抽屜原理及其應用

鮑世杰

[摘 要]抽屜原理是一個重要的組合數學原理，也是組合數學中最基本的原理，是研究如何將元素分類的一個原理。它能夠用來解決各種有趣的問題，常常得出一些驚奇的結論。本文首先簡要地介紹了抽屜原理的簡單形式及其衍生形式，其次重點論述抽屜原理在數學領域以及生活領域方面中的運用。

[關鍵詞]抽屜原理;簡單形式;衍生形式

[中圖分類號]O157 [文獻標識碼]A

1 抽屜原理

設t1，t2，…，tn是n（n≥2）個非負整數，如果t1+t2+…tn≥n+1，則必有正整數k（1≤k≤n），使得tk≥2.

可用通俗的語言表述成：如果不少于n+1只鴿子飛進n個籠子，則必有一個籠子，該籠子里至少有2只鴿子。

抽屜原理的定義非常簡單，很容易理解，它在解決生活中或者是科研當中的數學問題時可以發(fā)揮很大的作用。使用抽屜原理首先需要考慮問題自身的特點，根據不同的問題的特點來使用抽屜原理。主要應該著重考慮一下問題是對哪一些元素進行分類，然后根據所要求解的題目做出分類標準，也就是所說的制作抽屜的一個過程。

2 抽屜原理在數學領域方面的應用

當一個問題可以使用抽屜原理來進行求解的時候，這個問題一般不需要經過非常多的計算，解決問題的關鍵就是依據不同問題的自身特點來構造出來一些抽屜，通過這樣的方式來使用抽屜原理。

2.1 抽屜原理在幾何中的形狀分割方面的應用

如果所解決的問題是有關幾何圖形的一些位置的分布和研究它們的性質的問題，那么就可以采用抽屜原理來進行計算.在我們進行使用的時候最常用的一種做法就是把題目當中所給出來的圖形形狀分解成為幾個部分，然后把這幾個劃分出來的部分各自當成同一個集合，最后根據相對應的法則把要求的元素放到集合里面。在進行圖形的分割時，最簡單明了的方法就是把這些幾何圖形等分成比較常見的圖形，例如劃分成為圓形、正方形。

例1? 把13個點以任意方式散落在一個邊長為2m的正方形當中證明：在13個點里面一定會有4個點圍城一個面積小于或者等于1平方米的四邊形。

證明：首先將題目中所給的大正方形平均分成面積是1平方米的小正方形。由13=3×4+1，那么根據前面的抽屜原理，一定會有4個點落在面積是1平方米的小正方形內部或者是它的邊上。

在上面問題進行求解的時候，我們是把這個大的正方形分解成為了四個面積相同的正方形，然后把問題證明了出來。我們也一樣可以把這個大的正方形分成其他的形狀來求解。

2.2 抽屜原理在整數的性質方面的應用

如果需要解決的問題是有關整除的存在性的問題，那么就可以對模n進行同余分類，然后進行構造n個抽屜，也就是把n當做模，那么就可以把整數集分為“余0類”、“余1類”，……，“余n—1類”一共n只抽屜，然后應用抽屜原理。

例2? 證明在自然數當中隨便取5個整數，那么不管怎么取，總會存在三個整數的和能夠被3所整除。

證明： 無論整數除以3，剩下的只能是0或1。如果選中的5個整數3除剩余的0，1，2，其余都是0，數字1和2的總和是零的余數。如果有一個余數沒有出現，根據5=2×2+1，這樣的話，按照抽屜原理的定義，有一個余數一定會出現3次或者是3次以上。所以根據以上的說明，例題就能夠證明出來。

2.3 抽屜原理在染色問題方面的應用

染色問題通常利用顏色來進行抽屜的構造。

例3? 如果在空間當中的任意位置有6個點，但是這些點里面隨便3個點都不在一條直線上，把這些點兩兩用一條紅色或者是藍色的線連起來，試證明：一定可以找到三個點，以它們?yōu)轫旤c的三角形的三條邊都有相同的顏色。

證明：假如這個點分別為A、B、C、D、E、F，如果存在的任意三個點都不在一條線上，那么對邊選取三個點就可以組成一個三角形。隨便把一個點A和其他的五個點相連接，那么就可以得到五條線段，AB、AC、AD、AE、AF，因為這里的五條線段都涂有紅色或者是藍色，也就是5=2×2+1，根據抽屜原理可以發(fā)現，這里的五條線段最少會有三條的顏色是一樣的（如果把顏色表示成為抽屜，線段表示成元素），不如把AB、AC、AD都當成是紅色，那么研究三角形ABC三條邊的顏色，一共會有以下兩種情況。

（1）這三條邊里面不全部是藍色，不管哪一條邊是紅色，那么這個三角形就是一個每一條邊都是紅色的三角形。

（2）如果在這個三角形當中沒有紅色的邊線，那么非常的明顯，這個三角形是一個每一條邊都是藍色的三角形。

從上面可以看出來無論是什么樣的一種情況，一定會有三條邊的顏色都一樣的三角形存在。

2.4 抽屜原理在劃分數組方面的應用

例4? 從1到12里面隨便選擇7個數，那么不管怎樣選取，這7 個數字里面一定會有一個相對比較大的數字是另外一個數字的整數倍。

分析：如果想要利用抽屜原理證明，那我就可以把這前面的12個數字分成6組，也就是把這12個元素分別放在6個抽屜里面，然后就可以利用前面所說的抽屜原理來進行證明了。

所以現在自然而然地就把問題轉化為怎么樣才（下轉頁）

（上接頁）能夠把這些數字進行有效合理的分組。經過觀察我們可以看出來，不管是哪一個自然數，它都能夠被一個奇數和一個2的冪次方的乘積表示出來.這樣的話。我們將這種表示方法當中奇數部分相同的數分到一個組里面，當做一個抽屜。

證明：經過研究，12個數字可以劃分成下面的幾組：

從上面可以很明顯的看出來，在上面的每一個抽屜里面都沒有一樣的元素，并且A1+A2+A3+…A12=1，2，3，…，12，于是，根據抽屜原理可以得到，對于前面的12個自然數不管用什么樣的方式從他們里面拿出七個數，那么一定會存在兩個數在上面六個抽屜當中的一個元素，所以，x，y不會存在這三個抽屜當中，所以想x，y一定是前面三個抽屜當中的一個，這樣的話，x和y這兩個數當中較大的數一定是較小的數字的整數倍。

2.5 抽屜原理在等分區(qū)間方面的應用

把這種方法往簡單了說就是指：在一個長度是一的線段里面存在有N個點，如果我們把這個線段平均分配成為N個比較小的區(qū)間，那么這樣的話根據前面所說的抽屜原理，不管怎么劃分，一定會有兩個點被劃分在一個比較小的區(qū)間里面，這樣的話這兩個點之間的距離就會小于或者等于。在我們進行不等式的證明的時候經常會用到這樣的劃分方法。

例5? 已知11個數x1，x2，…，x11，全滿足0≤xi≤1，i=1，2…，11，證明必有兩個xi，xj（i≠j）滿足.

證明： 如圖1，將實數軸上介于0與1那段（連同端點）等分為10小段（這10個小段也就是10個等分區(qū)間，即10個抽屜），每一小段長為。由抽屜原理，11個點（數）中至少有個點落在同一條小線段上，這兩點相應的數之差的絕對值≤

例6任給7個實數，證明必存在兩個實數a，b滿足0≤（a-b）<1+ab。

證明： 設七個實數為a1，a2，a3，…，a7，作Qi=（i=1，2，…7），顯然，把等分成六個區(qū)間：，由抽屜原理，Q1，Q2，…Q7必有兩個屬于同一區(qū)間，不妨設為Qi，Qj，而不論Qi，Qj屬于哪個小區(qū)間都有，由正切函數的單調性可知，，不妨記a=tgQi，b=tgQj，則，而由（*）知，又因為有 a-b>0（Qi>Qj），1+ab>0， 從而有0≤（a-b）<1+ab.

如果遇到給定了取值范圍要求證明不等式的問題，我們可以利用把取值范圍拆開的方法來進行抽屜的構建，就像上面所舉得例子一樣，我們在等分區(qū)間上面很方面地建立了一個抽屜，然后利用抽屜原理這種方式比較簡單地證明出了不等式。和其他的不等式的證明方法例如創(chuàng)建一個函數的辦法相比較，利用抽屜原理求解更加簡單快捷方便。

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