Gumbel分布分位數(shù)的廣義置信區(qū)間

喻 雪，范永輝

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

設(shè) X1，X2，…，Xn是分布函數(shù)為 F（x）的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，Mn=max{X1，X2，…，Xn}，設(shè)存在常數(shù)列{an＞0}和{bn}，使得x∈R，此極值分布有3種類型，其中Ⅰ型分布稱為Gumbel分布，Gumbel分布函數(shù)的表達(dá)式為

其中：μ（-∞ ＜ μ＜+∞）為位置參數(shù)；σ（σ ＞0）為尺度參數(shù).位置參數(shù)為μ、尺度參數(shù)為σ的Gumbel分布記作G（μ，σ），其對應(yīng)的密度函數(shù)為

記 h（x）=exp[-exp（-x）]·exp（-x），則 Gumbel分布的密度函數(shù)可記為

Gumbel分布是極值分布的主要類型之一，極值分析的主要目的之一是估計(jì)分位數(shù)，其在水文、建筑、氣象等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1-3].對分布函數(shù)位置參數(shù)和尺度參數(shù)估計(jì)的優(yōu)劣直接影響重現(xiàn)水平估計(jì)的準(zhǔn)確性，因此對Gumbel分布參數(shù)的研究具有重大的理論意義和實(shí)用價(jià)值.

關(guān)于Gumbel分布的位置和尺度參數(shù)置信區(qū)間的確定，相關(guān)學(xué)者提出了很多方法.文獻(xiàn)[4]利用樣本分位數(shù)，構(gòu)建極值分布參數(shù)的線性回歸模型，得到了相關(guān)參數(shù)的漸近正態(tài)無偏估計(jì)，給出了相應(yīng)的漸近置信區(qū)間.文獻(xiàn)[5]基于樣本分位數(shù)給出了構(gòu)造置信區(qū)間的2個新樞軸量，推導(dǎo)出了樞軸量的概率密度函數(shù)表達(dá)式，在大樣本場合討論了總體參數(shù)的近似置信區(qū)間.文獻(xiàn)[6]結(jié)合非線性回歸模型和最小絕對偏差給出極值分布參數(shù)的一種估計(jì)方法.以上文獻(xiàn)都是在大樣本情況下考慮Gumbel分布中位置參數(shù)和尺度參數(shù)的置信區(qū)間，所用樞軸量的分布是當(dāng)樣本容量趨于無窮時的極限分布，但這些方法不一定適用于小樣本情形，尤其典型的小樣本置信區(qū)間在涉及討厭參數(shù)統(tǒng)計(jì)問題時可能不可用，例如，2個指數(shù)分布的均值之間的差異，或兩異方差的正態(tài)分布，典型的小樣本推斷不提供最佳的檢驗(yàn)和置信區(qū)間.針對小樣本情形，本文基于參數(shù)最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)，利用廣義樞軸量，構(gòu)造了Gumbel分布分位數(shù)的廣義置信區(qū)間.

定義[7]R=R（X，x，θ）是X、x、θ的函數(shù)，其中：θ =（θ1，θ2）為未知參數(shù)向量，θ1為感興趣的參數(shù)，θ2為討厭參數(shù)向量，若R滿足以下條件，則稱R為廣義樞軸量（GPQ）.

（1）給定x，R的分布與未知參數(shù)無關(guān).

（2）R的觀測值Robs=R（x，x，θ）與討厭參數(shù)無關(guān).

設(shè) R=R（X，x，θ）為參數(shù) θ1的廣義樞軸量，則θ1的等尾（1- α）100%的廣義置信區(qū)間為[cθ1，α/2（x），cθ1，1-α/2（x）]，其中 cθ1，γ（x）滿足

1 位置-尺度參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)

設(shè)隨機(jī)變量ξ服從G（μ，σ），顯然f（ξ）=aξ+b（a＞0，-∞ ＜ b ＜ +∞）服從 G（a μ+b，aσ）.μ、σ 的估計(jì)也應(yīng)有類似的性質(zhì)，即 X=（X1，X2，…，Xn）′是從總體 G（μ，σ）中抽取的樣本分別為 μ 和 σ 的估計(jì)，若樣本變?yōu)?aX+b1n，其中 1n=（1，…，1）′，則應(yīng)滿足

引理設(shè) X=（X1，X2，…，Xn）′為來自 Gumbel分布G（μ，σ）的簡單隨機(jī)樣本，則在二次誤差損失函數(shù)下，位置參數(shù)μ的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)（MRE）為

類似文獻(xiàn)[8]可得引理的證明.

2 Gumbel分布中參數(shù)的廣義置信區(qū)間

首先構(gòu)造廣義樞軸量.設(shè) X=（X1，X2，…，Xn）′是取自G（μ，σ）的簡單隨機(jī)樣本，則在對參數(shù)μ和σ的估計(jì)為最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的基礎(chǔ)上，分別構(gòu)造位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ的GPQ.位置參數(shù)μ的GPQ構(gòu)造為

尺度參數(shù)σ的GPQ構(gòu)造為

在求得μ和σ以及p分位數(shù)的GPQ后，根據(jù)式（2）可求得p分位數(shù)的廣義置信區(qū)間.

令ciL和ciU分別為Ri分布的分位數(shù)和100×由式（2）可知μ、σ和p分位數(shù)的（1-α）廣義置信區(qū)間分別為[c1L，c1U]、[c2L，c2U]和[c3L，c3U].雖然 Ri，i=1、2、3 的分布已知且與未知參數(shù)無關(guān)，但無法利用樣本確定其分布，故廣義置信區(qū)間需要通過計(jì)算機(jī)抽樣模擬得到.

3 計(jì)算機(jī)模擬

本節(jié)通過計(jì)算機(jī)抽樣模擬計(jì)算廣義置信區(qū)間.首先給出算法流程，然后取不同的分位數(shù)，以及不同的小樣本容量值，進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬.

3.1 算法設(shè)計(jì)

取給定的μ、σ、n、p值，其中n表示樣本容量.

對于 i=1，…，M，從 Gumbel分布 G（μ，σ）中抽取第 i個容量為 n 的樣本，計(jì)算

對于 j=1，…，N，從 Gumbel分布 G（0，1）中抽取第 j個容量為 n 的樣本 yj1，yj2，…，yjn，計(jì)算進(jìn)而得出

{R31，R32，…，R3N}即為廣義樞軸量 R3的一個容量為N的樣本，分別用c1、c2表示該樣本的分位數(shù)，總體分位數(shù)的廣義置信區(qū)間即為[c1，c2]，假如c1≤μ≤c2，令 Ki=1，否則 Ki=0.計(jì)算得即為分位數(shù)的廣義置信區(qū)間的實(shí)際置信水平（覆蓋率）.

3.2 模擬結(jié)果

令 T=（1-p）-1，則 p=1-T-1，μ 分別取為 0、1，σ分別取為1、2、3.表1給出了樣本容量n分別為5、10、15、20、35、40的情況下，T分別為 100、200、500的分位數(shù)0.95廣義置信區(qū)間的實(shí)際置信水平（confidence level，CL）.

表1 T年重現(xiàn)水平的廣義置信區(qū)間的置信水平Tab.1 Confidence levels of generalized confidence intervals of return period for T years

由表1數(shù)據(jù)可見，在樣本容量較小的情況下，當(dāng)μ、σ以及重現(xiàn)期T取不同的值時，p分位數(shù)廣義置信區(qū)間的實(shí)際置信水平都與0.95非常接近，可見本文構(gòu)造的廣義樞軸量性能良好.

3.3 p分位數(shù)廣義置信區(qū)間的另一種算法

文獻(xiàn)[9]基于標(biāo)準(zhǔn)極值給出了一種GPQ的構(gòu)造方式，下面利用本文方法和文獻(xiàn)[9]方法分別計(jì)算Gumbel分布分位數(shù)廣義置信區(qū)間的置信水平.由文獻(xiàn)[9]，Gumbel分布 p分位數(shù) μ-σ ln[-ln（p）]的 GPQ 為

不失一般性，這里只比較T=200時的分位數(shù)的0.95廣義置信區(qū)間的實(shí)際置信水平以及平均區(qū)間長度（average interval length，AIL），μ分別取為 0、1，σ分別取為 1、2，樣本容量分別取為 5、8、10、15、35、40，計(jì)算結(jié)果見表2.

表2 2種方法的廣義置信區(qū)間的置信水平和平均區(qū)間長度（T=200）Tab.2 Confidence levels and average interval lengths of generalized confidence intervals of two methods（T=200）

由表2數(shù)據(jù)可見，在樣本容量較小的情況下，總體來說，本文方法得到的置信水平略優(yōu)于文獻(xiàn)[9]，而平均區(qū)間長度則明顯小于文獻(xiàn)[9]的構(gòu)造方式，說明本文的構(gòu)造方法效果較好.

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