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      函數(shù)概念及其定義域的求解分析

      2018-05-09 01:30:10張延利
      科學(xué)與財富 2018年8期
      關(guān)鍵詞:定義域表達(dá)式函數(shù)

      摘 要:函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的基礎(chǔ)部分,在整個數(shù)學(xué)知識點中占有重要地位。同時,也是后續(xù)專業(yè)課中數(shù)學(xué)知識的基石。特別是復(fù)合函數(shù)定義域的求解,歷來是專升本考試中的必考內(nèi)容。在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)在理解概念的基礎(chǔ)上,根據(jù)具體問題,分門別類的對函數(shù)進(jìn)行分析,達(dá)到融會貫通的目的。

      關(guān)鍵詞:函數(shù);定義域;表達(dá)式

      1 函數(shù)的定義域

      對于給定的非空實數(shù)集D,若存在一個對應(yīng)法則f,使得對于D內(nèi)的每一個數(shù)值x都有唯一的數(shù)值y與其對應(yīng),則這個對應(yīng)法則f稱為定義在集合D上的一個函數(shù),D稱為函數(shù)的定義域。記y=f(x),稱x為自變量,y為因變量。

      函數(shù)必需具備上述兩個基本條件后,才能稱之為函數(shù)。若一個式子為y=x+2,沒有定義域,則該式子僅僅是一個y與x間的數(shù)學(xué)表達(dá)式,不能認(rèn)為是一個函數(shù)。

      求函數(shù)的定義域時應(yīng)遵守以下條件:

      (1) 分式中分母不能為零;

      (2) 偶次根式內(nèi)式子非負(fù);

      (3) 對數(shù)中真數(shù)大于零;

      (4) 反正弦、余弦函數(shù)的自變量的絕對值不能大于零;

      (5) 正切函數(shù)的自變量不能等于 ;余切函數(shù)的自變量不能等于kπ;

      (6) 多個函數(shù)代數(shù)和的定義域,為各函數(shù)定義域的公共部分;

      (7) 對于實際問題的表達(dá)式定義域,應(yīng)保證自變量取值符合實際意義。

      注意:定義域的表示形式為:集合或者是區(qū)間。

      例1 求函數(shù) 的定義域。

      解 因lnx≥0,則x≥1,所以,函數(shù)定義域為{x│x≥1}。

      例2 求函數(shù) 的定義域。

      解 因sinx≠0,則x≠kπ,k∈Z; 有意義,則-1≤x≤1。

      所以,函數(shù)定義域為{x│-1≤x<0或0

      例3 已知函數(shù)f(x)的定義域為[2,4],求函數(shù)f(x-1)的定義域。

      解 因f(x)的定義域為[2,4],則f(x-1)中(x-1) ∈[2,4],記2≤x-1≤4。所以,3≤x≤5。函數(shù)定義域為[3,5]。

      2 函數(shù)的表達(dá)式

      對于函數(shù)表達(dá)式的求解常用到三種形式:

      (1)已知函數(shù)f(x)和g(x)的表達(dá)式,求f[g(x)]的表達(dá)式;

      (2)已知f[g(x)]和g(x)的表達(dá)式,求f(x)的表達(dá)式;

      (3)已知f[g(x)]和f(x)的表達(dá)式,求g(x)的表達(dá)式。

      例3 設(shè)f(x)=2x,g(x)=sinx,求f[g(x)]。

      解 代入法,f[g(x)]=2(xinx)=2sinx。

      例4 設(shè)f(x+1)=x2+x+3,求f(x)。

      解 令t=x+1,則x=t-1,將x帶入到原表達(dá)式,有f(t)=(t-1)2+(t-1)+3,

      得到f(t)=t2-t+3。再令,t=x,有f(x)=x2-x+3。

      例5 設(shè)f[g(x)]=x2,f(x)=x+1,求g(x)。

      解 在f(x)=x+1中,令x=g(x),將x帶入到f(x)=x+1,有x2=g(x)+1,

      所以,g(x)=x2-1。

      3 兩個函數(shù)相同的判定

      若兩個函數(shù)相同則要滿足以下兩個條件同時成立:

      1)定義域相同;

      2)對應(yīng)法則相同。

      若定義域與對應(yīng)法則這兩個條件中只要有一個不同,函數(shù)就不同。

      例7 判定函數(shù)f(x)=2inx,g(x)=inx2是否相同。

      解 方法:判定兩個函數(shù)定義域是否完全相同。

      (1)因f(x)的定義域為:{x│x>0};g(x)的定義域為:{x│x≠0}。

      因為,兩個函數(shù)定義域不相同,則f(x)與g(x)不是同一個函數(shù)。

      例8 判定函數(shù)f(x)=2x, 是否相同。

      解 方法:判定兩個函數(shù)對應(yīng)法則是否完全相同。

      (1)因f(x)的定義域為:(-∞,+ ∞);g(x)的定義域為:(-∞,+ ∞)。

      (2)因g(x)的表達(dá)式可以進(jìn)行化簡,變?yōu)椋?。

      根據(jù)(1),(2)可知,雖然兩個函數(shù)定義域相同,但是當(dāng)x<0時,g(x)=-2x,f(x)=2x。兩個函數(shù)的表達(dá)式不同,意味著當(dāng)x<0時,f(x)=2x,

      的對

      應(yīng)法則不一樣,說明兩個函數(shù)不相同。

      注意:例1與例2中,均可采用特殊值法用于判定函數(shù)是否相同。對于兩個例題均可取x=-1。分別求解f(-1),g(-1)。通過兩個值函數(shù)值可以判定,兩個函數(shù)不相同。

      例9 判定函數(shù)f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2x是否相同。

      解 方法:判定兩個函數(shù)定義域與對應(yīng)法則是否完全相同。

      (1)因f(x)的定義域為:(-∞,+ ∞);g(x)的定義域為:(-∞,+ ∞)。

      (2)因g(x)的表達(dá)式可以進(jìn)行化簡,變?yōu)椋篻(x)=1。

      因此,兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則均相同,說明兩個函數(shù)為同一函數(shù)。

      4 總結(jié)

      對應(yīng)法則和定義域是函數(shù)的概念重要因素,也是函數(shù)求解的關(guān)鍵。對于函數(shù)的定義域的求解應(yīng)采用“從內(nèi)到外”的方法,逐層求解。而多個函數(shù)的代數(shù)和形式的定義域則層次分別求解,最終取交集的方法。函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)針對三種不同形式的問題,分門別類進(jìn)行對應(yīng)化簡,得到答案。

      參考文獻(xiàn):

      [1] 葉永春,朱勤.高等數(shù)學(xué)及應(yīng)用[M].北京:北京大學(xué)出版社,2014.

      [2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2010.

      [3] 熊慶如.高等數(shù)學(xué)[M].西安:西安交通出版社,2015.

      [4] 陳廣生.高職院?!陡叩葦?shù)學(xué)》課堂教學(xué)最優(yōu)化研究[J].大眾科技,2010,(12).

      作者簡介:

      張延利(1980.9-),男,山東萊蕪人,碩士,講師,從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

      基金項目: 瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015年度院級教改項目(JG-201504);瀘州市職業(yè)教育研究中心2016年度研究課題(LZJY-2016-18)

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