一道課本題的多解、多變與多用

馬愛平 陳德前

(1.江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué) 225721; 2.江蘇省興化市教育局教研室 225700)

義務(wù)教育教科書人教版八年級(jí)下冊(cè)第62頁(yè)第13題是：

題目如圖1，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE=BF=CM=DN.試判斷四邊形EFMN是什么圖形，并證明你的結(jié)論.

一、在一題多解中復(fù)習(xí)知識(shí)

經(jīng)過(guò)測(cè)量、觀察可知四邊形EFMN是正方形，通過(guò)對(duì)這個(gè)結(jié)論多種證明方法的研究可鞏固平行四邊形、菱形、矩形、正方形、全等三角形及勾股定理等眾多知識(shí).

思路1 先證明四邊形EFMN是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角是直角和一組鄰邊相等.

思路2 先證明四邊形EFMN是矩形(證三個(gè)角是直角)，再證明有一組鄰邊相等

思路3 先證明四邊形EFMN是菱形(證四邊相等)，再證明有一個(gè)角是直角.而證明四邊相等又有兩種方法：一是通過(guò)證明△NAE≌△EBF≌△FCM≌△MDN得到，二是利用勾股定理證明得到.

下面只給出思路3的證明，其他思路的解題過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們作為練習(xí)，自己給出.

方法1 ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD，∠A=∠B=90°.∵AE=BF=DN，∴BE=AN，∴△NAE≌△EBF，∴EN=EF，∠AEN=∠BFE.同理可證EN=EF=FM=MN，∴四邊形EFMN是菱形.∵∠B=90°∴∠BEF+∠BFE=90°，∴∠AEN+∠BEF=90°，∴∠NEF=180°-90°=90°，∴四邊形EFMN是正方形.

方法2 ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴BE=CF=DM=AN，∴由勾股定理得EN=EF=FN=MN，∴四邊形EFMN是菱形.下同方法1，略.

通過(guò)上述一題多解，我們不僅復(fù)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法，而且對(duì)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的知識(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)變得十分清晰.

二、在一題多變中學(xué)會(huì)探索

在一題多解的基礎(chǔ)上，研究題目的多種變式，不僅可以提高我們的應(yīng)變能力，而且能使我們?cè)谧兪街袑W(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

變式1 將點(diǎn)E，F(xiàn)，M、N特殊化，變成正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，則有：

如圖2，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn).四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？(課本八年級(jí)下冊(cè)第67頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第6題)

解析很明顯四邊形EFGH仍是正方形，證明這個(gè)結(jié)論除上述方法外，還可連AC和BD，利用三角形中位線定理，先證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角是直角和一組鄰邊相等(請(qǐng)同學(xué)們自己寫出證明過(guò)程).

變式2 由變式1可發(fā)現(xiàn)，EG和FH一定經(jīng)過(guò)正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，那么在一般情況下這個(gè)結(jié)論是否成立呢？于是有：

如圖3，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE=BF=CM=DN.試判斷直線EM是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

分析連接AC、BD和EM發(fā)現(xiàn)它們交于一點(diǎn)，將圖4繞正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)也可得到這個(gè)結(jié)論，于是猜想直線EM經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(即正方形對(duì)角線的交點(diǎn)).然后證明這個(gè)結(jié)論正確即可.下面給出三種證明方法：

方法1 如圖3，連接AC，設(shè)AC、EM相交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，∴∠AEO=∠CMO，∠EAO=∠MCO.又∵AE=CM，∴△AEO≌△CMO，∴AO=CO.∵AC一定，∴O為定點(diǎn)，即EM一定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的中點(diǎn).

方法2 如圖3，AC,設(shè)AC、EM相交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，即AE∥CM.又∵AE=CM，∴四邊形AECM是平行四邊形，∴AO=CO.而AC一定，∴O為定點(diǎn)，即EM一定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的中點(diǎn).

方法3 如圖3連接AC、BD，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O.連接EO、MO.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，AO=CO，∴∠EAO=∠MCO.又∵AE=CM，∴△AEO≌△CMO，∴∠AOE=∠COM.∵∠AOM+∠COM=180°，∴∠AOM+∠AOE=180°，即E、O、M三點(diǎn)共線，∴EM一定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的中點(diǎn).

變式3 在變式2的探索中，我們發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N的變化，正方形EFMN的面積也在變化，很明顯它有最大值，即正方形ABCD的面積，那么有沒有最小值呢？于是又有：

如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.試問四邊形EFGH面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析在圖形的旋轉(zhuǎn)中，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)時(shí)，S正方形EFGH最小，因此只要通過(guò)推理得到這個(gè)結(jié)論即可.

通過(guò)一題多變，我們得到了三個(gè)有價(jià)值的問題，其實(shí)我們還可以通過(guò)變式得到許多問題，同學(xué)們可以自己試一試.

三、在一圖多用中提升能力

由圖1，我們可以得到這樣一個(gè)基本模型：

如圖5，點(diǎn)E在線段BC上，∠ABE=∠AEF=∠ECF=90°，BE=CF，則△ABE≌△ECF.由于這個(gè)圖形象“凹槽”，所以我們把它稱為“凹槽全等型”，Rt△AEF稱之為“凹槽直角三角形”.應(yīng)用這個(gè)基本模型及其性質(zhì)可以簡(jiǎn)捷地解決許多問題.

1.模型具備直接用

例1 如圖6，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE=8，BF=5，則EF的長(zhǎng)為 .

解析在正方形ABCD中，∠BAD=90°,AB=AD.∵BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E,∴∠BFA=∠DEA=∠BAD=90°.由上述基本模型和性質(zhì)可得△ABF≌△DAE，∴AF=DE,BF=AE，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.

2.模型殘缺補(bǔ)全用

例2 如圖7，平面內(nèi)4條直線l1、l2、l3、l4是一組平行線，相鄰2條平行線的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在這些平行線上，該正方形的面積是____平方單位.

解析如圖7，分別過(guò)點(diǎn)B、D作直線l4的垂線，垂足分別為E、F.由上述基本模型和性質(zhì)可得△DFC≌△CEB,∴FC=EB=1.又∵DF=2,∴S正方形ABCD=DC2=DF2+FC2=5.

3.多個(gè)模型反復(fù)用

例3 如圖8①所示,已知A、B為直線l上兩點(diǎn),點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn),連接AC、BC分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,過(guò)點(diǎn)D作DD1⊥l于點(diǎn)D1,過(guò)點(diǎn)E作EE1⊥l于點(diǎn)E1.

(1)如圖8②,當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)(此時(shí)E1與E重合),試說(shuō)明DD1=AB；

(2)在圖8①中,當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí),試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由；

(3)如圖8③,當(dāng)點(diǎn)E在直線l的下方時(shí),請(qǐng)寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由.

解析(1)由上述基本模型及其性質(zhì)可得△ADD1≌△CAB，∴DD1=AB.

(2)DD1+EE1=AB，理由如下：如圖9，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥l，垂足為H，由上述基本模型及其性質(zhì)可知△ADD1≌△CAH，△BEE1≌△CBH，∴DD1=AH,EE1=BH,∴DD1+EE1=AH+BH=AB.

(3)DD1-EE1=AB，理由如下：如圖10，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥l，垂足為H，由上述基本模型及其性質(zhì)可知△ADD1≌△CAH，∴DD1=AH.再通過(guò)證明△BEE1≌△CBH，可知EE1=BH，∴DD1-EE1=AH-BH=AB.

以上我們通過(guò)模型的發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造，順利找到了解決問題的途徑，由此足見模型的巨大作用，我們?cè)趶?fù)習(xí)中要善于提煉基本模型，并靈活運(yùn)用它來(lái)分析問題和解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳德前，王朝珍.利用典型考題 提高復(fù)習(xí)效率[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中)，2017(4)：12-16.

[2]霍彩霞.如何進(jìn)行審題[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(七年級(jí))，2016(7-8)：98-101.