Mellin變換的改進Gauss-Legendre求積算法

朱佳佳，陳 蕾，王同科

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387）

Mellin變換是一類重要的積分變換，在數(shù)學[1-2]、物理[3]和工程中的一些領域，如數(shù)論、概率論、計算機科學、量子力學、圖像識別等方面有著廣泛的應用.對于定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），其Mellin變換定義為[1-2]

其中s=σ+it（σ、t∈R）為復數(shù).

Mellin變換并不是對所有的s都成立，使得M（s）成立的s的范圍稱為基本條帶[2].對于一些常見函數(shù)，文獻[4]給出了Mellin變換表.對于更復雜的函數(shù)，需要通過數(shù)值積分方法[5-6]計算其在一些點的離散Mellin變換.當f（x）在[0，+∞）上非充分光滑時，積分（1）為奇異積分，其計算比較困難.文獻[7-8]利用函數(shù)在奇點處的Puiseux級數(shù)展開式設計了計算積分的有效方法.本文假定f（x）在x=0和x=+∞存在Puiseux級數(shù)展開式，在此基礎上研究Mellin變換的高精度Gauss-Legendre求積方法.

1 函數(shù)的Puiseux級數(shù)展開式及其在數(shù)值積分中的應用

對于非充分光滑或在某些點奇異的函數(shù)，其Taylor級數(shù)不存在，但是Puiseux級數(shù)[8]可能存在.Puiseux級數(shù)是冪級數(shù)的一種推廣，其展開式中可以包含負指數(shù)冪、分數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)因子，它們被廣泛用于描述微分方程的解在奇點的性態(tài).函數(shù)在某個點的Puiseux級數(shù)可以通過符號計算得到.

設f（x）是定義在區(qū)間（a，b]上的函數(shù)，在端點x=a處分數(shù)階代數(shù)和對數(shù)奇異，x=a處的Puiseux級數(shù)展開式為

除端點x=a外，f（x）在其他點充分光滑.以步長h=（b-a）/n將[a，b]分割為n個子區(qū)間，對于積分I=其復合Gauss-Legendre求積公式為

其中：p為節(jié)點個數(shù)；σλ＞0為權重；節(jié)點 θλ∈（0，1），λ=1，2，…，p.這些權重和節(jié)點可由一些高效算法[9]求出.

引理[8]設f（x）在端點x=a處代數(shù)和對數(shù)奇異，Puiseux級數(shù)展開式（2）成立，則計算積分的改進Gauss-Legendre求積公式為

誤差主項為

2 Mellin變換的Gauss-Legendre求積算法

2.1 Mellin變換成立的條件

假設定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）能夠在零點和無窮遠點進行Puiseux級數(shù)展開，下面分別在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上對Mellin變換成立的條件進行討論.

根據(jù)Mellin變換的定義（1），M（s）可化為如下形式

對式（6）中第2個積分做變量替換t=1/x，并記g（t）=f（1/t），則有

式（7）右端2個積分具有相同的形式，為方便，記

則式（7）變?yōu)?/p>

由此可知，Mellin變換成立的充分必要條件為MEL[f，s]和MEL[g，-s]均可積.接下來對這2個積分是否存在進行討論，為方便，只考慮s為實數(shù)的情形.

定理1設f（x）=xα（ln x）μ，其中：α為實數(shù)，μ為非負整數(shù)，則積分MEL[f，s]存在的充分必要條件為s＞-α

證明對MEL[f，s]進行分部積分，得

顯然，當且僅當α+s＞0時，上式才有意義.所以積分MEL[f，s]存在的充分必要條件為s＞-α.

定理2設f（x）在x=0和x=+∞存在Puiseux級數(shù)展開式，即有

其中：αi、βi均為實數(shù)，滿足 α0＜ α1＜ α2＜ …，β0＜ β1＜β2＜ …，μi，j、νi，j為非負整數(shù)，則 Mellin 變換存在的充分必要條件為-α0＜s＜β0.

注：（-α0，β0）即為 Mellin 變換存在的基本條帶.

證明由漸近分析知

由定理1可知，MEL[f，s]存在的充分必要條件為s＞-αi，MEL[g，-s]存在的充分必要條件為-s＞ -βi.由 αi、βi滿足的條件知，當且僅當-α0＜ s＜ β0時，MEL[f，s]和MEL[g，-s]均存在，即 Mellin 變換 M（s）存在的充分必要條件為-α0＜ s＜ β0.

2.2 Gauss-Legendre求積算法

這里仍假定f（x）在x=0和x=+∞存在Puiseux級數(shù)展開式（11）.首先，由式（11）可知

對MEL[f，s]，將區(qū)間[0，1]剖分為n等份，步長為h=1/n.由式（3）可得

其誤差主項為

其次，由于 MEL[g，-s]與 MEL[f，s]具有相同的形式，與上述過程類似，可得到

進一步可得到

其誤差主項為

綜上，由式（9）可得 Mellin變換（1）的 Gauss-Legendre計算公式為

誤差主項為

3 Mellin變換計算實例

本節(jié)給出一些計算實例以說明算法的有效性和高精度.對于本文給出的算法，使用Mathematica軟件[10]編寫程序并計算.式（14）、（15）和（18）中的計算參數(shù)分別取為

例1計算的Mellin變換的數(shù)值解.

直接對f1（x）在x=0和x=+∞處進行Puiseux展開，得

由此得 Mellin變換成立的條件是 s∈（1/3，1/2）.使用改進的Gauss-Legendre求積方法計算該Mellin變換在一些點的數(shù)值解，再利用Mathematica軟件中的NIntegrate命令計算其更高精度的近似解作為其真實值，計算結果見表1.

表1 f1的Mellin變換在一些s處的計算值與誤差Tab.1 Calculated values and errors of Mellin transform of f1at s

例2計算的Mellin變換的數(shù)值解（Kn（z）為第二類修正Bessel函數(shù)）.

查表[4]可知f（x）=exK0（x）的Mellin變換為M（s，f）=π-1/22-sГ（1/2+s）Г2（s），其中Г（z）為Gamma函數(shù)，于是

由此可得f2（x）的Mellin變換在不同s值下的真實解，進而得到實際誤差.

直接計算得f2（x）在x=0和x=+∞處的Puiseux級數(shù)展開式為

故Mellin變換成立的條件為s∈0，1/（）4.使用改進的Gauss-Legendre求積方法計算該變換，結果見表2.

表2 f2的Mellin變換在一些s處的計算值與誤差Tab.2 Calculated values and errors of Mellin transform of f2at s

以上2個算例函數(shù)在零點及無窮遠點均為分數(shù)階可導或對數(shù)奇異，本文算法的誤差介于10-12和10-16之間，且輸出誤差與真實誤差比較符合，算法的正確性和準確性得以保證.對于在零點和無窮遠點代數(shù)和對數(shù)奇異的函數(shù)，本文方法為其Mellin變換的數(shù)值求解提供了一種新的途徑.

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