中點(diǎn)問(wèn)題解題策略

于長(zhǎng)江

(黑龍江省克山縣第二中學(xué)校 161600)

添加輔助線解幾何命題,是學(xué)習(xí)平面幾何的難點(diǎn);作輔助線雖無(wú)定法,但卻有規(guī)可循,有律可導(dǎo)，只要深刻挖掘題設(shè)與結(jié)論的內(nèi)含，抓住特定條件的本質(zhì)特征，探求已知與未知之間的必然聯(lián)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，定能架起溝通已知與未知之間的橋梁——輔助線.通過(guò)引輔助線，可以轉(zhuǎn)化條件，制造聯(lián)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.現(xiàn)舉例如下.

如圖，在△ABC中，AD是高，M是BC中點(diǎn)，∠B=2∠C，

分析本題的特定條件有中點(diǎn)(M點(diǎn))、2倍角(∠B=2∠C)、高線(AD)，在解題時(shí)以某一條件為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)其不同特性引輔助線，得出以下多種解題方法.

一、構(gòu)造中位線法

當(dāng)條件中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，一般可取另一邊的中點(diǎn)，構(gòu)造中位線，制造平行關(guān)系或等量關(guān)系.

∴∠2=∠C.而∠1=∠2+∠3，∠B=2∠C，

∴∠B=∠1.而∠1=∠2+∠3，∠B=2∠C，

二、中線加倍法

當(dāng)條件中出現(xiàn)三角形的中線或可作中線時(shí)，可考慮將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)化條件.

證法3 連AM并延長(zhǎng)到E，使ME=AM，

連CE,延長(zhǎng)AD到F，使DF=AD，連EF、CF.

易證△AMB≌△EMC，

∴CE=AB，∠B=∠2+∠3.

由BC垂直平分AF得∠1=∠2.而∠B=2∠1，

可得∠2=∠3，∴∠3=∠4，

三、2倍角轉(zhuǎn)化法

當(dāng)條件中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，可考慮平分2倍角，或?qū)⑤^小的角加倍.

證法4 延長(zhǎng)CB到E，使BE=AB，連AE.

易證∠ABC=2∠E，而∠ABC=2∠C，

∴∠E=∠C，∴AE=AC.而AD⊥EC，

∴DE=CD.在線段EC上可得CE=2CD，

∴BC+EB=2(DM+CM),

四、高線對(duì)稱法

將某個(gè)三角形沿高線翻折，將構(gòu)成等腰三角形，從而達(dá)到溝通相關(guān)條件的目的.

證法5 在DC上截取DE=DB，連AE.

易證△ADE≌△ADB，則AE=AB，

∠AEB=∠B.由∠B=2∠C得∠AEB=2∠C.

而∠AEB=∠CAE+∠C，

∴∠CAE=∠C,∴AE=CE=AB.

在線段BC上可得：BE=2DE，

∴BM+ME=2(DM+ME),

∴CM+ME=2(DM+ME),

∴(AB+ME)+ME=2(DM+ME).

以上五種解法，論述了在特定條件下如何作輔助線及解題策略，以期起到拋磚引玉的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉義勛. 輔助線是幾何證明的“點(diǎn)睛”之筆[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)(初中版), 2011(9): 3.