Matlab在高校線性規(guī)劃教學(xué)中的編程應(yīng)用研究

何江蕓

摘要：本文探討了在高等學(xué)校線性規(guī)劃教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)程序思想的重要性，在理論教學(xué)與軟件工具之間搭起橋梁，通過(guò)Matlab編程，不但使教師在理論教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，而且使得學(xué)生的計(jì)算機(jī)編程能力得到了很大提高。通過(guò)巧妙的計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言與理論模型的結(jié)合，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及學(xué)習(xí)能力都大為提高，達(dá)到了理論數(shù)學(xué)思維與計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力雙向豐收的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：Matlab仿真；線性規(guī)劃；編程能力；教學(xué)效果

中圖分類號(hào)：G421 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）10-0181-04

一、引言

線性規(guī)劃不但是高校理工科專業(yè)的重要課程，而且在經(jīng)管類的數(shù)據(jù)挖掘教學(xué)中占據(jù)著非常重要的位置，是數(shù)據(jù)建模的重要內(nèi)容，是企業(yè)資源計(jì)劃（Enterprise Resource Planning，ERP）的核心思想之一。最優(yōu)化的資源管理及開(kāi)發(fā)應(yīng)用是每個(gè)企業(yè)長(zhǎng)期堅(jiān)持的戰(zhàn)略任務(wù)[1-5]。

但是在現(xiàn)行許多高等學(xué)校線性規(guī)劃實(shí)際的教學(xué)中，往往是過(guò)于偏重理論教學(xué)，沒(méi)有計(jì)算機(jī)應(yīng)用及軟件編程，忽視了計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，這使得教學(xué)過(guò)于枯燥，只進(jìn)行理論教學(xué)會(huì)帶來(lái)三方面的問(wèn)題：

1.重理論而不重計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力?！皩W(xué)以致用”是教學(xué)的本質(zhì)，再好的理論如果不加以應(yīng)用，這樣的理論發(fā)展往往受到限制，當(dāng)然，一些純抽象某些專業(yè)課程（如抽象代數(shù)）除外。許多高校的大學(xué)生都是要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，培養(yǎng)應(yīng)用型復(fù)合型人才，特別是強(qiáng)調(diào)計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，如果線性規(guī)劃教學(xué)只培養(yǎng)了學(xué)生的理論部分，這就欠缺了應(yīng)用能力特別是計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

2.教學(xué)的深度受到限制。線性規(guī)劃問(wèn)題的解一般有圖解法及單純型法兩種，但圖解法對(duì)于兩個(gè)決策變量還好，三個(gè)以上就很難實(shí)施；而單純型法對(duì)于四個(gè)變量以上就將耗費(fèi)大量時(shí)間，特別對(duì)于5個(gè)變量以上就顯得無(wú)從下手。如今的企業(yè)資源復(fù)雜，往往涉及更多的約束及決策變量，如果不借助計(jì)算機(jī)求解，這就會(huì)嚴(yán)重影響教學(xué)的深度及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大為降低，導(dǎo)致教學(xué)效果也低。因?yàn)橹挥锌菰锏睦碚撜n堂使學(xué)生無(wú)法進(jìn)入計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行操作程面的鍛煉。課堂上沒(méi)有計(jì)算機(jī)仿真的演示，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件工具沒(méi)有在課堂上體現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)枯燥無(wú)興趣，這使得這門課程的學(xué)習(xí)效果大打折扣。

因此，在線性規(guī)劃教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)軟件工具不但有必要而且是現(xiàn)代教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)非常重要的要求，通過(guò)Matlab這種優(yōu)秀的軟件來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的編程能力在上述三個(gè)方面都會(huì)有重要的教學(xué)改革意義。

二、線性規(guī)劃與Matlab相關(guān)問(wèn)題

1.線性規(guī)劃問(wèn)題。線性規(guī)劃問(wèn)題的歷史悠久、理論成熟及應(yīng)用廣泛。法國(guó)數(shù)學(xué)家J.B.J.傅里葉和C.瓦萊-普森分別于1832和1911年獨(dú)立地提出線性規(guī)劃的想法，但未引起學(xué)術(shù)界注意。1939年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Л.В.康托羅維奇在《生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的數(shù)學(xué)方法》一書(shū)中提出線性規(guī)劃問(wèn)題，也未引起重視。1947年美國(guó)數(shù)學(xué)家G.B.Dantzing提出求解線性規(guī)劃的單純形法，為這門學(xué)科奠定了算法基礎(chǔ)。1947年美國(guó)數(shù)學(xué)家J.馮諾伊曼提出對(duì)偶理論，開(kāi)創(chuàng)了線性規(guī)劃的許多新的研究領(lǐng)域，擴(kuò)大了它的應(yīng)用范圍和解題能力?？低新寰S奇和庫(kù)伯曼斯（Koopmans）因?qū)Y源最優(yōu)分配理論的貢獻(xiàn)而獲1975年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。上世紀(jì)60—70年代，隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，線性規(guī)劃問(wèn)題發(fā)展到了30000個(gè)約束，3000000個(gè)變量，這是理論和手工再也無(wú)法計(jì)算的。

從1964年諾貝爾獎(jiǎng)設(shè)經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)后，到1992年28年間的32名獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?3人（40.6%）從事過(guò)與線性規(guī)劃有關(guān)的研究工作，其中比較著名的有Simon，Samullson，Leontief，Arrow，Miller等。

如今，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來(lái)臨及企業(yè)復(fù)雜業(yè)務(wù)的開(kāi)展，線性規(guī)劃問(wèn)題解決企業(yè)資源最優(yōu)配置變得異常重要，同時(shí)，為了解決復(fù)雜問(wèn)題，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也顯得越來(lái)越重要。

2.Matlab問(wèn)題。Matlab是由美國(guó)MathWorks公司開(kāi)發(fā)的一款商業(yè)軟件，起初是為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算而設(shè)計(jì)的。20世紀(jì)70年代，美國(guó)新墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任Cleve Moler為了減輕學(xué)生編程的負(fù)擔(dān)，用FORTRAN編寫了最早的Matlab。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立的MathWorks公司正式把Matlab推向市場(chǎng)。到20世紀(jì)90年代，Matlab已成為國(guó)際控制界的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件[1-5]。

Matlab軟件優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在編程環(huán)境、簡(jiǎn)單易用、強(qiáng)處理能力、圖形處理、模塊集合工具箱、程序接口和發(fā)布平臺(tái)、應(yīng)用軟件開(kāi)發(fā)等方面。目前已應(yīng)用到數(shù)值分析、數(shù)值和符號(hào)計(jì)算、工程與科學(xué)繪圖、控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真、數(shù)字圖像處理技術(shù)、數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)、通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真、財(cái)務(wù)與金融工程、管理與調(diào)度優(yōu)化計(jì)算（運(yùn)籌學(xué)）等領(lǐng)域。

新版的Matlab自1984年推向市場(chǎng)以來(lái)，歷經(jīng)十多年的發(fā)展和競(jìng)爭(zhēng)，現(xiàn)已成為國(guó)際認(rèn)可的最優(yōu)化的科技應(yīng)用軟件。與其他高級(jí)語(yǔ)言相比，Matlab提供了一個(gè)人機(jī)交互的數(shù)學(xué)系統(tǒng)環(huán)境，可以大大節(jié)省編程時(shí)間。Matlab語(yǔ)法規(guī)則簡(jiǎn)單、容易掌握、調(diào)試方便，具有高效、簡(jiǎn)單和直觀的特性。使用者只需輸入一條命令而不用編制大量的程序即可解決許多數(shù)字問(wèn)題，正是由于Matlab的強(qiáng)大功能，受到國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的歡迎和重視，它已成為許多大學(xué)生研究與學(xué)習(xí)的重要工具[6-10]。

三、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型及Matlab函數(shù)

1.線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型。利用線性規(guī)劃問(wèn)題求解的步驟一般為“確定決策變量、確定目標(biāo)函數(shù)、確定約束條件、確定非負(fù)約束、求解”五個(gè)步驟，為了求解，需要將之化為標(biāo)準(zhǔn)形式。線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型是：

max（min）z=■c■x■■■a■x■=b■，i=1，2，…，mx■≥0，j=1，2，…，nb■≥0，i=1，2，…，m （1）

其中z稱為目標(biāo)函數(shù)，x■（≥0，j=1，2，…，n）為決策變量。為了在教學(xué)中便于計(jì)算機(jī)求解，我們將（1）式化為：

max（min）z=fXs，t.AX≤BX≥0，B≥0 （2）

其中：

f=[c■，c■，…，c■]，X=[x■，x■，…，x■]'，

B=[b■，b■，…，b■]'，

A=■=（a■）■

2.Matlab線性規(guī)劃程序。我們用linprog函數(shù)來(lái)求作為線性規(guī)劃程序。Matlab對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題的求解是求最小值問(wèn)題：

minz=fXs，t.AX≤B （3）

使用linprog時(shí)，已經(jīng)用單純型方法進(jìn)行了打包，計(jì)算機(jī)代碼簡(jiǎn)單靈活，可以針對(duì)任意多個(gè)變量進(jìn)行處理，同時(shí)，教學(xué)中要注意以下幾個(gè)不同的函數(shù)：

X=linprog（f，A，B）

X=linprog（f，A，B，aeq，beq）

X=linprog（f，A，B，aeq，beq，LB，UB）

X=linprog（f，A，B，aeq，beq，LB，UB，X■） （4）

滿足Aeq·X=beq，是那些有等式的約束條件，LB，UB是決策變量X的下界與上界，X■為初值。

因此，教學(xué)中應(yīng)根據(jù)不同的問(wèn)題使用不同的Matlab函數(shù)。一般情況下應(yīng)用X=linprog（f，A，B）；當(dāng)既有不等式又有等式時(shí)，用函數(shù)X=linprog（f，A，B，aeq，beq）；當(dāng)不但有等式約束而且明顯給出決策變量的上下界時(shí)，就用函數(shù)X=linprog（f，A，B，aeq，beq，LB，UB）；既有等式約束，又有上下界約束，同時(shí)可以觀察到解的大致范圍時(shí)，不妨給出一個(gè)初值而利用函數(shù)X=linprog（f，A，B，aeq，beq，LB，UB，X■）。這樣可以省下計(jì)算機(jī)大量尋找解的時(shí)間。

同時(shí)，教學(xué)中要注意的是，Matlab使用的是求解最小值的表達(dá)式（3），因此，如果是求解的最大值問(wèn)題，必須先將求解最大值用變換化為求最小值的形式，許多求解錯(cuò)誤就是沒(méi)有注意到這一點(diǎn)。

四、Matlab求解線性規(guī)劃問(wèn)題的仿真實(shí)驗(yàn)

例子 最大利潤(rùn)問(wèn)題

某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品。這兩種產(chǎn)品都要分別在A、B、C、D四種不同設(shè)備上加工。生產(chǎn)每件產(chǎn)品Ⅰ需占用各設(shè)備分別為2、1、4、0h，生產(chǎn)每件產(chǎn)品Ⅱ，需占用各設(shè)備分別為2、2、0、4h。已知各設(shè)備計(jì)劃期內(nèi)用于生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的能力分別為12、8、16、12h，又知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅰ企業(yè)能獲得2元利潤(rùn)，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅱ企業(yè)能獲得3元利潤(rùn)，問(wèn)企業(yè)應(yīng)安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品各多少件，使總的利潤(rùn)收入為最大。

問(wèn)題分析：

設(shè)分別用x■，x■分別表示Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品在計(jì)劃期內(nèi)的產(chǎn)量，因?yàn)樵O(shè)備A在計(jì)劃期內(nèi)的可用時(shí)間為12h，不允許超，于是有：

2x■+x■≤12

同樣的對(duì)設(shè)備B，C，D有：

x■+2x■≤8

4x■≤16

4x■≤12

企業(yè)的目標(biāo)是在各種設(shè)備能力允許的條件下，利潤(rùn)達(dá)到最大，即有：

maxz=2x■+3x■

因此，這個(gè)問(wèn)題對(duì)于Matlab要化為求最小值問(wèn)題，這樣，該問(wèn)題化為：

minz′=-z=-2x■-3x■

約束條件是：

2x■+x■≤12x■+2x■≤84x■+0x■≤160x■+4x■≤12 （5）

可見(jiàn)，這個(gè)問(wèn)題顯然應(yīng)該用函數(shù)X=linprog（f，A，B），這樣，其Matlab程序?yàn)椋?/p>

f=[-2，-3]；

A=[2，2；1，2；4，0；0，4]；

B=[12，8，16，12]

X=linprog（f，A，B）；

經(jīng)過(guò)運(yùn)行，則有：

Optimization terminated.

x=

4.0000

2.0000

即當(dāng)X=（4 2），即當(dāng)x■=4，x■=2時(shí)，總的利潤(rùn)收入為最大，最大利潤(rùn)為z=2x■+3x■=14元。

如果在解題中沒(méi)有注意將最大值問(wèn)題化為最小值問(wèn)題而直接用如下程序：

f=[2，3]

A=[2，2；1，2；4，0；0，4]；

B=[12，8，16，12]

X=linprog（f，A，B）

則會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤信息并得到錯(cuò)誤結(jié)果：

Exiting：One or more of the residuals，duality gap，or total relative error has grown 100000 times greater than its minimum value so far：the dual appears to be infeasible （and the primal unbounded）.，（The primal residual < TolFun=1.00e-008.）。

x=1.0e+024*（-0.0000 -2.2587）

意思是：一個(gè)或多個(gè)殘差、二元間隙或總相對(duì)誤差到目前為止已經(jīng)增長(zhǎng)了100000倍以上：對(duì)偶似乎是不可行的（和原始無(wú)界）。并得到了上述錯(cuò)誤結(jié)果。

另外，如果將（5）式化為：

2x■+x■≤12x■+2x■≤80≤x■≤40≤x■≤3 （6）

則反而沒(méi)有l(wèi)inprog的函數(shù)可以利用。計(jì)算無(wú)法進(jìn)行下去。因此，正確的方法是根據(jù)linprog函數(shù)化為可以解出的函數(shù)模型，才會(huì)有真正的結(jié)果。

五、結(jié)論

線性規(guī)劃是高等學(xué)校教學(xué)中比較抽象的部分，本文論述了在高等學(xué)校線性規(guī)劃教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)程序思想的重要性，在理論教學(xué)與軟件工具之間搭起橋梁，通過(guò)Matlab編程，不但使教師在理論教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，而且使得學(xué)生的計(jì)算機(jī)編程能力得到了很大提高。通過(guò)巧妙的計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言與理論模型的結(jié)合，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及學(xué)習(xí)能力都大為提高，達(dá)到了理論數(shù)學(xué)思維與計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力雙向豐收的教學(xué)效果。

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