追逃定性微分對策中界柵的確定

于 飛， 李 擎， 張 昊

(北京信息科技大學(xué)高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101)

0 引言

無人機(jī)與無人車是信息化裝備體系的重要組成部分，在軍事中投入使用可顯著提高軍事作戰(zhàn)能力，此外，可以在核、生物和化學(xué)戰(zhàn)爭環(huán)境中執(zhí)行物資運(yùn)輸、目標(biāo)識別以及環(huán)境勘測等任務(wù)。微分對策理論為軍事對抗問題提供了較為完善的模型[1-4]，定性微分對策中界柵的確定是研究熱點(diǎn)之一[5-8]。應(yīng)用追逃微分對策分析時，對局環(huán)境中的障礙物的影響會被考慮[9-10]。文獻(xiàn)[11]為了解決固定翼無人機(jī)追蹤地面移動車輛的問題，運(yùn)用微分對策理論進(jìn)行定量分析，得到防止目標(biāo)丟失的最優(yōu)策略。本文在無人機(jī)、無人車的追捕對抗過程中，考慮對局環(huán)境中障礙物的影響，定性分析追逃微分對策，確定其分界界柵。無人機(jī)配有固定攝像頭裝置，可以提供足夠的視覺分辨率，在野外作戰(zhàn)現(xiàn)場自動跟蹤地面的無人車，使其始終處于觀測范圍之內(nèi);無人車則根據(jù)自身運(yùn)動特性以及周圍環(huán)境來躲避無人機(jī)的追蹤。對局雙方為單一的追捕者和躲避者，無人機(jī)希望最大化延長無人車在其有效可視范圍之內(nèi)的時間，無人車希望盡快逃避追捕。

1 建模與分析

設(shè)定P代表追捕方無人機(jī)，E代表躲避方無人車。假設(shè)P和E分別以速度vp，ve在平面上勻速運(yùn)動。P的目的是迫使局中人E進(jìn)入目標(biāo)集D,并捕捉E，從而結(jié)束對策，而E的目標(biāo)正好相反，試圖阻止或者拖延對策結(jié)束,如圖1所示。

P可以以速度vp在平面內(nèi)任意活動，滾轉(zhuǎn)角、俯仰角保持不變，偏航角控制為v；躲避E以速度ve運(yùn)動，轉(zhuǎn)向控制記為u；P和E均可以完成瞬時的轉(zhuǎn)向。博弈具有一個完美的狀態(tài)反饋信息結(jié)構(gòu)，因此，當(dāng)參與者在進(jìn)行博弈時，能夠不受干擾地知曉整個過程中的狀態(tài)變化，從而確定下一個動作。

圖1 對局示意圖Fig.1 Game diagram

對局環(huán)境中存在樹木形成的障礙，這會對雙方產(chǎn)生影響。追捕者希望在盡可能長的時間內(nèi)將躲避者保持在可視區(qū)域，躲避者希望在最短的時間內(nèi)打破視線。某一時刻，如果躲避者不在捕獲者的視線之內(nèi)，此時對局終止。

(1)

由于無人車可以瞬時轉(zhuǎn)向，因此其方向控制:當(dāng)u=+1時,向右運(yùn)動;當(dāng)u=-1時，則向左運(yùn)動。

在設(shè)定的場景中，對局雙方視為點(diǎn)運(yùn)動物體，除了有界速度之外，它們的運(yùn)動沒有任何限制。與經(jīng)典情況一致，這里無人機(jī)與無人車的速度之比k=vp/ve>1。對局環(huán)境中僅包含限制追捕者和躲避者運(yùn)動的障礙，對局雙方都有獨(dú)立決策權(quán)，他們根據(jù)實(shí)際情況采取決策,控制局勢朝著有利于自己的方向發(fā)展。

P和E都可以控制各自的方向，且各自轉(zhuǎn)向控制分別為v,u。當(dāng)P與E之間的距離小于L時,則認(rèn)為被捕獲，此時對局結(jié)束。作簡單的分析不難得到表1中的4種結(jié)局。

情況2中P在機(jī)動性能上占絕對優(yōu)勢，所以總能捕獲到E；情況3中E在機(jī)動性能上占絕對優(yōu)勢，所以總能逃脫P(yáng)的追捕。這兩種情況對局結(jié)果是確定的，沒有深入研究的意義，下面將對情況1和情況4這種雙方互有優(yōu)、劣勢的對局結(jié)果進(jìn)行探討。情況4中vp>ve，v

表1 運(yùn)動性能與結(jié)局的關(guān)系

定義d=(xe-xp,ye-yp,ze-zp)為追捕者的瞬時位置到躲避者的瞬時位置的指向向量,ve(t)和vp(t)分別為t時刻躲避者與追捕者的速度向量，于是有‖ve(t)‖=ve<‖vp(t)‖=vp。

定理1在任一時刻t0，如果追捕者的速度向量vp(t0)與相對位置向量d(t0)的內(nèi)積非正，即如果

d(t0),vp(t0)≤0

(2)

則t≥t0時P不能捕獲到E，E成功逃脫。

證明 不失一般性，設(shè)t0=0。為了證明這個定理，只需找到一個E成功逃脫的例子。假設(shè)在t≥0的任意時刻,P都不改變其速度方向，相對位置向量d滿足

(3)

(4)

鑒于P的約束性，定理1的證明說明,只有P的速度向量的分量指向E時捕獲才會發(fā)生，這種情況下P的最優(yōu)策略是盡快增大指向E的速度分量，如果這個分量增加得較慢，捕獲將可能無法完成。另一方面，如果P一直沒有指向E的速度分量，則E可憑借其機(jī)動性優(yōu)勢成功逃避追捕。

2 對局策略

如表1所示，在情況1和情況4下，P和E各有優(yōu)勢，對策空間可以劃分為 2 部分。一部分為捕獲區(qū)，另一部分為躲避區(qū)，其分界面為界柵，記作D。

H(x,y,u,v,λ)=λ1vpcosv+λ2vpsinv+λ3veu

(5)

Hp(v)=vp(λ1cosv+λ2sinv)

(6)

He(v)=λ3veu

(7)

在λ1,λ2均為0的情況下，v可以取任何值，P可以遵循任何控制策略。 類似地，如果λ3=0，那么u可以取任何值，并且E可以遵循任何控制策略。這些條件代表了哈密爾頓算子的奇異點(diǎn)。

H(x,y,u,v,λ)表示狀態(tài)的變化率。如果軌跡X在?D上或者充分接近?D，并且H(x,y,u,v,λ)>0，那么軌跡X不能穿過?D；反之，即H(x,y,u,v,λ)<0則軌跡X穿過?D,此時對局結(jié)束。因此，從P與E各自的目的出發(fā)，P欲使H<0,而E欲使H>0。哈密爾頓函數(shù)H(x,y,u,v,λ)中含有控制變量u,v，因此P應(yīng)該選擇最優(yōu)策略v，使H(x,y,u,v,λ)?D在目標(biāo)邊界集合?D上取得盡可能小的負(fù)值以保證對局結(jié)束，而E應(yīng)選擇最優(yōu)策略u使H(x,y,u,v,λ)?D取得盡可能大正值以實(shí)現(xiàn)逃脫，即

(8)

(9)

(10)

式中：u=+1,說明沿x軸的正方向運(yùn)動;u=-1,意味著朝相反方向運(yùn)動。所以可得

(11)

3 界柵的確定

樹木覆蓋會對無人機(jī)和無人車的視線造成影響，進(jìn)而影響對局結(jié)果。本文把樹木作為對局環(huán)境中的障礙，對樹木的影響進(jìn)行建模分析。追捕者成功追捕到目標(biāo)，或者目標(biāo)丟失都會導(dǎo)致對局結(jié)束。

按照設(shè)定場景，給出了樹木障礙物存在的情況下對局終止的兩個充分條件：1) 當(dāng)無人車處于無人機(jī)的有效觀測距離之外時，認(rèn)為目標(biāo)丟失；2) 雖然無人車在無人機(jī)的有效觀測距離之內(nèi)，但是兩者視線被障礙物阻擋，相互不可見。以上兩種情況分別對應(yīng)圖2a和圖2b。

圖2 對局情況分析Fig.2 Game situation analysis

(xe-xp)2+(ye-yp)2-L2≤0

(12)

同樣，選取三角形底邊頂點(diǎn)為(xT,yT)，將條件2)向xoz面投影，條件2)可以表示為

(13)

上述兩個條件得到滿足時，對局終止,可得終端集

F=(xe-xp)2+(ye-yp)2-L2+(xp-xT)·
(ye-yT)-(yp-yT)(xe-xT)=0

(14)

由終端集可得參數(shù)方程

(15)

式中,s=(s1s2s3)T。

在界柵D上的法線向量λ滿足

(16)

因?yàn)榉ň€向量的長度是任意的，故可取λ為單位法線向量，在?D上同樣有λT·λ?D=1，聯(lián)立式(10)可以求出確定目標(biāo)邊界集?D上的單位法線向量λ。

(17)

代入式(9)，可以得到最優(yōu)策略u*,v*。

(18)

積分可得

(19)

設(shè)置P的初始化坐標(biāo)為(0 m,0 m,29 m)，E的初始坐標(biāo)為(3 m,5 m,0 m)，速度比為k=1.14，捕獲半徑L=200 m。當(dāng)障礙點(diǎn)在(5 m,5 m,5 m)時，得到圖3a所示三維空間界柵。

圖3 界柵Fig.3 The barrier

界柵D對應(yīng)的是穿過BUP的半透曲面，為方便觀察將圖3a朝xoy平面投影得到圖3b。圖3b中圓和雙曲圓弧代表目標(biāo)集在xoy平面的投影，藍(lán)色陰影部分是由界柵D和目標(biāo)集圍成的捕獲區(qū)，在捕獲區(qū)內(nèi)運(yùn)動，軌跡將到達(dá)目標(biāo)集的邊界并穿過。在此區(qū)域內(nèi)，只要P使得E進(jìn)入該區(qū)，則無論E采取何種策略，在P選擇適當(dāng)?shù)牟呗韵?，E再也不能逃出該區(qū)，即捕獲E。捕獲區(qū)之外為躲避區(qū)，在此區(qū)域上，只要E初始位置在該區(qū)中，不管P采用何種策略，E總能采取適當(dāng)?shù)牟呗远惚躊的捕獲。

4 總結(jié)與展望

分析對局環(huán)境中存在障礙物約束的追逃定性微分對策，建立了無人機(jī)、無人車的運(yùn)動模型，通過分析確定了躲避區(qū)與捕獲區(qū)的分界界柵。不同的障礙物對界柵的形狀會有不同的影響，分析界柵的形狀、對策空間的劃分對于作戰(zhàn)能力評價、指導(dǎo)指揮訓(xùn)練、作戰(zhàn)等都有一定的意義。未來，對局雙方更復(fù)雜的運(yùn)動模型，以及其他形狀的障礙物將會進(jìn)一步討論。

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