體驗(yàn)中感悟讓數(shù)學(xué)思想扎根
——由一道期末試題引發(fā)對(duì)《數(shù)與形》的再思考

張麗萍

【教學(xué)過程】

一、自主探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.出示雜亂的16個(gè)（4種不同顏色）小正方形。先讓學(xué)生觀察，并提出活動(dòng)要求：（1）你能不能將這些小正方形重新分一分、擺一擺，讓我們更加容易地看出小正方形的總個(gè)數(shù)？（2）想一想：根據(jù)你們的擺法可以寫出哪個(gè)算式？

2.學(xué)生自主探究、擺拼。

（教師巡視、采樣）

預(yù)設(shè)：

圖1

圖2（雜亂）

圖3（規(guī)律）

反饋：

（1）看到圖1你想到了哪個(gè)算式？你是怎么想的？

（2）同時(shí)出示圖2和圖3，它們有什么相同的地方？（都是正方形；都可以用4×4來表示等）

（3）你更喜歡哪一個(gè)圖形，為什么？（更容易計(jì)算；在這個(gè)圖形中既可以用4×4表示，也可以表示為 1+3+5+7）

（4）請(qǐng)學(xué)生上來指一指 1、3、5、7 分別在哪里；4×4 在哪里？

小結(jié)：它們都表示了邊長(zhǎng)為4的正方形里小正方形的總個(gè)數(shù)，得到等式：

1+3+5+7＝42。

3.引發(fā)思考：如果把拼成的正方形變小一些呢？變大一些呢？

重點(diǎn)反饋1+3+5+7+9=52。

（1）你想到了一個(gè)怎樣的正方形？（邊長(zhǎng)為5）

（2）畫一畫，跟邊長(zhǎng)是4的正方形相比，增加的在哪里？（增加了9，約定把這個(gè)像拐角的數(shù)叫做“拐角數(shù)”）

圖4

（3）隨后依次得到：

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

1+3+5+7+9+11=62

……

學(xué)生自由表述規(guī)律，小結(jié)得出：連續(xù)奇數(shù)相加，有幾個(gè)加數(shù)，就是幾的平方。

5.引發(fā)沖突：3+5+7是否就等于32呢？

逐步完善，準(zhǔn)確地表述規(guī)律：從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加，有幾個(gè)加數(shù)就等于幾的平方。

【設(shè)計(jì)意圖：通過操作活動(dòng)和觀察思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的規(guī)律，通過推理得到一般性結(jié)論，并進(jìn)行準(zhǔn)確表述。】

二、運(yùn)用規(guī)律，解決問題

第一層次：1+3+5+7+……+（）=202

通過本題的解答，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)到運(yùn)用剛剛發(fā)現(xiàn)的規(guī)律依次數(shù)到第20個(gè)奇數(shù)比較麻煩，而結(jié)合圖形，就會(huì)發(fā)現(xiàn)拼成后的大正方形邊長(zhǎng)與最外層“┓”部分個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，即┓＝邊長(zhǎng)×2－1。有了這條捷徑，就能根據(jù)邊長(zhǎng)求出正方形最外層“┓”部分的數(shù)量，感受到數(shù)形結(jié)合方法的奇妙，加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想價(jià)值的感悟。

圖5

第二層次：1+3+5+7+……+2017=（）2

高等職業(yè)院校教師應(yīng)該采取主動(dòng)學(xué)習(xí)和系統(tǒng)完善的策略，借用大數(shù)據(jù)這一平臺(tái)了解和掌握當(dāng)前在高職教育層面先進(jìn)的教育教學(xué)方法，在提升教學(xué)方法多元性和功能性的前提下提升自身的教育教學(xué)質(zhì)量。慕課、微課是當(dāng)前高等職業(yè)院校中較為流行的教學(xué)形式，對(duì)于教師來講要強(qiáng)化多元化先進(jìn)教學(xué)形式和方法的應(yīng)用，通過應(yīng)用掌握慕課和微課等先進(jìn)方法的開展形式與應(yīng)用技巧，擴(kuò)大高等職業(yè)院校教育教學(xué)的影響范圍，進(jìn)而為教育教學(xué)質(zhì)量和效果的提升提供方法上和形式上的支持與保障。

在上一題解答的基礎(chǔ)上，繼續(xù)借助對(duì)圖形的想象與思考，逆向思考，根據(jù)正方形最外層“┓”部分的數(shù)量求出拼成后的大正方形的邊長(zhǎng)，（2017+1）÷2即 2017加了1之后才是兩條完整的邊長(zhǎng)，以形助數(shù)，直觀簡(jiǎn)便。

圖6

第三層次：1002-992=（ ）

進(jìn)一步鞏固和深化對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生感受到解決這樣的問題，借助圖形來想象和思考是一條簡(jiǎn)便的策略，邊長(zhǎng)為100的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為99的正方形，剩下的部分就是邊長(zhǎng)100的正方形最外面的┓！數(shù)形結(jié)合，問題就變得簡(jiǎn)單了！

圖7

【設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)數(shù)與形之間的聯(lián)系，巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)明化，解決起來更加簡(jiǎn)單，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的奇妙與優(yōu)越性。】

三、深化認(rèn)識(shí)，感受價(jià)值

1.回顧過去學(xué)習(xí)過程中數(shù)形結(jié)合的例子。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)到有了“數(shù)”的幫助，判斷“形”時(shí)更加準(zhǔn)確。】

2.知識(shí)拓展，感受運(yùn)用數(shù)形結(jié)合理解印度乘法算理。

（1）出示印度人的乘法豎式，跟我們有什么不一樣？（只有結(jié)果，沒過程）

（2）繼續(xù)出示：現(xiàn)在能看懂他們是怎么想的嗎？（大部分學(xué)生看不明白，適時(shí)借助圖形來理解印度乘法的算理）

【設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)例子，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法?！?/p>

四、課后挑戰(zhàn)，鞏固新知

出示97×96巧算過程，學(xué)生理解困難，自然想到借助圖形幫助理解，由此布置課后作業(yè)：借助圖形探究算理。

【設(shè)計(jì)意圖：從一開始老師領(lǐng)著大家一起理解，到后來給出半成品的圖讓學(xué)生試著理解，再到最后由學(xué)生自主產(chǎn)生“以形助數(shù)”想法，由扶到放，舉一反三，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)形結(jié)合并不只是這一課的任務(wù)，而是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中重要的思想和方法，從而使數(shù)形結(jié)合的價(jià)值和思想在學(xué)生心中真正扎根?！?/p>

【教學(xué)思考】

2018年2月“嘉興市小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)卷”中一道試題（如下圖）：

筆者對(duì)所在學(xué)校六年級(jí)三個(gè)班做了抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生該題的得分率較低，數(shù)形結(jié)合不僅是一種解題方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想，如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，最終自覺地運(yùn)用這種思想解決生活中的問題才是最根本的目標(biāo)。由此，也引發(fā)了筆者對(duì)《數(shù)與形》一課的重新思考。

1.把握《課程標(biāo)準(zhǔn)》定位。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”。個(gè)人認(rèn)為概括起來就是“數(shù)”與“形”的問題，通過幾何直觀可以幫助學(xué)生建立數(shù)的概念、理解數(shù)運(yùn)算的意義，使解題思路與過程具體化。數(shù)形結(jié)合的方法可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形的性質(zhì)問題很好地轉(zhuǎn)化。

2.研讀教材意圖。

《數(shù)與形》是修訂版教材新增的內(nèi)容。實(shí)驗(yàn)教材中，本內(nèi)容以及后面編排的幾道習(xí)題是供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)和挑戰(zhàn)的?，F(xiàn)在作為例題編寫，在教學(xué)中究竟該達(dá)到怎樣的要求呢？縱觀前面的教材，數(shù)形結(jié)合思想只是作為幾何直觀一條隱性線索加以滲透，并沒有出現(xiàn)系統(tǒng)的教學(xué)，所涉及的練習(xí)也比較分散。到了六年級(jí)教材專門安排《數(shù)與形》一課，個(gè)人覺得是對(duì)“數(shù)形結(jié)合”這個(gè)數(shù)學(xué)思想方法的回顧和梳理，進(jìn)一步讓學(xué)生感受到“數(shù)形結(jié)合”思想方法的重要價(jià)值，提高學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力。

3.分析學(xué)生學(xué)情。

回顧學(xué)生五年多的學(xué)習(xí)，他們已經(jīng)有了一些結(jié)合“形”來分析問題的基礎(chǔ)。比如通過幾何直觀建立數(shù)的概念、理解運(yùn)算的意義、明白解題的思路等等。因此，在進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)與形之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上，有必要引導(dǎo)學(xué)生回顧“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)容，進(jìn)行溝通，求得聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上獲得新的發(fā)展。

本課的重點(diǎn)應(yīng)是使學(xué)生能自覺借助圖形來解決相關(guān)數(shù)的問題，因此可把目標(biāo)定為：使學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，并能準(zhǔn)確地表達(dá)規(guī)律和靈活地運(yùn)用規(guī)律；使學(xué)生能自覺借助圖形來解決相關(guān)數(shù)的問題；使學(xué)生在解決問題的過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的價(jià)值，掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理等基本的數(shù)學(xué)思想方法。而探究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，并能靈活地運(yùn)用規(guī)律是需要突破的難點(diǎn)。