于長(zhǎng)江
(黑龍江省克山縣第二中學(xué)校 161600)
添加輔助線解幾何命題,是學(xué)習(xí)平面幾何的難點(diǎn);作輔助線雖無(wú)定法,但卻有規(guī)可循,有律可導(dǎo),只要深刻挖掘題設(shè)與結(jié)論的內(nèi)含,抓住特定條件的本質(zhì)特征,探求已知與未知之間的必然聯(lián)系,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí),定能架起溝通已知與未知之間的橋梁——輔助線.通過(guò)引輔助線,可以轉(zhuǎn)化條件,制造聯(lián)系,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.現(xiàn)舉例如下.
如圖,在△ABC中,AD是高,M是BC中點(diǎn),∠B=2∠C,
分析本題的特定條件有中點(diǎn)(M點(diǎn))、2倍角(∠B=2∠C)、高線(AD),在解題時(shí)以某一條件為出發(fā)點(diǎn),根據(jù)其不同特性引輔助線,得出以下多種解題方法.
當(dāng)條件中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí),一般可取另一邊的中點(diǎn),構(gòu)造中位線,制造平行關(guān)系或等量關(guān)系.
∴∠2=∠C.而∠1=∠2+∠3,∠B=2∠C,
∴∠B=∠1.而∠1=∠2+∠3,∠B=2∠C,
當(dāng)條件中出現(xiàn)三角形的中線或可作中線時(shí),可考慮將中線延長(zhǎng)一倍,構(gòu)造全等三角形,轉(zhuǎn)化條件.
證法3 連AM并延長(zhǎng)到E,使ME=AM,
連CE,延長(zhǎng)AD到F,使DF=AD,連EF、CF.
易證△AMB≌△EMC,
∴CE=AB,∠B=∠2+∠3.
由BC垂直平分AF得∠1=∠2.而∠B=2∠1,
可得∠2=∠3,∴∠3=∠4,
當(dāng)條件中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí),可考慮平分2倍角,或?qū)⑤^小的角加倍.
證法4 延長(zhǎng)CB到E,使BE=AB,連AE.
易證∠ABC=2∠E,而∠ABC=2∠C,
∴∠E=∠C,∴AE=AC.而AD⊥EC,
∴DE=CD.在線段EC上可得CE=2CD,
∴BC+EB=2(DM+CM),
將某個(gè)三角形沿高線翻折,將構(gòu)成等腰三角形,從而達(dá)到溝通相關(guān)條件的目的.
證法5 在DC上截取DE=DB,連AE.
易證△ADE≌△ADB,則AE=AB,
∠AEB=∠B.由∠B=2∠C得∠AEB=2∠C.
而∠AEB=∠CAE+∠C,
∴∠CAE=∠C,∴AE=CE=AB.
在線段BC上可得:BE=2DE,
∴BM+ME=2(DM+ME),
∴CM+ME=2(DM+ME),
∴(AB+ME)+ME=2(DM+ME).
以上五種解法,論述了在特定條件下如何作輔助線及解題策略,以期起到拋磚引玉的作用.
參考文獻(xiàn):
[1]劉義勛. 輔助線是幾何證明的“點(diǎn)睛”之筆[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)(初中版), 2011(9): 3.