基于整體位移模式的平面裂紋結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬方法

，

(中國工程物理研究院 總體工程研究所，綿陽 621900)

1 引 言

對于平面裂紋結(jié)構(gòu)，目前主要有兩種數(shù)值模擬方法，擴(kuò)展有限元法(XFEM)和無網(wǎng)格伽遼金法(EFGM)。XFEM是由Belytschko等[1]提出的用于解決裂紋擴(kuò)展問題的數(shù)值模擬方法，綜合了有限元法和無網(wǎng)格法的部分思想，通過單位分解的方式將帶有間斷特性的擴(kuò)充函數(shù)項(xiàng)引入近似位移場的表達(dá)式中，并利用水平集方法對間斷面進(jìn)行描述和追蹤，從而使網(wǎng)格劃分和近似場函數(shù)構(gòu)造與裂紋面擴(kuò)展相互獨(dú)立。自XFEM理論提出以來，經(jīng)過相關(guān)學(xué)者10余年的理論完善，現(xiàn)已成為處理間斷問題時普遍采用的數(shù)值模擬方法[2，3]，一些大型的有限元軟件(如abaqus等)都增加了XFEM模塊。

同時，XFEM方法也面臨一些問題，XFEM增加了新的節(jié)點(diǎn)自由度，對于較為復(fù)雜的裂紋結(jié)構(gòu)或多裂紋結(jié)構(gòu)，這會造成求解成本的大幅增加；所形成的剛度矩陣大型化且高度病態(tài)，從而使線性方程組的求解非常困難；此外，由于在擴(kuò)充節(jié)點(diǎn)處引入了額外的附加自由度，又會造成混合單元問題[4-7]。

目前，有限元法中網(wǎng)格劃分技術(shù)日趨成熟，對于大部分復(fù)雜結(jié)構(gòu)，均可通過網(wǎng)格近似描述其初始構(gòu)型，因此FEM具有非常廣的適用范圍，基于FEM方法的XFEM方法亦可用于解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的破壞分析等問題。但是，不論是FEM方法還是XFEM方法，網(wǎng)格的質(zhì)量對計算結(jié)果的精度和穩(wěn)定性影響較大；同時，通過基于網(wǎng)格的離散試探函數(shù)序列的線性組合來逼近具有一定連續(xù)性的真實(shí)位移場，其收斂速度也很有限。

無網(wǎng)格法作為一種新型的數(shù)值模擬方法，在近幾年得到了快速的發(fā)展和應(yīng)用[8]，一些無網(wǎng)格法(如無網(wǎng)格Galerkin法)已應(yīng)用于裂紋結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬中[9-11]。相比于FEM，無網(wǎng)格法具有以下優(yōu)勢。(1) 通過節(jié)點(diǎn)將求解域離散，簡化了前處理工作量，避免了大變形時網(wǎng)格畸變的影響，更易于進(jìn)行自適應(yīng)分析；(2) 易于構(gòu)造高階光滑的近似函數(shù)，從而獲得光滑的應(yīng)變場，對高梯度或奇異性等特殊性質(zhì)的場函數(shù)具有較強(qiáng)的近似效果。同時，無網(wǎng)格法理論也存在一些不足之處。某些無網(wǎng)格法的形函數(shù)存在著不嚴(yán)格滿足一致性的問題，使得計算結(jié)果存在著不穩(wěn)定現(xiàn)象；形函數(shù)的計算過程比較復(fù)雜，強(qiáng)制邊界條件的施加需要進(jìn)行特殊的處理；同時，高階的近似函數(shù)使得數(shù)值積分過程較為復(fù)雜[12]。

針對擴(kuò)展有限元法和無網(wǎng)格法的不足，本文基于結(jié)構(gòu)整體的位移模式來構(gòu)造試探函數(shù)，并引入裂紋修正項(xiàng)來描述裂尖處的奇異位移場和裂紋面處的強(qiáng)間斷位移場；對于強(qiáng)制邊界條件，則通過引入位移邊界水平集函數(shù)，將位移邊界條件包含在近似位移場的表達(dá)式中，并推導(dǎo)得出了對應(yīng)的剛度矩陣和載荷矩陣表達(dá)式。

2 控制方程

對于如圖1所示包含自由裂紋的線彈性平面結(jié)構(gòu)，其張量形式的控制方程和邊界條件為

(1,2)

(3,4)

σi jnj=pi(onΓp),σi jnj= 0 (onΓc)

(5,6)

與式(1～6)相對應(yīng)的伽遼金等效積分弱形式為

(7)

該式即為虛位移原理的張量表達(dá)式，其矩陣形式為

(8)

3 試探空間

根據(jù)古典里茲法的結(jié)論，試探空間的完備性和連續(xù)性決定了近似解的收斂性。即如果試探函數(shù)序列滿足完備性和連續(xù)性的要求，則當(dāng)試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)趨于無窮時，由試探函數(shù)線性組合所表示的近似解單調(diào)收斂于微分方程的精確解[13]。在FEM中，通過對求解域劃分網(wǎng)格并在單元內(nèi)進(jìn)行插值，從而建立起一組基于網(wǎng)格的具有C0連續(xù)性要求的完備試探函數(shù)序列。XFEM在FEM的基礎(chǔ)上增加了新的節(jié)點(diǎn)自由度，即在原有的具有C0連續(xù)性的完備試探函數(shù)序列基礎(chǔ)上，增加了一組描述裂尖奇異性和裂紋面強(qiáng)間斷特性的完備函數(shù)序列。XFEM的有效性表明，試探空間的完備性體現(xiàn)在兩個方面。一方面是對求解域內(nèi)連續(xù)位移場描述的完備性，另一方面是對特定邊界處間斷位移場描述的完備性。間斷位移場同樣分為兩種，一種是求解域內(nèi)的強(qiáng)間斷問題，諸如裂紋；另一種是弱間斷問題，諸如求解域內(nèi)的孔洞、夾雜以及求解域外力邊界處的弱間斷等。當(dāng)試探空間滿足以上兩方面的完備性要求時，所得的近似解是收斂的。

因此，對于平面裂紋問題，從結(jié)構(gòu)的整體位移模式出發(fā)考慮，試探空間需要由兩部分組成。一部分用來描述結(jié)構(gòu)的連續(xù)位移場，此部分可簡單取為二元冪級數(shù)的形式；另一部分用來描述裂尖處的奇異位移場和裂紋面處的強(qiáng)間斷位移場，此部分可以采用斷裂力學(xué)中裂尖位移場的解析解形式，并將其擴(kuò)充為完備的強(qiáng)間斷場。

圖1 線彈性平面裂紋結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1 Linear plain crack structure

一般地，對于包含裂紋的矩形平板，近似位移場可以取以下形式，

uh=∑fiai+∑Ψjqj

(9)

式(9)的第一項(xiàng)∑fiai代表區(qū)域內(nèi)部的連續(xù)位移場，fi為連續(xù)試探函數(shù)序列，ai為其系數(shù)矩陣。對于二維平面問題，考慮到試探空間的普適性和基函數(shù)數(shù)學(xué)形式上的簡潔性，fi可不失一般地取以下二元冪級數(shù)的形式，

(s≥0,t≥0,s,t∈Z) (10)

式(9)的第二項(xiàng)∑Ψjqj為裂紋修正項(xiàng)，代表裂紋面處的間斷位移場，Ψj為在裂紋面處存在強(qiáng)間斷特性的函數(shù)序列，qj為其系數(shù)矩陣。參照斷裂力學(xué)中裂尖位移場的解析形式，Ψj可以通過對其進(jìn)行級數(shù)擴(kuò)充而得。這里，Ψj半經(jīng)驗(yàn)性地取為以下形式,

(11)

式中rα為由極距r經(jīng)擴(kuò)充所得的冪級數(shù)，θ為根據(jù)裂紋面定義的極角?？紤]到位移場在裂尖處具有1/2次奇異性，因此α從1/2開始由小到大依次取值，以提高其收斂速度。

對于簡單的邊緣直線裂紋，r和θ可由裂尖極坐標(biāo)系定義；對于一般的曲線裂紋，若仍采用裂尖極坐標(biāo)系定義則稍顯繁瑣，故本文采用圖2方式定義r和θ。如圖2所示，對于區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)P，以裂尖C為圓心、PC為半徑作弧，與裂紋面交于點(diǎn)P′。其極距r定義為該點(diǎn)到裂尖的距離PC，極角θ定義為線段CP′逆時針旋轉(zhuǎn)至線段CP時所轉(zhuǎn)過的角度∠PCP′。該定義方式的優(yōu)勢在于，

圖2 極距r與極角θ定義

Fig.2 Definition of polar distancerand polar angleθ

(1) 無需定義裂尖切向，更為簡潔方便。

(2) 僅通過單一場函數(shù)θ即可實(shí)現(xiàn)對裂紋面和裂尖位置的精確描述。通過此種定義方式，裂紋面可簡單描述為θ= 0，極角θ的取值范圍相應(yīng)地固定在[0,2π)區(qū)間內(nèi)，一方面可以有效提高對于裂紋面的描述精度，另一方面更有利于程序?qū)崿F(xiàn)。

(3) 當(dāng)裂紋面擴(kuò)展時，只需更新θ的場函數(shù)值即可實(shí)現(xiàn)對裂紋面的捕捉和追蹤，并且不會帶來附加的自由度。

(4)θ在裂紋面處具有階躍特性，因此無需引入Heaviside階躍函數(shù)，這使得后續(xù)計算過程更為簡潔高效。

(5) 不同形狀的裂紋所對應(yīng)的裂紋修正項(xiàng)可以表示為相同的形式，這能夠有效提高計算程序的通用性。

4 強(qiáng)制邊界條件施加方法

在有限元法中，生成剛度矩陣之后要結(jié)合位移邊界條件對剛度矩陣進(jìn)行修正，使位移邊界條件在邊界上離散的節(jié)點(diǎn)處得以滿足，從而消除整體剛度矩陣的奇異性[13]。而在無網(wǎng)格法中，由于節(jié)點(diǎn)自由度不一定具有節(jié)點(diǎn)位移的物理意義，位移邊界的約束條件不能直接應(yīng)用，需要對位移邊界條件進(jìn)行特殊的處理。目前，在無網(wǎng)格法中引入位移邊界條件的方法主要包括拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法等[9-11]。

本文提出了一種新的強(qiáng)制邊界條件施加方法，利用水平集方法的基本思想，通過引入位移邊界水平集函數(shù)，將位移邊界約束條件包含在近似位移場的表達(dá)式中，從而非常方便地解決了強(qiáng)制邊界條件的計算技術(shù)問題，該方法亦可應(yīng)用于其他現(xiàn)有的無網(wǎng)格法中。

對于一般的非規(guī)則平面區(qū)域，設(shè)其位移邊界約束條件為

(13)

利用水平集方法的思想，將位移邊界Γu看作是某個更高一維的函數(shù)Γl的零水平集。一般地，位移水平集函數(shù)Γl可以簡單取為求解域內(nèi)的點(diǎn)到位移邊界的最短距離，如圖3所示。易知在位移邊界處滿足Γl(x,y) = 0。這樣，在式(9)所表示的試探空間的基礎(chǔ)上，滿足位移邊界條件(13)的近似位移場可表示成如下形式，

(14)

式中Γ為邊界水平集函數(shù)對角陣

(15)

為表述簡便，在式(14)中，令

(16)

(17)

故式(14)可簡記為

(18)

將包含位移約束邊界條件的近似位移場表達(dá)式(18)代入虛位移原理式(8)，可得整體平衡方程

Ka=T

(19)

剛度矩陣表達(dá)式為

(20～22)

式中D為本構(gòu)矩陣，L為微分算子矩陣。

載荷矩陣表達(dá)式為

(23)

5 算例驗(yàn)證與分析

5.1 算例驗(yàn)證

考慮圖4所示有限矩形平板問題，板的長和高均為10 cm，左邊緣固定，右邊緣施以P=100 Pa的均布載荷，楊氏模量E=2×1011Pa，泊松比ν=0.3，平面應(yīng)力狀態(tài)，裂紋面與左右邊緣平行，裂尖位于矩形平板中心(5,5)處。

分別利用擴(kuò)展有限元法和本文方法對該矩形板的位移場和Mises應(yīng)力場進(jìn)行計算，其中擴(kuò)展有限元方法采用100×100的四邊形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，本文方法中冪級數(shù)和裂紋修正級數(shù)均取至7階(即在式(10)中s+t≤6，在式(12)中α=1/2,1,2,…,6)，兩種方法計算結(jié)果分別如圖5和圖6所示?？梢钥闯觯瑑煞N方法所得位移場和Mises應(yīng)力場的整體趨勢保持一致，XFEM所得的最大位移值為6.328×10-8，本文方法所得的最大位移值為6.374×10-8，兩者相對偏差僅為0.73%，驗(yàn)證了本文算法的有效性。

圖3 位移邊界水平集函數(shù)

Fig.3 Displacement level set function

圖4 含裂紋矩形平板算例圖示

Fig.4 Calculation case of rectangle plate with crack

針對不同的裂紋條件，以I型應(yīng)力強(qiáng)度因子為指標(biāo)來考察本文方法的計算精度。保持裂紋面角度不變，令裂尖位置從(5,1)點(diǎn)沿y軸正方向依次改變至(5,7)點(diǎn)，間隔距離步長為1。根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊[14]，該情況下I型應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式為

(24)

式中σ為外載強(qiáng)度，a為裂紋長度，F(xiàn)為修正系數(shù)。

分別使用XFEM方法和本文方法求解不同裂紋長度時的應(yīng)力場，并利用J積分方法來計算KI。計算過程中XFEM方法采用100×100的四邊形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，本文方法冪級數(shù)和裂紋修正級數(shù)各取7階，計算結(jié)果列入表1?？梢钥闯觯瑑煞N方法應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算精度具有一定的波動，但均在可接受的范圍之內(nèi)。XFEM計算結(jié)果的波動幅度較大，最大誤差為8.83%，平均相對誤差約為3.87%；而本文方法的計算結(jié)果能夠較好地穩(wěn)定在5%以內(nèi)，最大誤差為3.7%，平均相對誤差僅為2.15%。該結(jié)果表明本文方法具有良好的計算精度和穩(wěn)定性。

表1 不同裂紋長度時KI計算結(jié)果

Tab.1 Results ofKIin different crack length

裂紋長度/cmKI/(Pa·cm)理論參考值XFEM方法本文方法1218225217237337736235685705474822839806511931246119561802193018477300132663102

圖5 XFEM方法所得位移場與Mises應(yīng)力場

Fig.5 Displacement and Mises stress field by XFEM

5.2 算法總結(jié)與分析

本文針對平面裂紋問題提出了一種基于整體位移模式的數(shù)值模擬方法，該方法的技術(shù)特點(diǎn)及其與XFEM的區(qū)別主要在于以下幾個方面。

(1) XFEM借助網(wǎng)格來生成離散的試探函數(shù)序列，本文方法省略了網(wǎng)格離散的過程，直接在整個求解域內(nèi)定義試探函數(shù)。對于矩形平板結(jié)構(gòu)，可直接采用二元冪級數(shù)作為其近似位移場的連續(xù)位移部分；而對于一般形狀的平面結(jié)構(gòu)，則需要進(jìn)一步增加相應(yīng)的邊界項(xiàng)以保證其收斂，此部分由于篇幅所限，不再詳述。

(2) XFEM將裂紋所影響的單元分為裂尖單元和裂紋強(qiáng)間斷單元，在裂尖單元內(nèi)利用裂尖解析解描述其奇異性，在裂紋面強(qiáng)間斷單元內(nèi)利用水平集方法捕捉裂紋面，并利用Heaviside函數(shù)來描述其強(qiáng)間斷特性；本文方法則將整個裂紋面看作一個整體，通過定義極角θ來捕捉裂紋面，并構(gòu)造裂紋擴(kuò)充項(xiàng)來同時描述裂尖處的奇異性和裂紋面處的強(qiáng)間斷特性，無需引入Heaviside階躍函數(shù)，這在一定程度上簡化了近似位移場表達(dá)式，使后續(xù)計算過程更為簡潔高效。

圖6 本文方法所得位移場與Mises應(yīng)力場

Fig.6 Displacement and Mises stress field by this paper’s method

圖7 不同裂紋長度時KI計算誤差

Fig.7 Calculation error ofKIin different crack length

(3) XFEM利用基于網(wǎng)格的形函數(shù)作為單位分解函數(shù)來構(gòu)造描述裂紋面的擴(kuò)充函數(shù)序列，這會造成混合單元問題，同時系統(tǒng)自由度會隨著裂紋面的擴(kuò)展而不斷增加；而本文方法直接對極距進(jìn)行冪級數(shù)擴(kuò)充，在裂紋面擴(kuò)展時只需更新極距r和極角θ的場函數(shù)值即可，無需引入額外的自由度。

(4) XFEM的形函數(shù)在位移邊界處一般具有Kroneckerδ性質(zhì)，在求解線性方程組時可以通過對相應(yīng)自由度賦值的方式來施加位移邊界條件；本文方法的試探函數(shù)則不具有Kroneckerδ性質(zhì)，因此引入邊界水平集函數(shù)來處理位移邊界條件。

此外，本文方法亦有望應(yīng)用于模擬一般的三維裂紋擴(kuò)展問題。對于一些比較簡單的三維裂紋結(jié)構(gòu)，相應(yīng)可以采用三元冪級數(shù)和裂紋擴(kuò)充項(xiàng)的線性組合來逼近其真實(shí)位移場，并引入空間內(nèi)的邊界水平集函數(shù)來施加邊界條件；對于一些復(fù)雜形狀的三維裂紋，其主要難度在于如何在三維結(jié)構(gòu)內(nèi)針對裂尖和裂紋面定義相應(yīng)的極距場函數(shù)和極角場函數(shù)，并以此來構(gòu)造對應(yīng)的裂紋擴(kuò)充項(xiàng)形式。關(guān)于本文方法在一般三維裂紋中的應(yīng)用尚需進(jìn)一步研究。

與XFEM相比，本文方法的優(yōu)勢：

(1) 剛度矩陣一般具有小型化、對稱性、致密性和可逆性等特點(diǎn)。XFEM所生成的剛度矩陣大型且高度病態(tài)，這會給線性方程組的求解工作帶來很大困難。而本文方法中，近似位移場在整個位移邊界上嚴(yán)格滿足位移邊界條件，因此對于適當(dāng)?shù)膹?qiáng)制邊界條件，所生成的剛度矩陣是可逆的；由于采用伽遼金方法，所生成的剛度矩陣保持了對稱性的特點(diǎn)；試探函數(shù)定義在整個求解域，因而本文算法所生成的剛度矩陣是致密的，這意味著剛度矩陣具有更高的效率；此外，由于采用較少的試探函數(shù)項(xiàng)即可達(dá)到很好的逼近效果，因此剛度矩陣一般具有小型化的特點(diǎn)。

(2) 計算成本很低。XFEM的計算成本主要由三部分組成，前處理、線性方程組求解和后處理。前處理成本主要包括網(wǎng)格劃分和單元組裝等過程，后處理成本則包括應(yīng)力磨平及場狀態(tài)量的計算等。本文方法省略了網(wǎng)格劃分與單元組裝過程，試探函數(shù)只依賴于坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)邊界；由于剛度矩陣的良好特性，可以有效降低線性方程組的求解難度；同時本文所采用的試探函數(shù)具有良好的連續(xù)性，可以直接得到一組平滑的近似解，在后處理過程中無需進(jìn)行應(yīng)力磨平等過程，從而進(jìn)一步降低了計算成本。

(3) 收斂速度較快。XFEM采用基于網(wǎng)格的離散試探函數(shù)序列來逼近真實(shí)位移場，并且通過網(wǎng)格密度和網(wǎng)格階次來控制計算精度；隨著網(wǎng)格密度和網(wǎng)格階次的提高，系統(tǒng)的自由度成倍增加，但是收斂速度卻相對較為緩慢。本文方法則通過控制冪級數(shù)項(xiàng)和裂紋修正項(xiàng)的階數(shù)來控制計算精度，當(dāng)增加試探函數(shù)的數(shù)目時，計算結(jié)果快速地趨近于結(jié)構(gòu)的真實(shí)解，而系統(tǒng)自由度的增加量卻很小。

6 結(jié) 論

本文從平面裂紋問題出發(fā)，針對擴(kuò)展有限元法和無網(wǎng)格伽遼金法的不足，提出了一種基于整體位移模式的線彈性裂紋結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬方法。其主要內(nèi)容包括，在整個求解域內(nèi)將實(shí)際位移場表示為連續(xù)位移場和間斷位移場的線性組合，利用冪級數(shù)的線性空間來描述結(jié)構(gòu)的連續(xù)位移場，并引入裂紋修正項(xiàng)來描述裂尖附近的奇異場和裂紋面處的強(qiáng)間斷場。該方法可以有效避免XFEM中剛度矩陣的病態(tài)問題，在保證計算精度的前提下降低線性方程組的求解成本，具有形式簡單、易于編程等優(yōu)勢，可應(yīng)用于更為復(fù)雜的裂紋結(jié)構(gòu)。同時本文還提出了一種基于水平集方法的位移邊界條件處理思路，通過引入位移邊界水平集函數(shù)，將位移邊界條件包含在近似位移場表達(dá)式中，推導(dǎo)得出了相應(yīng)的平衡方程、剛度矩陣和載荷矩陣的表達(dá)式。該方法一方面可以保證位移邊界條件嚴(yán)格滿足；另一方面不會引入額外的自由度，能夠非常方便地解決位移邊界條件的計算技術(shù)問題，有望在現(xiàn)有的其他各類無網(wǎng)格法中得到應(yīng)用。

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