得出兩圖中的瞬時(shí)電壓具有式(14)所示關(guān)系:

    式(14)表述成矩陣形式為:

    由于式(15)中矩陣A的秩為n-1,也即式(14)的方程有 n-1個(gè)獨(dú)立方程,而其未知數(shù) u1x、u2x、u3x、…、un-1x、unx卻有 n 個(gè),所以式(14)的方程有無數(shù)個(gè)解。然而,考慮到式(7),那么由式(14)的方程結(jié)合式(7)的電壓約束條件所得的式(14)的解必定是唯一的。

    實(shí)際上,這一結(jié)論也可以通過以下的簡單分析得到。

    針對圖1,假設(shè)選定的滿足式(7)的參考點(diǎn)是集合 X 中的元素 x(x∈X)點(diǎn),即:

    假設(shè)集合X中還有一個(gè)參考點(diǎn)y(y∈X)也滿足:

    由于:

    由式(16)—(18)可得:

    考慮到式(19),可將式(18)化簡為:

    式(20)也表明針對具體電路這樣的參考點(diǎn)是唯一的。

    3 參考點(diǎn)選擇的具體方法

    由式(14)的方程結(jié)合式(7)的約束條件解得:

    然而,式(21)在應(yīng)用時(shí)存在困難,因?yàn)闇y量電壓比較多而且有重復(fù)測量的弊端。因此有必要對這種參考點(diǎn)選擇方法進(jìn)行簡化。

    式(21)可以表達(dá)為:

    其中,u1k、u2k、…、unk為以圖1 的 n 端電路的第 k(k=1,2,…,n)端為參考點(diǎn)時(shí)各個(gè)端子相對于電路k參考端的瞬時(shí)電壓。

    式(22)表明,按照本文思路選擇參考點(diǎn)時(shí),可以首先選擇電路的第k端為參考點(diǎn),進(jìn)而得到各個(gè)端子相對于電路k參考端的各個(gè)瞬時(shí)電壓,然后從這些瞬時(shí)電壓分量中剔除瞬時(shí)電壓u0就可以得到唯一滿足式(7)的電壓向量。式(22)就是對式(21)進(jìn)行簡化得到的簡化參考點(diǎn)選擇方法,這時(shí)得到的電壓向量unx就是以滿足式(7)約束條件的唯一參考點(diǎn)作為電路參考點(diǎn)得到的電壓向量,并且這時(shí)unx=uk0。為了敘述方便,將這個(gè)唯一參考點(diǎn)稱為參考點(diǎn)x0。

    4 參考點(diǎn)選擇方法的討論

    4.1 兼容性討論

    由式(21)可得,當(dāng)n=3時(shí),電壓向量u3x為:

    式(23)即為文獻(xiàn)[11]給出的用于三相三線制電路參考點(diǎn)選擇的方法。

    4.2 考慮參考點(diǎn)選擇的電流分解方法

    對于圖1的n端電路,當(dāng)選擇任意一個(gè)參考點(diǎn)x作為電路參考點(diǎn)時(shí),式(3)的電流分解可以修正為:

    其中,為電壓向量uk0長度的平方。

    式(24)就是選擇任意參考點(diǎn)x時(shí)的電流分解方法,該分解方法實(shí)際上不受參考點(diǎn)選擇的影響,其針對具體電路分解出的電流分量值是唯一的。

    4.3 考慮參考點(diǎn)選擇的功率定義方法

    設(shè)電路選擇任意一個(gè)參考點(diǎn)x后得到的電壓向量 unx和電流向量 in分別如式(1)和式(2)所示,那么該理論中的各個(gè)功率量定義為[10]:

    其中,tr(qTq)表示矩陣 qTq的跡;表示電壓向量unx的長度;表示電流向量in的長度。

    式(25)中瞬時(shí)有功功率p與下標(biāo)x無關(guān)是因?yàn)閜不受參考點(diǎn)選擇的影響,為了后續(xù)敘述方便,這里予以證明。

    假設(shè)從空間所有可以選擇的參考點(diǎn)集合X中任意選擇2個(gè)參考點(diǎn)x和y(x和y表示集合X中的2個(gè)不同的元素,即x∈X,y∈X),則以x為參考點(diǎn)求得的瞬時(shí)有功功率px為:

    由于式(26)中:

    則由式(27)可得:

    式(28)表明,選擇任意2個(gè)參考點(diǎn)x和y計(jì)算所得的瞬時(shí)有功功率是相等的。即對于同一個(gè)電路,瞬時(shí)有功功率p是定值,它不會(huì)受參考點(diǎn)選擇影響。

    式(25)的定義等價(jià)于:

    其中,,表示電壓向量unx與電流向量in之間的夾角。

    式(25)與式(29)的定義均滿足式(30):

    按照傳統(tǒng)思路,參考點(diǎn)可以任意選擇,那么選擇不同的參考點(diǎn)x時(shí)unx并不相同,得到的也不相同,然而不同參考點(diǎn)下的in和以及瞬時(shí)有功功率p卻是相同的。選擇不同參考點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的電壓向量unx和電流向量in之間的關(guān)系如圖3所示。

    圖3 任意選擇參考點(diǎn)時(shí)所得的電壓、電流關(guān)系Fig.3 Relationship between voltage and current with arbitrary point as reference point

    圖3中unx表示以任意參考點(diǎn)x作為電路參考點(diǎn)時(shí)所得的電壓向量,其與電流向量in之間的夾角為φx。當(dāng) φx>0時(shí),電壓向量超前電流向量的角度為φx;當(dāng)φx=0時(shí),電壓向量和電流向量重合;當(dāng)φx<0時(shí),電壓向量滯后電流向量的角度為。

    由式(29)可知,當(dāng)選擇不同的參考點(diǎn)時(shí),電壓向量unx的箭頭將在T軸(T軸的具體位置由決定)上下移動(dòng)。這時(shí)按照式(29)計(jì)算出的無功功率和視在功率的值也在變動(dòng)。選擇任意參考點(diǎn)x作為參考點(diǎn)時(shí)按照式(29)和式(30)可得這時(shí)功率量之間的關(guān)系如圖4所示。

    圖4 選擇任意參考點(diǎn)時(shí)的功率關(guān)系Fig.4 Power relationship with arbitrary point as reference point

    當(dāng)選擇不同的參考點(diǎn)時(shí),電壓向量unx與電流向量in之間的夾角φx以及電壓向量unx的長度都在變動(dòng),這導(dǎo)致圖4中的無功功率qx和視在功率sx也會(huì)變動(dòng),這是導(dǎo)致無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響的原因。選擇不同的參考點(diǎn),計(jì)算出的滿足式(30)的無功功率和視在功率不同,所以針對同一個(gè)電路計(jì)算出的無功功率和視在功率將有無數(shù)個(gè),這是不合理的。

    假設(shè)選擇滿足式(7)條件的唯一參考點(diǎn)x0作為參考點(diǎn),這時(shí)得到如式(22)所示的電壓向量uk0。電壓向量uk0超前電流向量in的角度為 φ0,這時(shí)得到的電壓向量uk0與電流向量in之間的關(guān)系如圖5所示。

    圖5 選擇點(diǎn)x0作為參考點(diǎn)時(shí)的電壓、電流關(guān)系Fig.5 Relationship between voltage and current with point x0as reference point

    圖5中電壓向量uk0、電流向量 in及其之間的夾角φ0都是唯一確定的,電壓向量uk0的箭頭也不在T軸上下移動(dòng),而是固定在T軸的具體位置。這時(shí)得到的功率量為:

    由式(30)和式(31)可得這時(shí)功率量之間的關(guān)系如圖6所示。

    式(31)以及圖6 中的功率量就是針對具體電路給出的選擇滿足式(7)約束條件的唯一參考點(diǎn)計(jì)算得到的功率量,這時(shí)得到的功率量也是唯一確定的,計(jì)算得出的功率因數(shù)也是唯一確定值。

    圖6 選擇點(diǎn)x0作為參考點(diǎn)時(shí)的功率關(guān)系Fig.6 Power relationship with point x0as reference point

    5 結(jié)論

    針對功率理論研究中參考點(diǎn)選擇方法非常不統(tǒng)一的情況,考慮了參考點(diǎn)選擇時(shí)應(yīng)該受到的約束條件,該約束條件使參考點(diǎn)選擇方法具體化、明確化。通過本文研究,主要得出以下結(jié)論:

    a.與電路分析和電磁場分析的許多問題不同,功率理論定義中的參考點(diǎn)選擇受到式(7)約束條件的約束,從而使得可供選擇的參考點(diǎn)成為唯一確定的;

    b.無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響的原因是傳統(tǒng)思路認(rèn)為參考點(diǎn)可以任意選擇,當(dāng)選擇不同的參考點(diǎn)時(shí)所對應(yīng)的電壓向量及其長度都不會(huì)對應(yīng)相同,從而得出“無功功率和視在功率受參考點(diǎn)選擇影響”的結(jié)論;

    c.明確參考點(diǎn)選擇約束條件基礎(chǔ)上的電壓向量和電流向量都是唯一確定的,由它們所定義的無功功率和視在功率都是唯一確定值,這為視在功率和功率因數(shù)的計(jì)算提供了方便;

    d.盡管本文只針對廣義瞬時(shí)功率理論進(jìn)行分析,但得出的結(jié)論卻同樣適用于其他理論(比如基于周期函數(shù)空間的通用功率理論等)。

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