高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)中金屬液滴懸浮振蕩特性的數(shù)值模擬分析

朱宏達(dá),雷作勝,郭加宏

自由液滴的振蕩在液滴動(dòng)力學(xué)中是一個(gè)重要的問題,對(duì)冶金、材料科學(xué)、天體物理等領(lǐng)域中相關(guān)問題的研究有重要意義[1-2].對(duì)液滴振蕩規(guī)律的研究最早可以追溯到1879年,Rayleigh[3]基于線性近似理論推導(dǎo)了無黏性球形液滴小振幅振蕩的頻率方程,發(fā)現(xiàn)了液滴自由表面振蕩和表面張力的關(guān)系.

在地面上研究自由液滴的振蕩行為,需要克服液滴所受重力使其懸浮[4],目前主要采用超聲懸浮法[5]和電磁懸浮法等.當(dāng)金屬液滴在交變電磁場(chǎng)中懸浮時(shí),洛倫茲力、表面張力和重力的共同作用,使得金屬液滴自由表面形狀發(fā)生變化,并產(chǎn)生內(nèi)部流動(dòng)[6].El-Kaddah等[7]從電磁場(chǎng)、流場(chǎng)及溫度場(chǎng)3個(gè)方面分別推導(dǎo)了懸浮金屬液滴的控制方程.Gagnoud等[8]研究了不同表面張力的金屬液滴隨感應(yīng)線圈中的電流變化而發(fā)生的形態(tài)變化.Cummings等[9]引入了金屬液滴表面函數(shù),導(dǎo)出了磁場(chǎng)和流場(chǎng)的關(guān)系,分析了磁感應(yīng)強(qiáng)度、頻率和液滴這幾種基礎(chǔ)模態(tài)的關(guān)系.由于地球重力嚴(yán)重影響了懸浮液滴自由液面的振蕩頻率分布,Cummings等[9]從理論研究中發(fā)現(xiàn)在重力作用下,懸浮金屬液滴自由表面振蕩頻率退化為3個(gè)或5個(gè)頻率,頻率的個(gè)數(shù)與懸浮線圈的形狀有關(guān).歐洲TEMPUS團(tuán)隊(duì)[10]將實(shí)驗(yàn)設(shè)備發(fā)射到太空中,在微重力環(huán)境下,通過太空實(shí)驗(yàn)真實(shí)測(cè)量了金屬試樣在太空中懸浮熔化成液滴后的振動(dòng)數(shù)據(jù),并根據(jù)頻譜測(cè)定了金屬Au,Ni,Zr及NiNb等合金的表面張力.Egry等[11]根據(jù)Rayleigh公式和Cummings公式對(duì)比分析了地面和微重力條件下的振蕩頻譜異同對(duì)表面張力的影響.

已有很多學(xué)者開展了金屬懸浮液滴振蕩形態(tài)的數(shù)值模擬研究.Fujii等[12]計(jì)算了微重力下液態(tài)金屬振蕩頻率和表面張力的變化關(guān)系.結(jié)果表明:當(dāng)液滴呈球形時(shí),頻率譜只有一個(gè)波峰;當(dāng)液滴形狀扭曲時(shí)呈多個(gè)波峰,并呈現(xiàn)了在兩種頻率線圈疊加時(shí)懸浮液滴的形態(tài).Pericleous等[13]數(shù)值模擬了冷坩堝懸浮熔煉鈦鋁合金在熔融后自由液面隨時(shí)間的變化形狀.Lei等[14]模擬了附著液滴在低頻交變磁場(chǎng)下出現(xiàn)的模態(tài)振蕩,發(fā)現(xiàn)其呈現(xiàn)出參數(shù)共振特征.

本研究根據(jù)高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中金屬液滴懸浮振蕩的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,構(gòu)建了相應(yīng)的二維軸對(duì)稱數(shù)值計(jì)算模型,采用任意拉格朗日-歐拉(arbitrary Lagrangian-Eulerian,ALE)方法數(shù)值模擬了液滴自由表面的振蕩.根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果,得到了高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中懸浮振蕩液滴的內(nèi)部磁場(chǎng)、流場(chǎng)和自由表面形狀.對(duì)液滴自由表面特征點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化過程進(jìn)行了傅里葉分析,獲得了液滴在不同調(diào)制頻率下的頻譜,發(fā)現(xiàn)了高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中金屬液滴懸浮振蕩的頻譜特性.

1 電磁懸浮液滴數(shù)值模擬方法

1.1 控制方程及初、邊值條件

高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)中液滴懸浮的磁流體動(dòng)力學(xué)控制方程包括麥克斯韋方程組、洛倫茲力、流體動(dòng)力學(xué)方程組.

(1)麥克斯韋方程組.

式中,E為電場(chǎng)強(qiáng)度(V/m),D為電位移矢量(C/m2),H為磁場(chǎng)強(qiáng)度(A/m),B為磁感應(yīng)強(qiáng)度(Wb/m2),ρe為電荷密度(C/m3).B和D滿足以下本構(gòu)關(guān)系:

式中,μ0,μr為絕對(duì)磁導(dǎo)率和相對(duì)磁導(dǎo)率,∈0,∈r為絕對(duì)電容率和相對(duì)電容率.

在計(jì)算交變磁場(chǎng)時(shí),為了簡(jiǎn)化電磁場(chǎng)方程,引入磁矢勢(shì)A,滿足

(2)洛倫茲力.

在電磁流體力學(xué)中,洛倫茲力是流體運(yùn)動(dòng)的外源力,根據(jù)歐姆定律

式中,σ為電導(dǎo)率,可以計(jì)算得到電磁場(chǎng)作用下液滴內(nèi)部的洛倫茲力.

(3)流體動(dòng)力學(xué)方程組.

連續(xù)性方程為

不可壓流體N-S(Navier-Stokes)方程為

磁場(chǎng)和流場(chǎng)分布均考慮為周向均勻,并簡(jiǎn)化為二維軸對(duì)稱流動(dòng),忽略液滴中金屬液流動(dòng)對(duì)磁場(chǎng)的影響.物理場(chǎng)的初、邊值條件設(shè)定如下:在磁場(chǎng)計(jì)算時(shí),設(shè)置計(jì)算域(空氣域)邊界條件n×A=0;在懸浮金屬液滴流動(dòng)模擬中,懸浮液滴初始為圓球形,流動(dòng)速度為0,置于懸浮線圈和穩(wěn)定線圈之間.

1.2 界面追蹤和界面條件

振蕩液滴自由液面的追蹤計(jì)算采用ALE方法.ALE方法是傳統(tǒng)的拉格朗日方法和歐拉方法的一種組合,綜合了拉格朗日方法和歐拉方法的優(yōu)點(diǎn).計(jì)算流場(chǎng)時(shí)采用兩相流計(jì)算模型,分別設(shè)置氣態(tài)域和液態(tài)域,并劃分自由移動(dòng)網(wǎng)格.初始形狀計(jì)算采用Winslow光滑法.在氣態(tài)域和液態(tài)域界面上設(shè)置界面張力γ,約束液滴界面運(yùn)動(dòng).移動(dòng)網(wǎng)格在界面上跟隨液態(tài)域流體網(wǎng)格一起移動(dòng).

(1)液滴和空氣界面的壓力為大氣壓p0=101 kPa.

(2)液滴表面張力為γ,液滴和空氣界面滿足

式中,u1,u2為兩種介質(zhì)的界面速度,T1,T2為兩種介質(zhì)的應(yīng)力張量,fst為表面張力應(yīng)力張量.

2 數(shù)值模擬結(jié)果

本研究數(shù)值模擬了高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中金屬液滴懸浮振蕩過程.高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng)由圖1所示的線圈產(chǎn)生.該線圈與實(shí)驗(yàn)采用的線圈相同,采用螺線管形式,線圈正向繞制5匝,反向繞制2匝,分別起懸浮和穩(wěn)定作用.線圈通入高頻調(diào)制電流,高頻頻率fm=20 kHz,低頻頻率fc=1～18 Hz,η為調(diào)制深度,電流調(diào)制模式為I(t)=I0(1+ηcos(ω2t))cos(ω1t),0＜η＜1,其中ω1=2πfm,ω2=2πfc,在線圈內(nèi)產(chǎn)生高頻調(diào)幅交變電磁場(chǎng).

圖1 實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬采用的線圈Fig.1 Coil used in the experiment and numerical simulation

計(jì)算采用的液滴為純鋁液滴,初始時(shí)是直徑為25 mm的球形.在線圈的磁場(chǎng)作用下液滴產(chǎn)生上下方向振蕩.根據(jù)Rayleigh公式,球形自由液滴的固有頻率分別為n=2,f2=5.93 Hz;n=3,f3=11.48 Hz;n=4,f4=17.78 Hz.

圖2給出了調(diào)制深度η=0.3,調(diào)制頻率為5.4 Hz,懸浮液滴在距離振蕩最高位置8.59 mm處時(shí),磁場(chǎng)和流場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果.由圖2(a)可見,液滴外部磁力線在液滴表面處與表面平行.液滴內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度H只在液滴表面以下很薄的一層內(nèi)有一定的數(shù)值,在液滴內(nèi)部幾乎為0.高頻磁場(chǎng)中金屬的集膚效應(yīng)明顯,因此金屬液滴受到的洛倫茲力基本集中在表面附近.由圖2(b)可見,液滴內(nèi)部的流動(dòng)呈現(xiàn)雙渦結(jié)構(gòu).圖3給出了實(shí)驗(yàn)中懸浮振蕩液滴的形態(tài),發(fā)現(xiàn)與數(shù)值模擬結(jié)果定性一致.

為進(jìn)一步分析液滴在高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中的振蕩行為機(jī)理,對(duì)上述雙頻電磁場(chǎng)中液滴所受的電磁力進(jìn)行了分析[15].根據(jù)麥克斯韋方程組,引入電磁勢(shì)A(r,z,t),則磁場(chǎng)的表達(dá)式為

磁矢勢(shì)A滿足電磁感應(yīng)方程:

若忽略歐姆定律中的感生電流項(xiàng)u×B,則單電流密度的角向分量j可以表示為

圖2 磁場(chǎng)強(qiáng)度H云圖、磁矢勢(shì)A等值圖、流場(chǎng)速度矢量分布和速度云圖Fig.2 Distributions of magnetic fi eld intensity H,magnetic vector potential A,velocity vector and values

圖3 當(dāng)調(diào)制頻率為5.4 Hz時(shí),本實(shí)驗(yàn)測(cè)得的振蕩液滴形狀Fig.3 Form of the oscillating droplet obtained in the experiment when the modulation frequency is 5.4 Hz

根據(jù)式(12)和(14),可以得到相應(yīng)的瞬時(shí)電磁力的表達(dá)式為

當(dāng)調(diào)制形式為I(t)=I0(1+ηcos(ω2t))cos(ω1t)時(shí),A=A0(1+ηcos(ω2t)),且在高頻遠(yuǎn)大于低頻的情況下,電磁力也不同于單頻磁場(chǎng)作用下的電磁力.電磁力由高頻時(shí)均電磁力F0和瞬變振蕩力兩部分組成,其形式為

式中,m20=1+,(t)=2αcos(ω2t)+cos(2ω2t).從以上公式可以得出高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)下的電磁力主要由兩部分組成,其中振蕩部分是基于低頻的瞬變力,并包含有兩種頻率,即低頻ω2和其倍頻2ω2的瞬變力.

本研究模擬計(jì)算了不同調(diào)制頻率的高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中液滴的振蕩過程.圖4給出了調(diào)制頻率分別為4.4,5.4和18.0Hz時(shí),液滴頂部位移隨時(shí)間變化的曲線以及相應(yīng)的頻譜圖.可以看出,位移波形出現(xiàn)了一種周期性的雙峰波形.通過傅里葉變換計(jì)算得到的頻譜可以發(fā)現(xiàn),懸浮液滴的振動(dòng)響應(yīng)頻率主要有4個(gè),其中主響應(yīng)頻率與調(diào)制頻率一致,次響應(yīng)頻率正好是調(diào)制頻率的倍頻.這種頻譜上的倍頻關(guān)系與Perrier等[15]的理論分析結(jié)果相一致,但還存在更高倍頻的振動(dòng).這是液滴在高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中產(chǎn)生參數(shù)共振的結(jié)果.當(dāng)調(diào)制頻率設(shè)置為18.0 Hz時(shí),頻譜圖上同樣出現(xiàn)了倍頻頻率,在低頻處也出現(xiàn)了其他頻率.當(dāng)調(diào)制頻率越大時(shí),高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中倍頻電磁力的影響就越小,而且會(huì)在低頻附近出現(xiàn)其他頻率.這些頻率可能是由于液滴的平移運(yùn)動(dòng)造成的.

圖4 4.4,5.4,18.0 Hz時(shí)液滴頂部振蕩位移隨時(shí)間變化的曲線及對(duì)應(yīng)的頻譜分析結(jié)果Fig.4 Displacement of the top point of the oscillating drop over time and its frequency spectrums when the modulated frequency is 4.4,5.4,18.0 Hz

3 結(jié)束語(yǔ)

本研究通過數(shù)值模擬得到了高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中懸浮振蕩液滴的內(nèi)部磁場(chǎng)、流場(chǎng)和自由表面形狀.對(duì)液滴自由表面特征點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化過程進(jìn)行了傅里葉分析,得到了高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中金屬液滴懸浮振蕩的頻譜特性.數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析結(jié)果定性吻合.

通過比較模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,發(fā)現(xiàn)液滴的數(shù)值模擬振蕩形態(tài)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.數(shù)值模擬結(jié)果揭示高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中懸浮振蕩液滴內(nèi)部存在雙渦旋結(jié)構(gòu).對(duì)液滴自由表面特征點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化過程進(jìn)行傅里葉分析,分析了液滴在不同調(diào)制頻率的交變電磁場(chǎng)中振蕩的頻譜.結(jié)果顯示,液滴在高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)激勵(lì)下產(chǎn)生了包含雙頻模式的振蕩,這與理論上對(duì)雙頻電磁場(chǎng)的分析相一致.但還存在更高倍頻的振動(dòng),這是液滴在高頻調(diào)幅電磁場(chǎng)中產(chǎn)生參數(shù)共振的結(jié)果.