分類討論思想讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)更精彩

馬軍

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想方法是初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分，本文從初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐出發(fā)，側(cè)重對“實數(shù)題型、幾何題型、方程題型、函數(shù)題型”等幾種典型題型進行探討，旨在呈現(xiàn)分類討論思想方法的效用，希望能給教育同仁們帶來一些參考價值.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；分類討論；思想方法

分類討論是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想方法，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有積極的指導(dǎo)作用. 所以，作為初中數(shù)學(xué)教師的我們，應(yīng)注重分類討論思想的講解，要幫助學(xué)生掌握不同題型分類討論的關(guān)鍵點，確保分類不重不漏，進而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，為學(xué)習(xí)更深層次的數(shù)學(xué)知識奠定堅實的基礎(chǔ).

實數(shù)題型中的分類討論

實數(shù)題型中的分類討論常見于帶絕對值符號、二次根式化簡的相關(guān)題型中，因絕對值中的字母及被開方數(shù)中含有字母，從而正負(fù)不能確定，此時需要進行分類討論，此類題相對來說難度不大. 在教學(xué)中，重點是讓學(xué)生明白為什么要進行分類討論，以及如何進行分類討論才算解答過程完整，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識，提高解題正確率.

案例1？搖 已知x是實數(shù)，化簡x-1+.

辨析？搖 本案例中無法直接去掉絕對值符號和根號，顯然需要根據(jù)不同的情況進行分類討論. 此題找到準(zhǔn)確的分類點是進行分類討論的關(guān)鍵，這也是學(xué)生解題出錯的重災(zāi)區(qū). 對于本題，主要分x≥1，0

在教學(xué)中，教師應(yīng)多講解類似的試題，讓學(xué)生加深對分類討論思想的理解，充分感受到分類討論思想的重要性以及數(shù)學(xué)知識的奧妙. “當(dāng)某些參數(shù)的取值不確定時，應(yīng)及時進行分類討論”，掌握這一關(guān)鍵點后，學(xué)生遇到類似試題將不再不知所措，能更加積極地投入到學(xué)習(xí)活動中.

幾何題型中的分類討論

初中數(shù)學(xué)涉及的幾何題型通常都是綜合應(yīng)用題，涉及分類討論的只是其中一個小問，難度系數(shù)較大，對學(xué)生的綜合素質(zhì)要求較高. 為了提高學(xué)生解答此類試題的信心，掌握解題技巧，教師應(yīng)注重講解一些典型例題，與學(xué)生一起分析，逐步對學(xué)生進行引導(dǎo)，使學(xué)生在愉快的學(xué)習(xí)氛圍中完成分類討論知識的學(xué)習(xí).

案例2？搖 如圖1，在直角三角形ABC中，BA⊥AC，AB=AC=2，D為斜邊BC上除B，C兩點之外的動點，過點D作∠ADE=45°，DE交AC于點E.

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)△ADE為等腰三角形時，試求AE的長.

辨析？搖 本題第（3）問的條件是△ADE是等腰三角形，不能直接確定哪兩條邊是腰，所以存在三種情況，即AD=AE，AD=DE，AE=DE. 在解題教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題設(shè)信息進行分析，不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)AD=AE這種情況是不可能存在的（無法構(gòu)成三角形），所以只需要討論另外兩種情況即可. 學(xué)生的自主討論激活了課堂教學(xué)氛圍，筆者及時、有效的點撥，促進學(xué)生找到了正確的結(jié)論. 試題講解完后，筆者引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)、拓展、延伸，讓學(xué)生明白對于三角形問題，不清楚角和邊的關(guān)系時，可以進行必要的分類討論.

方程題型中的分類討論

方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，有關(guān)方程的題型復(fù)雜多變，一些學(xué)生反映學(xué)習(xí)起來難度較大，尤其遇到分類討論時，不知道如何下手，有些試題即便知道討論，但討論的情況不全，容易遺漏，導(dǎo)致看似簡單的問題不能得滿分，因此，教師應(yīng)以具體的例子作引導(dǎo)，通過與學(xué)生互動，使學(xué)生逐漸掌握方程題型中分類討論的方法，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解.

案例3？搖 關(guān)于x的分式方程，當(dāng)m為何值時，方程無解？

筆者在講解本題時，并沒有直接呈現(xiàn)解題過程，而是與學(xué)生進行互動. 在與學(xué)生互動的過程中，筆者逐步引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論，使學(xué)生意識到分類討論時應(yīng)注意的問題，具體互動如下.

師：看到該試題時首先應(yīng)該怎么做？

生：化簡.

師：好的. 那同學(xué)們先化簡吧.

學(xué)生化簡并整理后得到（m-1）x= -10.

師：方程無解的話，應(yīng)滿足什么條件呢？

生：m-1=0，即m=1.

師：很好，同學(xué)們再想一想，還有哪些情況呢？

當(dāng)學(xué)生回答不上來時，筆者加以引導(dǎo)，讓學(xué)生重新觀察給出的條件. 學(xué)生進行化簡時，默認(rèn)給出的分式方程沒有增根，所以得出的結(jié)果容易出錯. 此時，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考方程存在增根的條件，學(xué)生最后發(fā)現(xiàn)在x=±2時，分式方程有增根. 顯然，學(xué)生因考慮問題不全面而出錯. 對于中學(xué)數(shù)學(xué)，教師可以結(jié)合具體試題，強化師生互動的教學(xué)方式，有效完成分類討論教學(xué)，進而促進學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而獲得預(yù)期的教學(xué)效果.

函數(shù)題型中的分類討論

在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，函數(shù)一直是教學(xué)的重點和難點. 在各類考查中，函數(shù)問題失分比較嚴(yán)重，特別是函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合的問題甚為明顯，若涉及分類討論，學(xué)生更是不知所措，內(nèi)心會產(chǎn)生畏懼，甚至直接跳過，所以此類題是學(xué)生失分率較高的題型之一. 為此，教學(xué)時，教師應(yīng)多講解相關(guān)題型，借助相關(guān)的圖像進行討論. 實踐表明，借助圖像進行討論，能有效避免討論不全面的情況發(fā)生，能幫助學(xué)生順利解題，降低難度.

案例4？搖 已知拋物線為函數(shù)y=-x2+4x+5向右平移1個單位長度后所得，點T（5，y）在拋物線上，P為拋物線上點O與點T之間任意一點，那么在線段OT上是否存在一點Q，使得△PQT為等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

辨析？搖 本題屬于二次函數(shù)綜合應(yīng)用題，涉及數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運用，難度系數(shù)較大. 對于此題，拋物線方程和直線方程的求解是成功解題的關(guān)鍵，對直角三角形中直角的分類是解題的重點和難點. 筆者在實際教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生運用圖像平移的性質(zhì)得到拋物線方程為y=-（x-1）2+4（x-1）+5=-x2+6x，于是可得T（5，5），所以直線OT的方程為y=x. 在教師的點撥下，學(xué)生根據(jù)案例2的收獲，分∠TPQ=90°，∠PQT=90°和∠PTQ=90°三種情況進行討論，要求學(xué)生借助圖像進行處理，最終得出滿足條件的點Q的坐標(biāo)為（1，1），（2，2）或（3，3）.

最后，筆者鼓勵學(xué)生總結(jié)，認(rèn)真記錄解題的精彩之處，分析解答該類試題應(yīng)注意的問題，以讓學(xué)生在今后遇到類似題時，能迅速找到解題思路.

總而言之，初中數(shù)學(xué)知識點多而零碎，數(shù)學(xué)題型復(fù)雜多變，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想不僅能提高課堂教學(xué)效率，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的精彩之處，而且能激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的自信心. 因此，在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)思想的傳授，尤其教學(xué)分類討論思想時，要求教師結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，認(rèn)真剖析相關(guān)題型，使學(xué)生掌握分類討論思想的內(nèi)涵與規(guī)律，將數(shù)學(xué)知識學(xué)活，最終實現(xiàn)解題能力及數(shù)學(xué)成績的進一步提高.