BCH-代數(shù)的路徑?

李金龍

(陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西漢中723000)

文[1]中作者在BCH-代數(shù)中引入了質(zhì)子的概念，證明了有限偏序BCH-代數(shù)一定存在質(zhì)子，說明了一般的BCH-代數(shù)可能存在質(zhì)子也可能不存在質(zhì)子，并借助于質(zhì)子對BCH-代數(shù)的子代數(shù)進(jìn)行了一些研究.在本文中，作者將利用質(zhì)子這一概念在BCH-代數(shù)中引入路徑的定義，并對BCH-代數(shù)的路徑進(jìn)行一些研究，特別是要對有限偏序BCH-代數(shù)的路徑進(jìn)行研究.同時在BCHK-代數(shù)中引入不變質(zhì)子的概念，并對BCHK-代數(shù)中的不變質(zhì)子進(jìn)行研究.

1 預(yù)備知識

定義1[2]一個(2，0)型代數(shù)〈X﹔?，0〉叫做BCH-代數(shù)，如果?x,y,z∈X，它滿足下列公理：

H-1x?x=0;H-2x?y=y?x=0?x=y;H-3(x?y)?z=(x?z)?y.

定義2[1]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，b∈X，若x∈X，b?x=0，即b≤x，則x=b(即b∈X，?x∈X，若x6=b，則b?x6=0)，稱b是X的一個質(zhì)子.

定義3[3]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，若?x∈X，有0?x=0成立，則稱〈X﹔?，0〉是一個BCHK-代數(shù).

定義4[4]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，元素a∈X，若x∈X，x?a=0，即x≤a，則x=a，就稱元素a為X的一個原子.

文[4]指出，元素0是BCH-代數(shù)〈X﹔?，0〉的一個原子.以L(X)記BCH-代數(shù)〈X﹔?，0〉中所有原子做成的集合，即L(X)={a∈X：若x∈X，x?a=0，則x=a}.因?yàn)?∈L(X)，故L(X)6=Φ.

定義5[4]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，a∈L(X)，記V(a)={x∈X:a?x=0，即a≤x}，稱V(a)為X的一個分支.

定義6[2]設(shè)〈X﹔?，0〉和〈Y﹔λ，0〉是兩個BCH-代數(shù)，如果存在一個一一映射f:X→Y，使得對于任意的x,y∈X，有f(x?y)=f(x)λf(y)成立，則稱f為X到Y(jié)的一個同構(gòu)映射.

定義7[5]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，若x≤y，即x?y=0，?z∈X，有z?y≤z?x，則稱〈X﹔?，0〉是一個偏序BCH-代數(shù).

引理1[2]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，Y是X的一個非空子集，則Y是X的子代數(shù)的充要條件是Y對運(yùn)算?封閉.

引理2[2,4]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，則?x，y∈X，有下列結(jié)論成立：

(1)x∈L(X)?0?(0?x)=x;(2)[x?(x?y)]?y=0.

引理3[6]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，令B(X)={x∈X:0?x=0}，則B(X)是X的一個子代數(shù)，也是X的一個理想.

由定義5知，B(X)=V(0).

引理4[4]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，則X=∪{V(a):a∈L(X)}(即X=∪

a∈L(X)V(a)).

引理5[4]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，若a,b∈L(X)，且a6=b，則V(a)∩V(b)=Φ.

引理6[1]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCHK-代數(shù)，A是X的一些質(zhì)子做成的集合，則X?A是X的一個子代數(shù).

引理7[1]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個有限偏序BCH-代數(shù)，則X一定存在質(zhì)子.

引理8[5]設(shè)〈X﹔?，0〉是一個偏序BCH-代數(shù)，則X中的二元關(guān)系≤是一個偏序關(guān)系.

2 一般BCH-代數(shù)中路徑的定義及性質(zhì)

定義8設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，若b是X的一個質(zhì)子，記U(b)={x∈X:x?b=0，即x≤b}，稱U(b)是由b確定的X的一個路徑.

由H-1可知，b∈U(b).

定理1設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCHK-代數(shù)，若b是X的一個質(zhì)子，則U(b)是X的一個子代數(shù).

證明顯然b∈U(b).?x,y∈U(b),則x?b=0，從而由H-3和BCHK-代數(shù)的定義得，(x?y)?b=(x?b)?y=0?y=0，這就證明了x?y∈U(b).根據(jù)引理1知，U(b)是X的一個子代數(shù).

定義9設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，若A是X的一個非空子集(A可以不是X的子代數(shù))，b∈A，若y∈A，b?y=0，即b≤y，則y=b，稱b是A的一個質(zhì)子.

由定義2和定義9可以看出，若X的質(zhì)子屬于A，則X的質(zhì)子一定是A的質(zhì)子.但反之不一定成立，見下面的例子.

例1設(shè)X={0,1,2,3,4}，X中的二元運(yùn)算?由下面的乘法表1給出.

表1 X中的二元運(yùn)算

可以驗(yàn)證〈X﹔?，0〉是真BCH-代數(shù)(是BCH-代數(shù)，但不是BCI-代數(shù)).由定義2可知，4是X的唯一質(zhì)子，且U(4)={4}.設(shè)A={0,1,2}?X，根據(jù)定義9，1是A的質(zhì)子，但1不是X的質(zhì)子.又可以看出分支V(0)={0,1,2,3}無質(zhì)子.

本文不研究BCH-代數(shù)的一般非空子集的質(zhì)子，只研究BCH-代數(shù)分支的質(zhì)子及性質(zhì).若一個BCH-代數(shù)的某個分支存在質(zhì)子，則該質(zhì)子是否是這個BCH-代數(shù)的質(zhì)子呢?下面的定理給出了肯定的回答.

定理2設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，a∈L(X)，則有下列結(jié)論:

(1)若V(a)存在質(zhì)子b，則b一定是X的質(zhì)子;

(2)若V(a)存在質(zhì)子b，則a∈U(b);

(3)若V(a)存在質(zhì)子b，則U(b)?V(a);

(4)若V(0)存在質(zhì)子b，則U(b)是V(0)的一個子代數(shù).

證明(1)因b∈V(a)，故a?b=0;由H-3和H-1得，0?a=(a?b)?a=(a?a)?b=0?b;故0?a=0?b.設(shè)x∈X，且b?x=0，同理可得，0?b=0?x;因此得，0?a=0?x.兩端左乘0得，0?(0?a)=0?(0?x)，由引理2的(1)得，a=0?(0?x);兩端右乘x并利用引理2的(2)得，a?x=0，所以有，x∈V(a).又因b是V(a)中的質(zhì)子，故x=b，這就證明了b也是X中的質(zhì)子.

(2)因b∈V(a)，故a?b=0.由定理2的(1)知，b也是X的質(zhì)子，所以有，a∈U(b).

(3)因b∈V(a)，故a?b=0.由(1)的證明得，0?a=0?b;因b也是X的質(zhì)子，故?x∈U(b)，則x?b=0，同樣有，0?x=0?b;因此得，0?a=0?x.又由(1)的證明得，x∈V(a)，這就證明了U(b)?V(a).

(4)由引理3知，V(0)=B(X)是X的一個子代數(shù).因b也是X的質(zhì)子，故?x,y∈U(b)，則x?b=0;由定理2的(3)知，U(b)?V(0)，故y∈V(0)，0?y=0;從而由H-3得，(x?y)?b=(x?b)?y=0?y=0，這證明了x?y∈U(b).根據(jù)引理1知，U(b)是V(0)的一個子代數(shù).

由引理4知，若一個BCH-代數(shù)X存在質(zhì)子，則該質(zhì)子一定屬于X的某個分支中.又由定理2的(1)知，若X的某個分支存在質(zhì)子，則該質(zhì)子一定是X的質(zhì)子，從而有下面的推論1.

推論1若一個BCH-代數(shù)〈X﹔?，0〉存在質(zhì)子，則X的質(zhì)子做成的集合等于其所有分支的質(zhì)子做成的集合.

推論2設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCH-代數(shù)，a1，a2∈L(X),a16=a2，若V(a1)存在質(zhì)子b1，V(a2)存在質(zhì)子b2，則U(b1)∩U(b2)=Φ.

證明由定理2的(3)知，U(b1)?V(a1)，U(b2)?V(a2);再由引理5知，V(a1)∩V(a2)=Φ;所以有，U(b1)∩U(b2)=Φ.

推論2說明不同分支中質(zhì)子確定的路徑是互不相交的.定理2的(2)說明同一分支中不同質(zhì)子確定的路徑都包含確定該分支的原子，定理2的(3)說明同一分支中不同質(zhì)子確定的路徑都包含在該分支內(nèi)，因此路徑這一概念實(shí)質(zhì)上反映了一個BCH-代數(shù)中分支的內(nèi)部結(jié)構(gòu).

本節(jié)再討論一下一個BCHK-代數(shù)中的特殊質(zhì)子及性質(zhì).

定義10設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCHK-代數(shù)，|X|≥2，b∈X且滿足:

(1)b是X的一個質(zhì)子;(2)?x∈X且x6=b，有x?b=x，則稱b是X的一個不變質(zhì)子.

例2設(shè)X={0,1,2,3,4}，Y={0,1,2,3,4}，X中的二元運(yùn)算?與Y中的二元運(yùn)算λ分別由下面的乘法表給出.

表2 X中的二元運(yùn)算

表3 Y中的二元運(yùn)算

可以驗(yàn)證〈X﹔?，0〉是一個BCHK-代數(shù)(但不是BCI-代數(shù))，3與4都是X的質(zhì)子，而4是X的不變質(zhì)子;〈Y﹔λ，0〉是一個BCHK-代數(shù)(也是BCK-代數(shù))，2，3，4都是Y的質(zhì)子，而3與4都是Y的不變質(zhì)子.

定理3設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCHK-代數(shù)，b是X的一個不變質(zhì)子，則?y∈X且y 6=b，有b?y=b.

證明設(shè)y∈X且y 6=b. 如果b?y=z而z 6=b，由H-3，H-1和BCHK-代數(shù)的定義得z?b=(b?y)?b=(b?b)?y=0?y=0;因b是X的一個不變質(zhì)子，故z?b=z;從而有z=0，進(jìn)而有b?y=0.又因b是X的質(zhì)子，故y=b.這與假設(shè)矛盾，所以有b?y=b.

定理4設(shè)〈X﹔?，0〉是一個BCHK-代數(shù)，|X|≥2，a，b是X的兩個不變質(zhì)子，則子代數(shù)X?{a}與X?同構(gòu).

證明由引理6知，X?{a}與X?都是X的子代數(shù).顯然有X?{a}=(X?{a,b})∪,X?=(X?{a,b})∪{a}.

定義X?{a}到X?的映射f如下

顯然f是一個一一映射.下面證明f保持運(yùn)算，即f(u?v)=f(u)?f(v),?u,v∈X?{a}.為此，分一下四種情形討論.

(1)當(dāng)u 6=b，v 6=b時，必有，u?v 6=b. 因?yàn)槿绻鹵?v=b，則由H-3，H-1和BCHK-代數(shù)的定義得，b?u=(u?v)?u=(u?u)?v=0?v=0，由b是X的質(zhì)子推出b=u，這與條件相矛盾.所以根據(jù)映射的定義得，f(u?v)=u?v=f(u)?f(v).

(2)當(dāng)u=b，v 6=b時，因b是X的不變質(zhì)子，故由定理3得，u?v=b?v=b，從而f(u?v)=f(b)=a;再由a是X的不變質(zhì)子及v 6=a得，f(u)?f(v)=f(b)?v=a?v=a;所以f(u?v)=f(u)?f(v).

(3)當(dāng)u6=b，v=b時，由b是X的不變質(zhì)子得，u?v=u?b=u，故f(u?v)=f(u)=u;再由a是X的不變質(zhì)子及u6=a得，f(u)?f(v)=u?f(b)=u?a=u;所以f(u?v)=f(u)?f(v).

(4)當(dāng)u=v=b時，因?yàn)閨X|≥2，故0不是BCHK-代數(shù)X的質(zhì)子，當(dāng)然也不是不變質(zhì)子，根據(jù)映射的定義知，f(0)=0，所以f(b?b)=f(0)=0=f(b)?f(b).

綜上所述，對?u,v∈X?{a}，都有f(u?v)=f(u)?f(v)成立.所以根據(jù)定義6知，子代數(shù)X?{a}與X?同構(gòu).

3 有限偏序BCH-代數(shù)中路徑的性質(zhì)

因?yàn)橐话愕腂CH-代數(shù)可能存在質(zhì)子也可能不存在質(zhì)子，而由引理7知，有限偏序BCH-代數(shù)一定存在質(zhì)子，所以以下無特別說明，總假設(shè)〈X﹔?，0〉是一個有限偏序BCH-代數(shù).由引理8知，〈X，≤〉是由〈X﹔?，0〉確定的有限偏序集，其中x≤y?x?y=0.按照質(zhì)子和極大元的定義，X的質(zhì)子就是有限偏序集〈X，≤〉中的極大元，即在一個有限偏序BCH-代數(shù)中質(zhì)子與極大元是同一概念，以后也就把有限偏序BCH-代數(shù)或其非空子集中的質(zhì)子稱為極大元.設(shè)A是X的一個非空子集，顯然〈X，≤〉也是一個有限偏序集，根據(jù)抽象代數(shù)的知識，偏序集的任一非空有限子集必有極大元，故〈X，≤〉存在極大元，即A存在質(zhì)子，用符號M(A)表示A中極大元，即質(zhì)子做成的集合.

由推論1立即可得下面的定理5.

定理5

定理6設(shè)a∈L(X)，則對?x∈V(a)，?b∈M(V(a))，使x∈U(b).

證明因x∈V(a)，故a≤x.若x是V(a)的極大元，則x∈U(x)，結(jié)論成立.若x不是V(a)的極大元，則?x1∈V(a)，x16=x，使x≤x1.若x1是V(a)的極大元，則x∈U(x1)，結(jié)論成立.若x1不是V(a)的極大元，則?x2∈V(a)，x26=x1，使x1≤x2，又因x≤x1，由引理8知，x≤x2，同樣，若x2是V(a)的極大元，則x∈U(x2)，結(jié)論成立.若x2不是V(a)的極大元，重復(fù)前面的步驟，由于V(a)是一個有限集，經(jīng)過有限步之后，一定存在一個極大元xn=b∈V(a)，使x≤x1≤x2≤···≤xn=b，由引理8知，x≤b，所以有，x∈U(b).

定理6說明有限偏序BCH-代數(shù)一個分支中的任一元素都包含在該分支中的某個極大元確定的路徑內(nèi).

定理7設(shè)a∈L(X)，則

證明由定理2的(3)知，對?b∈M(V(a))，由U(b)?V(a).故又對?x∈V(a)，由定理6知，?b∈M(V(a))，使x∈U(b).故所以有

設(shè)a∈L(X)，若V(a)={a}，則a也是V(a)的極大元，由定義8，定理2的(2)和(3)知，U(a)=V(a)={a}，這是路徑的一種特殊情形.若V(a),{a}，因V(a)是有限偏序集，故V(a)存在極大元b，使a

定理8

證明對?x∈X，由引理4知，故?a∈L(X)，使x∈V(a);再由定理6知，?b∈M(V(a))，使x∈U(b);而由定理5知，b∈M(X);因此有，顯然有，所以得到

設(shè)〈X﹔?，0〉是一個一般的BCH-代數(shù)，由引理4知，又由引理5知，若a,b∈L(X)，且a,b，則V(a)∩V(b)=Φ.因此可以把集合X看成一個森林，它是由若干個互不相交的樹所組成的.若〈X﹔?，0〉是一個有限偏序BCH-代數(shù)，定理8則說明森林X也可以看成是由所有樹枝組成的.

注意定理8對一般的BCH-代數(shù)不一定成立.如例2中的表2所確定的BCH-代數(shù)〈X﹔?，0〉(事實(shí)上是BCHK-代數(shù))，可以驗(yàn)證〈X﹔?，0〉不是一個有限偏序BCH-代數(shù).X的全部質(zhì)子為3與4，而U(3)={0,1,3}，U(4)={0,4}，但U(3)∪U(4)={0,1,3,4},X.

參考文獻(xiàn)：

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