建立表層嵌貼FRP板條-混凝土界面黏結-滑移模型的方法

張智梅,張振凱,熊 浩,王 卓,陳 剛

表層嵌貼纖維增強復合材料(fiber reinforced polymer,FRP)加固混凝土結構技術相較于外貼FRP加固技術,在改善黏結性能、提高FRP利用率、減少惡劣環(huán)境對FRP的影響等方面都表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢[1-2],因而越來越廣泛地被用于加固工程實踐中.目前,用于表層嵌貼加固的FRP主要有FRP板條和各種截面形式的FRP筋,其中FRP板條截面具有更大的周長面積比,其界面黏結性能更優(yōu)于FRP筋材.

盡管如此,已有的有關表層嵌貼FRP板條加固混凝土構件的研究結果表明,界面剝離破壞仍是造成加固構件失效的主要因素[3-8].為此,學者們圍繞表層嵌貼FRP板條-混凝土界面破壞機理開展了一系列試驗研究[9-14].但因其界面的受力較外貼FRP板條-混凝土界面更為復雜,影響因素更多,加之試驗方法的不同,使得現(xiàn)有的試驗數(shù)據(jù)不僅有限而且離散性大.試驗數(shù)據(jù)的離散,使得利用傳統(tǒng)的通過測量在黏結長度范圍內(nèi)沿FRP板條各測量點的應變來建立局部黏結-滑移關系的方法變得不可靠.不過無論采用何種試驗方法,黏結節(jié)點在加載端、自由端的滑移值和加載端施加的荷載值一般都可準確獲取.

基于此,本研究提出了一種數(shù)值分析方法.通過該方法,可以只利用上述可靠的試驗數(shù)據(jù)來標定黏結-滑移模型中的未知參數(shù),從而準確建立界面黏結-滑移本構方程.在此基礎上,進一步探討了表層嵌貼FRP板條加固混凝土梁的裂縫寬度和間距的計算方法.

1 局部黏結-滑移控制微分方程的建立

本研究的分析主要采用以下假設:①FRP為線彈性材料;②FRP板條橫截面上正應力均勻分布;③同一截面的界面剪應力沿FRP板條寬度和厚度均勻分布;④忽略混凝土的位移,即FRP板條的位移值即為其相對于混凝土的滑移值.

1.1 FRP板條-混凝土界面黏結-滑移控制微分方程的建立

取受到軸向拉力作用的,嵌貼在混凝土中的FRP板條微段d x.為了更符合實際,本研究考慮FRP板條在兩側面及頂面均與混凝土可靠黏結,受力分析如圖1所示,其中x軸原點取為板條的自由端,τ(x)為FRP板條-混凝土界面的黏結剪應力,tf,wf分別為FRP板條截面的厚度和寬度.根據(jù)上述假設,由x方向力的平衡方程,以及FRP板條應變與滑移值s的關系,可建立FRP板條滑移控制微分方程為

圖1 FRP板條微段受力分析Fig.1 Stress analysis of the FRP strips

式中:Ef為FRP的彈性模量;s為FRP板條滑移值,由假設①,s的相對值與絕對值相等;其實質為表征FRP板條幾何特征和物理特性的常數(shù).由式(1)可知,若τ(s)為已知,則在一定的邊界條件下求解該微分方程,即可求得相應的板條滑移值s(x)及其一階導數(shù)s′(x).由此可進一步得到FRP板條任意截面上的軸力為

式中,Af為FRP板條截面面積.由上述分析可知,選取的τ(s)與實際界面性能越接近,通過解微分方程得到的FRP板條滑移理論值與試驗值相差也就越小.因此,選取合理的τ(s)對方程求解至關重要.

1.2 界面局部黏結-滑移模型τ(s)的選取

本研究在分析對比了若干典型的表層嵌貼FRP板條-混凝土界面τ(s)模型后,選取了如圖2所示的τ(s)模型進行數(shù)值方法的分析.

圖2 局部黏結-滑移模型Fig.2 Local bond-slip model

上升段(見式(3))與典型的BEP(Bertero-Eligehausen-Popov)模型上升段相同[15],下降段(見式(4))則取自De-Lorenzis等[16]的研究.

將式(3),(4)代入式(1)中,可得微分控制方程的具體形式為

該模型不僅物理意義明確,形式簡單,而且便于微分方程的求解,其中參數(shù)τm和sm分別表征界面的黏結強度及其相應的滑移值,參數(shù)α和α′為控制黏結-滑移曲線形狀的兩個參數(shù).通過本研究提出的方法,利用該模型得出的理論分析結果能與試驗數(shù)據(jù)較好地吻合.

2 微分方程的求解與局部黏結-滑移模型中待定參數(shù)的標定

2.1 控制微分方程的求解及誤差計算

在黏結試驗中,通常可準確獲取FRP板條在各級荷載Ni(i=1,2,···,n)作用下的加載端滑移值sli和自由端滑移值sfi. 在給定 τ(s)模型中所包含的參數(shù) p(τm,sm,α,α′)的值后,根據(jù)邊界條件sfi或sli求解微分方程(5),(6),即可求得與荷載試驗值Ni相對應的理論值N(sfi)或N(sli).此時,荷載理論值與試驗值之間的誤差Δp,可反映出由給定參數(shù)p所確定的界面黏結-滑移模型τ(s)與黏結界面實際情況吻合的程度.據(jù)此,對參數(shù)p的取值進行優(yōu)化,直到理論值與試驗值間的誤差滿足規(guī)定的誤差限值.為便于描述,設FRP板條在自由端處的坐標為x=0,滑移為sf;在加載端處的坐標為x=l,其中l(wèi)為FRP板條的黏結長度,滑移為sl.

2.1.1 確定自由端滑移sf=0時,加載端荷載最大值N0,m對應的滑移值sl0,m

先在邊界條件s(0)=0,s′(0)=0下求解方程式(5),得到滑移及其一階導數(shù)的解析解:

將x=l代入式(8),可得加載端的滑移sl.若sl≤sm,則

把sl=sm代入式(9),可得當sf=0且sl=sm(即s(x)≤sm)時,FRP的錨固長度為

根據(jù)黏結長度l是否大于l0,m,可分別解得sl0,m的數(shù)值解和解析解,求解過程如圖3所示.

2.1.2 根據(jù)FRP板條自由端滑移試驗值sfi確定加載端荷載的理論值N(sfi)

(1)當sfi=0時,分析可知sfi與加載端(即x=l處)荷載的理論值N(sfi)并非一一對應.為編程方便,可取N(sfi)=Ni.

(2)當sfi＞0時,可在邊界條件s(0)=sfi,s′(0)=0,x ∈ [0,l]下求解微分方程(5),(6),得到滑移s(x)和s′(x)的數(shù)值解,進而根據(jù)式(2)求得加載端(即x=l處)荷載的理論值N(sfi).求解過程如圖3所示.

2.1.3 根據(jù)FRP板條加載端滑移試驗值sli確定加載端荷載的理論值N(sli)

(1)當sli≤sl0,m時,由2.1.1節(jié)可知,FRP板條在自由端附近一定范圍的滑移均為0,此時:①若sli≤sm,可直接將s(x)=sli代入式(7)得到相應的s′li,進而求得N(■);②若sli＞sm,可知在黏結長度范圍必有某點x=xmi,滿足s(xmi)=sm,s′(xmi)=加之s(l)=sli,以此為邊界條件,在s∈[sm,sl]范圍對式(6)積分可得

進而可求得N(sli).

(2)當sli＞sl0,m時,FRP板條自由端已產(chǎn)生滑移,可在邊界s(l)=sli,s′(0)=0,x ∈[0,l]下解微分方程式(5),(6),求得滑移s(x)和s′(x)的數(shù)值解,進而根據(jù)式(2)求得加載端荷載的理論值N(sli).求解過程如圖3所示.

2.1.4 荷載試驗值與理論值之間的誤差分析

本研究采用下式來分析荷載試驗值與理論值之間的誤差:

為實現(xiàn)上述數(shù)值分析過程,利用MATLAB進行編程(見圖3).

2.2 參數(shù)組 p(τm,s m,α,α′) 取值的優(yōu)化

為使荷載理論值與試驗值的誤差足夠小,即保證由參數(shù)值p(τm,sm,α,α′)確定的τ(s)關系與實際的界面黏結-滑移性質足夠吻合,需對p(τm,sm,α,α′)的取值進行優(yōu)化.由于涉及多個變量,本研究采用非線性優(yōu)化中的Nelder-Mead算法[17]對參數(shù)p進行優(yōu)化.該算法無需任何求導運算.根據(jù)該算法,重復執(zhí)行流程圖3,每循環(huán)一次都使誤差Δp逐步縮小.當誤差小于規(guī)定限值時,則認為由優(yōu)化后的p(τm,sm,α,α′)值所確定的τ(s)關系為界面黏結-滑移模型.

圖3 數(shù)值分析流程圖Fig.3 Flowchart diagram of numerical analysis

2.3 實例驗證

為驗證上述數(shù)值方法的有效性,本研究選取了文獻[18]中表層嵌貼FRP板條黏結節(jié)點試件在單調加載下的試驗數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)共9組,每組3個相同試件,共計27個試件.混凝土強度分別為C35,C45和C70,錨固長度分別為40,60,80 mm.FRP彈性模量Ef=160 000 MPa,厚度tf=1.39 mm和寬度wf=9.34 mm保持不變.對所有試件均按2.2節(jié)方法確定了τ(s)關系中的系數(shù)p(τm,sm,α,α′),計算結果如表1所示.受篇幅所限,圖4僅給出了混凝土強度為70 MPa,黏結長度分別為40,60,80 mm的各試件的N-sf和N-sl的理論值與試驗值的對比.可以看出,各組數(shù)據(jù)的試驗值和理論值均非常吻合.對文獻[18]中其他試件進行同樣的分析也得到了很好的結果.這說明利用本研究提出的數(shù)值分析方法可以準確確定界面黏結性能.

表 1 參數(shù)組 p(τm,s m,α,α′)的優(yōu)化結果Table 1 Optimization results of p(τm,s m,α,α′)

圖4 N-s理論值與試驗值的對比Fig.4 Companisons of the numerical and experimental results of the relationship N-s

3 參數(shù)p的優(yōu)化結果及影響因素分析

3.1 優(yōu)化結果

依據(jù)文獻[18]中27個試件單調加載試驗獲得的Ni及相應的sli和sfi試驗值,根據(jù)圖3中的求解流程對全部試件進行分析,結果如表1所示.從表1中各參數(shù)的變異系數(shù)可以看出,黏結強度τm的變異系數(shù)較合理,而其余3個參數(shù)的變異性較大,說明若取其平均值來作為表層嵌貼FRP板條-混凝土界面黏結-滑移模型中的參數(shù)將引起較大誤差.因此,需進一步探討各參數(shù)與影響界面性能的主要因素之間的關系.

3.2 影響因素分析

根據(jù)表1,本研究首先分析了黏結長度l對黏結強度τm的影響,通過擬合分析得τm=36.556 l?0.1667,如圖5(a)所示.進一步地,將τm/l?0.1667與混凝土強度fc,m進行擬合分析,結果如圖5(b)所示.可見,混凝土強度fc,m對τm幾乎沒有影響.

圖5 黏結長度和混凝土強度對黏結強度的影響Fig.5 Infl uence of the bond length and strength of concrete on the bond strength

對本構方程中涉及的其他3個參數(shù)進行類似處理可知,混凝土強度對這些參數(shù)的影響也不大.各參數(shù)與黏結長度l的擬合結果為

可以看出,各參數(shù)受黏結長度l影響較大,而與混凝土強度的相關性很小.這是因為文獻[18]中各試件的破壞主要發(fā)生在FRP板條-黏結劑界面,均未發(fā)生混凝土表層破壞現(xiàn)象.

4 黏結-滑移關系在混凝土裂縫問題中的應用

4.1 表層嵌貼FRP板條加固混凝土梁的裂縫寬度和裂縫間距的計算

表層嵌貼FRP板條加固混凝土梁在裂縫截面附近的受力分析和截面應變分布如圖6所示,其中左側為已開裂截面a,右側為臨近截面a且即將開裂的截面b.截面b的混凝土受拉區(qū)邊緣應變正好達到其極限拉應變εtu.由加固梁的裂縫特點可知,ltr較小,且兩截面中和軸的變化不明顯.為簡化計算,假設兩截面的中和軸位置相同,又因混凝土即將開裂時仍處于彈性狀態(tài),故認為其受壓應力-應變關系為線彈性.

圖6 裂縫間混凝土梁的受力分析及截面應變分布Fig.6 Stress model of the members between cracks and strain distribution in cross section of the beam

根據(jù)文獻[19],混凝土受拉應力-應變關系如圖7所示,其中ft為混凝土抗拉強度,εt0為與之對應的彈性拉應變,εtu為混凝土的極限拉應變.根據(jù)文獻[19]可得

圖7 混凝土受拉時的應力-應變關系Fig.7 Stress-strain relationship of the concrete in the tensile region

4.1.1 計算混凝土受壓區(qū)高度

根據(jù)圖6可建立截面b在水平方向力的平衡條件.再根據(jù)平截面變形假定,引入截面b處混凝土、鋼筋、FRP三者應變之間的比例關系,同時考慮式(14),經(jīng)整理可得

式中,As和Af分別為鋼筋和FRP板條的截面面積,Es和Ef分別為鋼筋和FRP板條的彈性模量,Ec為混凝土彈性模量,hs和hf分別為鋼筋和FRP板條形心到混凝土梁上表面的距離.求解方程(15),即可得到混凝土梁受壓區(qū)高度xc.

4.1.2 計算裂縫間距l(xiāng)tr所傳遞的黏結力

由圖6混凝土梁段整體力的平衡可知，

設εs,εf和εs+dεs,εf+dεf分別為截面 b和截面 a 對應的鋼筋與混凝土的應變.由平截面假定可知:同時,在截面 a處將其與代入式(16),整理得裂縫間距l(xiāng)tr傳遞的黏結力為

4.1.3 計算最小裂縫長度ltr與裂縫間距str

取截面b處x坐標為0.由于混凝土尚未開裂,故此處FRP板條與混凝土的相對滑移為0,即sf=0,且s′f=0. 由關系式(7),(8)可知,當相對滑移s=sm時,應變此值通常遠大于混凝土的開裂極限應變εtu.聯(lián)合式(2)和式(7),(8),并取N=ΔNf,即可解得最小裂縫間距為

將通過式(17)計算得到的傳遞荷載ΔNf以及擬合得到的式(13)代入式(18),然后通過迭代法,求得裂縫間距l(xiāng)tr.將x=ltr代入式(8),即可得到裂縫寬度的一半,進而得到裂縫寬度為

4.2 算例分析

為進一步說明利用本研究建立的黏結-滑移模型計算裂縫間距與裂縫寬度的過程,現(xiàn)給出一個計算算例.

梁的截面尺寸為b×h=150 mm×300 mm,開槽尺寸為3.3 mm×15.0 mm;混凝土保護層厚度為as=30 mm,配置2φ6 mm的HRB335螺紋鋼,鋼筋截面面積為As=56.56 mm2,彈性模量為Es=200 GPa;混凝土極限拉應力為ft=2.787 MPa,彈性模量為Ec=30 GPa;FRP板條寬度為wf=9.34 mm,厚度為tf=1.39 mm,截面面積為Af=12.98 mm2,彈性模量為Ef=160 GPa.

由上述條件可得:hf=300?25/2=287.5 mm,hs=300?30?6/2=267 mm.將相關數(shù)據(jù)代入式(15)得到混凝土受壓區(qū)高度x=141 mm.將x代入式(17)得ΔNf=9.02 kN.將ΔNf代入式(18)得最小裂縫間距為ltr=36.8 mm.據(jù)此,可由式(13)得到黏結-滑移模型中的參數(shù)具體值為τm=20.041 6 MPa,sm=0.243 8 mm,α=0.150 6,α′=0.315 8.將參數(shù)值代入式(3),(4),得黏結-滑移具體表達式為τ(s)=24.79s0.1506(s≤sm)或12.83s?0.3158(s＞sm).最后由式(19)計算得到裂縫寬度為str=0.068 mm,此值遠小于sm.

5 結論

(1)提出了一種高精度數(shù)值分析方法.本方法不受試驗方法和試驗變量的限制,僅依據(jù)黏結節(jié)點試驗中可靠的FRP板條加載端和自由端的試驗數(shù)據(jù),即可精確確定所選取的界面黏結-滑移模型中的多個未知參數(shù),從而建立與真實情況相吻合的界面黏結-滑移模型.

(2)利用MATLAB編制程序實現(xiàn)上述數(shù)值分析方法.根據(jù)具體試驗數(shù)據(jù)準確地確定了黏結-滑移模型中各待定參數(shù),并據(jù)此建立了界面黏結-滑移模型.在此基礎上進一步分析了混凝土強度和黏結長度等因素對黏結-滑移模型中各參數(shù)的影響.

(3)利用本研究建立的黏結-滑移模型探討了在表層嵌貼FRP加固混凝土梁的裂縫間距和裂縫寬度的計算方法.